2020遵义南白中学高一上学期第三次月考数学试题含答案
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遵义市南白中学2019-2020学年第一学期高一年级第三次月考
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题四个选项中，只有一项符合要求）
1．已知，,则=（ ）
A． B． C． D．
2. 下列函数中，值域为的函数是 ( )
A. B. C. D. [来源:学科网ZXXK]
3. 的值等于（ ）
A． B． C． D．
4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为
其终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
5. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的。如图，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于（ ）[来源:Z.xx.k.Com]
A． B． C． D．
6. 若函数在区间上的图象为一条连续的曲线，则下列说法正确的是 ( )
A. 若,不存在实数使得
B. 若,存在且只存在一个实数,使得
C. 若,有可能存在实数,使得
D. 若,有可能不存在实数,使得
7．若一扇形的中心角为2，中心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为（ ）
A．2 B．1 C． D．
8. 下列各式中，值为的是（ ）
A． B． C． D．
9. 定义运算，已知，则锐角（ ）
A． B． C． D．
10. 关于函数，下列说法错误的是 ( )
A．一个周期为 B．图像关于对称 C．一个零点为 D．在单调递减
11. 若非零实数，满足，则 ( )
A. B. C. D.
12. 若的一条对称轴为，，则的最小值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡相应位置）
13. 已知，则 .
14. 函数的零点个数为 个.
15. 若是锐角三角形的内角，则点在第 象限.
16. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间
的函数关系式分别为，，，
有以下结论：
① 当时，甲走在最前面；
② 当时，乙走在最前面；
③ 当时,丁走在最前面，当时，丁走在最后面；
④ 丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；[来源:学科网]
⑤ 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲。
其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,错填不得分，少填得2分）．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
在△中，，求和的值.
18.（本题满分12分）
（1）求值；
（2）求值
19.（本题满分12分）
已知函数，将其图像向右平移个单位，再将其图像上每一点的横坐标变为原来的倍，再将每一点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图像
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）求在上的值域.
20.（本题满分12分）
设是任意的一个实数，表示对进行四舍五入后的结果，其实质是取与最接近的整数，在距离相同时，取较大的而不取较小的整数，其函数关系常用＝表示.例如：，，，.
（1）判断函数＝（）的奇偶性，并说明理由；
（2）求方程的解集.
21.（本题满分12分）
现有A，B两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是和（万元），它们与投入资金(万元)的关系依次是：其中与的算术平方根成正比，且当为4（万元）时为1（万元），又与成正比，当为4（万元）时也是1（万元）；某人甲有3万元资金投资.
（1）分别求出，与的函数关系式；
（2）请帮甲设计一个合理的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？
22.（本题满分12分）
已知函数为奇函数.
（1）求的值，并求的定义域；
（2）判断函数的单调性，不需要证明；
（3）若对于任意，是否存在实数，使得不等式恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
遵义市南白中学2019-2020学年第一学期高一年级第三次月考
数 学 答 案
一、选择题
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8[来源:学科网] | 9 | 10 | 11 | 12 |
D | A | D | A | B | C | C | B | B | D | B | C |
二、填空题
13 | 14 | 15 | 16 |
2 | 二 | ③④⑤（错填不得分，少填得2分） |
三、解答题
17.
由题，..........................................................................................2分
故....................................................................................................................6分
是三角形内角，
故........................................................................................................................10分
18.
（1）原式=.......................................................................................................................6分
（2）注意到
原式=...12分
19.
（1）根据题意................................................................................................................2分
故的最小正周期....................................................................................................................4分
令，解得的对称中心为.....................................................................6分
（2）当时，..................................................................................................8分
，.................................................................................................10分[来源:学#科#网Z#X#X#K]
20.
（1）为非奇非偶函数.................................................................................................................3分
理由：，且，故为非奇非偶函数（也可举其他例子）...................................................................................6分
（2）由题意，原方程等价于，解得.........................................................10分
即原方程的解集为..............................................................................................................................12分
21.
（1）设，都过点，........................................................4分
故的函数关系式分别为....................................................................................6分
（2）设甲投资到的资金分别为，获利为
则..............................................................................................................8分
当即时，...................................................................................................................10分
答：当甲在项目分别投资1万元和2万元时，利润最大，最大利润为1万元.................................12分
22.
（1）∵函数为奇函数，在定义域内恒成立
即，，（舍去），故..........2分
，函数的定义域是............................................................................................................4分
（2）由（1）知，，在定义域是增函数....................................................................6分
（3）注意到，假设存在实数，使得不等式
即
由（1）（2）知：即对于任意， 恒成立....................................8分
当时上式成立；
当时，令，即对任意恒成立..............................................10分
解得..............................................................................................................................................12分
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