【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第3练 两条直线的交点与平面上的距离【讲义+习题】

第3练　两条直线的交点与平面上的距离

一、选择题

1．已知直线l1：ax＋by＋a＝0，l2：x＋ay＋b＝0，若l1∥l2，且这两条直线间的距离为1，则点P(a，b)到坐标原点的距离为(　　)

A．2  B．3  C．12  D．27

答案　A

解析　由题意可知，a≠0，因为l1∥l2，

所以a2＝b，

又直线l2的方程可化为ax＋a2y＋ab＝0，则两条直线间的距离d＝＝1，

解得a2＝3，b＝3，所以点P(a，b)到坐标原点的距离为＝2.

2．若两条平行直线分别经过点A(5,0)，B(0,12)，则它们之间的距离d满足的条件是(　　)

A．0<d≤5   B．0<d≤13

C．0<d<12   D．5≤d≤12

答案　B

解析　当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为＝13，

所以0<d≤13.

3．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　直线y＝－x＋2与两坐标轴的交点为A(0,2)，B(2,0)．直线y＝kx＋2k＋1恒过定点P(－2,1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k满足：kPB<k<kPA，即－<k<.

4．台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中．如图，现有一目标球从点A(－2,3)无旋转射入，经过直线y＝1(桌边)上的点P反弹后，经过点B(5,7)，则点P的坐标为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　点A(－2,3)关于y＝1对称的点为A′(－2，－1)，

∴直线A′B的方程为＝，即8x－7y＋9＝0，由得

∴点P的坐标为.

5．(多选)已知点P是直线3x－4y＋5＝0上的动点，定点Q(1,1)，则下列说法正确的是(　　)

A．线段PQ的长度的最小值为

B．当PQ最短时，直线PQ的方程是3x＋4y－7＝0

C．当PQ最短时，P的坐标为

D．线段PQ的长度可能是

答案　AC

解析　当PQ垂直于直线3x－4y＋5＝0时，PQ最短，Q到直线的距离为＝，故A正确；故PQ的长度取值范围为，<，故D错误；设P，则kPQ＝＝－，解得m＝，故P，故C正确；此时直线PQ的方程是＝，即4x＋3y－7＝0，故B错误．

二、填空题

6．已知△ABC中，点A(1,1)，B(4,2)，C(－4,6)，则△ABC的面积为________．

答案　10

解析　由两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－8＝0，

由点A到直线的距离公式得BC边上的高d＝＝，

BC两点之间的距离为

＝4，

∴△ABC的面积为×4×＝10.

7．已知点A(1，－2)，B(5,6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为__________．

答案　－2或－1

解析　∵A(1，－2)，B(5,6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，

∴＝，

解得a＝－2或a＝－1.

8．在直线x＋3y＝0上求一点，使它到原点的距离和到直线x＋3y＋2＝0的距离相等，则此点的坐标是__________．

答案　或

解析　由题意可设所求点的坐标为(－3a，a)，

因为直线x＋3y＝0与直线x＋3y＋2＝0平行，

所以两平行线间的距离为＝，

根据题意有＝，

解得a＝±，

所以所求点的坐标为或.

9．若直线l1：ax＋2y－10＝0与直线l2：2x＋(a＋3)y＋5＝0平行，则l1与l2之间的距离为________．

答案　

解析　∵直线l1：ax＋2y－10＝0与直线l2：2x＋(a＋3)y＋5＝0平行，

∴＝≠，解得a＝1，

∴直线l1：x＋2y－10＝0，即2x＋4y－20＝0，

直线l2：2x＋4y＋5＝0.

∴l1与l2之间的距离为d＝＝.

三、解答题

10．已知三角形的顶点为A(1,4)，B(0，－1)，C(－2,1)．

(1)求直线AC的方程；

(2)从下面①，②两个问题中选择一个作答．

①求点B关于直线AC的对称点D的坐标；②若直线l过点B且与直线AC交于点E，BE＝4，求直线l的方程．

解　(1)三角形的顶点为A(1,4)，B(0，－1)，C(－2,1)．

所以kAC＝＝1，

所以直线AC的方程为y－4＝1×(x－1)，

整理得x－y＋3＝0.

(2)选①，设点D(m，n)．

因为kAC＝1，所以kBD＝－1，直线BD的中点坐标满足直线AC的方程，

故解得

故D(－4,3)．

选②，当直线斜率存在时，设经过点B的直线方程为y＝kx－1，

且k≠1，若k＝1，则与AC平行，所以k≠1.

设与直线AC：x－y＋3＝0的交点坐标为E(x，y)，

所以解得

由于BE＝4，

故BE＝＝4，

解得k＝0，即经过点B的直线的方程为y＝－1；

当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，

故与直线AC的交点E的坐标为E(0,3)，又B(0，－1)，所以满足BE＝4，故直线l的方程为y＝－1或x＝0.