【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§2.3 习题课 与圆有关的最值(范围)问题【讲义+习题】

习题课　与圆有关的最值(范围)问题
学习目标　1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
导语
海上某基站信号覆盖范围达60公里．一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号．已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？
一、与距离有关的最值问题
知识梳理
已知圆心到直线(或圆外一点)的距离为d，圆的半径为r.
1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.

2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.

3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2，最大值＝2r.

4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝.

例1　已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别为圆C1，圆C2上的点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为(　　)
A. B.－1
C．6－2 D．5－4
答案　D
解析　如图所示，圆C1关于x轴对称的圆的圆心坐标为A(2，－3)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径为3.
设M′为点M关于x轴对称的点，由图象可知，当P，M′，N三点共线时，PM＋PN＝PM′＋PN取得最小值，且PM＋PN的最小值为圆A与圆C2的连心线的长减去两个圆的半径之和，即AC2－3－1＝－4＝5－4.

反思感悟　(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．
跟踪训练1　已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　B
解析　圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25的圆心坐标为C(1,2)，半径为5，
由直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，
得m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，
联立解得
∴直线l过定点P(3,1)，又点P(3,1)在圆内部，
则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，
此时PC＝＝，
∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为
2＝4.
二、与面积相关的最值问题
例2　已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，

O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直线是y轴，
当M到直线AO的距离最小时，
△OAM的面积最小，
又M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，
则△OAM的面积最小值S＝×OA×d＝1.
反思感悟　求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．
跟踪训练2　直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　B
解析　设圆心到直线的距离为d(0 则所截得的弦长l＝2，
所以S△OAB＝×2·d＝，
由基本不等式，可得S△OAB＝≤＝，
当且仅当d＝时，等号成立．
三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题
例3　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
(3)求x＋y的最大值与最小值．
解　方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
(1)表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．
设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为.
(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为P1E＝CE＋2，点P与点E距离的最小值为P2E＝CE－2.又CE＝＝5，
所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.
(3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.

反思感悟　(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题．
跟踪训练3　(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．y－x的最大值为－2
B．x2＋y2的最大值为7＋4
C.的最大值为
D．x＋y的最大值为2＋
答案　AB
解析　对于A，设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－－2≤z≤－2，所以y－x的最大值为－2，故A说法正确；
对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋，所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，故B说法正确；
对于C，设＝k，把y＝kx代入圆的方程得(1＋k2)x2－4x＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤，的最大值为，故C说法错误；
对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－＋2≤m≤＋2，
所以x＋y的最大值为＋2，故D说法错误．

1．知识清单：
(1)与距离、面积有关的最值问题．
(2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题．
2．方法归纳：数形结合法、转化法．
3．常见误区：忽略隐含条件导致范围变大．

1．圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是(　　)
A．[3,7] B．[1,9]
C．[0,5] D．[0,3]
答案　A
解析　x2＋y2＝4，圆心(0,0)，半径r＝2，
圆心到直线4x－3y＋25＝0的距离
d＝＝5，
所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，
最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7]．
2．已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则PQ的最小值为(　　)
A. B．2 C．2 D．4
答案　B
解析　根据题意，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圆心C(4,3)，半径r＝2，过点P作圆C：
(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则PQ＝，当PC最小时，PQ最小，又由点P在单位圆上，则PC的最小值为OC－1＝－1＝4，则PQ的最小值为＝2.
3．点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则的取值范围是(　　)
A．[，＋∞)
B. (－∞，－]
C. (－∞，－]∪[，＋∞)
D. [－，]
答案　C
解析　将看作圆上动点(x，y)与原点O(0,0)连线的斜率，如图，可得k≥或k≤－.

4．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为_________．
答案　 4
解析　因为C1(－2,2)，r1＝2，C2(2,0)，r2＝4，
所以C1C2＝＝2，
当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为×2×4＝4.


1．已知过点(1,1)的直线l与圆x2＋y2－4x＝0交于A，B两点，则AB的最小值为(　　)
A. B．2 C．2 D．4
答案　C
解析　将圆的方程x2＋y2－4x＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4，
则圆心为(2,0)，半径r＝2，则圆心(2,0)到定点(1,1)的距离为，
故AB的最小值为2＝2.
2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为(　　)
A．2 B．1 C. D.
答案　B
解析　x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，又点(0,0)在圆内，所以由几何意义可知最小值为14－＝1.
3．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则PQ的最小值为(　　)
A．6 B．4 C．3 D．2
答案　B
解析　如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为MQ＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.

4．在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，
故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，
而距离的最小值为－＝，
故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为.
5．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为(　　)
A．－9,1 B．－10,1
C．－9,2 D．－10,2
答案　A
解析　圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标为(2,0)，半径r＝.
y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，如图所示，

当直线y＝2x＋b与圆x2＋y2－4x－1＝0相切时，b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－9或b＝1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9.
6．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的最大值为(　　)
A．7 B．6 C．5 D．4
答案　B
解析　根据题意，画出示意图，如图所示，圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且AB＝2m.连接OP，因为∠APB＝90°，所以OP＝AB＝m.要求实数m的最大值，即求圆C上的点P与原点O之间距离的最大值．因为OC＝＝5，所以OPmax＝OC＋r＝6，即实数m的最大值为6.

7．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．
答案　(x－1)2＋y2＝2
解析　∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，
∴圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝，
∴半径最大为，
∴半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
8．圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，则周长最小的圆的方程为__________________．
答案　x2＋y2－2y－9＝0
解析　当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．
即AB的中点(0,1)为圆心，
半径r＝AB＝.
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10，即x2＋y2－2y－9＝0.
9．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求MQ的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
解　(1)由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，
半径r＝2，
又QC＝＝4，
∴MQmax＝4＋2＝6，
MQmin＝4－2＝2.
(2)由题可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，
则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，
得≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
10．已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3.
(1)求圆的方程；
(2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值．
解　(1)∵圆与x，y轴正半轴都相切，
∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∵圆心C到直线l的距离为3，
∴由点到直线的距离公式，
得d＝＝3，
解得a＝2，∴半径为2.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，
∴△PCE≌△PCF，
∴S四边形PECF＝2S△PCE，
PE是圆的切线，且E为切点，
∴PE⊥CE，CE＝2，PE2＝PC2－CE2＝PC2－4，
∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小．PCmin即为C到l的距离，
由(1)知PCmin＝3，
∴PE＝32－4＝5，即PEmin＝，
∴S△PCE＝EC·PE＝×2×＝，
∴四边形PECF面积的最小值为2.

11．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为(　　)
A．2 B. C. D．1
答案　D
解析　如图，由题意得PM2＝PC2－r2，

当PC⊥l时，PC最小时，PM最小．
由题意得PCmin＝d＝＝2，
所以()2＝22－r2，所以r＝1.
12．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，则由点M(a，b)向圆C所作的切线中，切线长的最小值是(　　)
A．2 B. C．3 D.
答案　B
解析　因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，
所以圆心为C(1，－2)，半径R＝2.
因为圆C关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，
所以l：3a－4b＋4＝0，所以点M(a，b)在直线l1：3x－4y＋4＝0上，
所以MC的最小值为d＝＝3，切线长的最小值为＝＝.
13．已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)与直线y＝3x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，实数a的值为________．
答案　
解析　圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)的圆心为(a，a)，半径为1，圆心到直线y＝3x的距离d＝，PQ＝2＝，所以△CPQ的面积S＝××＝.当a2＝时，10a2－4a4取得最大值，且最大值为10×－4×2＝，所以△CPQ的面积S的最大值为，此时a＝.
14．已知实数x，y满足方程y＝，则的取值范围是________．
答案　[0，]
解析　方程y＝化为(x－2)2＋y2＝3(y≥0)，表示的图形是一个半圆，令＝k，即y＝kx，如图所示，当直线与半圆相切时，k＝，所以的取值范围是[0，]．


15．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝________.
答案　2
解析　圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1，

由圆的性质可知，四边形的面积S四边形PACB＝2S△PBC，
又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为
S△PBC＝1＝r×PBmin
＝PBmin，
则PBmin＝2，
因为PB＝＝，
所以当PC取最小值时，PB最小．
又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，
当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，PC最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离，所以＝＝，解得k＝±2，因为k>0，所以k＝2.

16．在△ABO中，OB＝3，OA＝4，AB＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求分别以PA，PB，PO为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值．
解　建立如图所示的平面直角坐标系，

使A，B，O三点的坐标分别为A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)．
设△AOB的内切圆的半径为r，点P的坐标为P(x，y)，
则2r＋AB＝OA＋OB，求得r＝1，
又可求得内切圆的圆心为(1,1)，
所以内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
即x2＋y2－2x－2y＋1＝0，①
又PA2＋PB2＋PO2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25.②
将①代入②，得PA2＋PB2＋PO2＝－2x＋22.
因为P(x，y)是内切圆上的点，则0≤x≤2，
所以PA2＋PB2＋PO2的最大值为22，
最小值为18.
又三个圆的面积之和为π×2＋π×2＋π×2＝(PA2＋PB2＋PO2)，
所以分别以PA，PB，PO为直径的三个圆的面积之和的最大值为，最小值为.