2020省大庆四中高一下学期期末考试数学（理）含答案

  大庆四中2019～2020学年度第二学期第三次检测高一年级

数学（理科）试题答案

选择题

填空题

13、    10                       14、

15、    8                       16、

17、解：（1）函数f（x）＝ax2﹣2（a+1）x+b（a，b∈R），

由不等式f（x）＜0的解集为（1，2），得a＞0，

且1和2是方程ax2﹣2（a+1）x+b＝0的两根；

则，

解得a＝2，b＝4；

（2）b＝4时，不等式为ax2﹣2（a+1）x+4＞0，

可化为（ax﹣2）（x﹣2）＞0，则

因为a＞0，所以不等式化为（x﹣）（x﹣2）＞0，

令＝2，得a＝1，

当a＞1时，＜2，解不等式得x＜或x＞2；

当a＝1时，不等式为（x﹣2）2＞0，解得x≠2；

当0＜a＜1时，＞2，解不等式得x＜2或x＞；

综上：当a＞1时，不等式的解集为；

当a＝1时，不等式的解集为{x|x≠2}；

当0＜a＜1时，不等式的解集为；

18.证明：（1）连接A1B，交AB1于点O，连接DO，如图所示；

因为A1C∥平面ADB1，平面A1BC∩ADB1＝OD，

所以A1C∥OD；

又O为A1B的中点，所以OD是△A1BC的中位线，

所以D是BC的中点；

（2）由（1）知D是BC的中点，且AB＝AC，

所以AD⊥BC；

又A1C⊥BC，A1C∥OD，

所以OD⊥BC；

又AD∩OD＝D，

所以BC⊥平面ADB1；

又BC⊂平面BCC1B1，

所以平面ADB1⊥平面BCC1B1．

19、解：（1）在△APC中，因为，AP＝2，AC•PC＝4，

设AC＝x，则PC＝，由余弦定理可得：22＝x2+（）2﹣2•cos，可得x＝2，

则AC＝PC＝AP，此时△APC为等边三角形，从而∠APB＝．

（2）由S△ABC＝AC•BC•sin＝，可得BC＝5，则BP＝3，

作AD⊥BC交BC于D，由（1）可知，在等边△APC中，AD＝，PD＝1，

在Rt△ABD中，AB＝＝＝，

在△ABP中，由正弦定理可得＝，

所以sin∠PAB＝＝．

20、（Ⅰ）证明：取AD的中点P，连接MP，NP，

由N，P分别为BD，AD的中点，得NP∥AB，且NP＝AB，

又MC∥AB，且MC＝AB，∴MC∥NP且MC＝NP，得四边形MCNP为平行四边形，

∴CN∥MP，又CN⊄平面DAM，MP⊂平面DAM，

∴CN∥平面DAM；

（Ⅱ）解：由AM＝BM＝，AB＝2，可得AB2＝AM2+BM2，得AM⊥BM．

又BM⊥AD，AD∩AM＝A，∴BM⊥平面ADM，

∵BM⊂平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM．

取AM的中点为E，连接DE，

∵AD＝DM＝1，AD⊥DM，可得DE＝，且DE⊥平面ABCM，

∴＝．

取BC的中点F，连接EF，则EF＝，EF⊥BC，

∵DE⊥平面ABCM，可得DE⊥EF，DE⊥BC，∴DF＝．

由BC⊥平面DEF，得BC⊥DF，

∴．

设点A到平面BCD的距离为d，

则，

解得d＝．

21、解：（1）设等差数列{an}的公差为d，且d＞0，前n项和为Sn，

由S1＝1，可得a1＝1，S2＝2a1+d＝2+d，S3＝3a1+3d＝3+3d，S4＝4a1+6d＝4+6d，

又S2，S3﹣1，S4成等比数列，可得S2S4＝（S3﹣1）2，即为（2+d）（4+6d）＝（3+3d﹣1）2，

解得d＝2（﹣舍去），

则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；

（2）＝＝（﹣1）n（+），

则数列{bn}的前2n项和T2n＝﹣（+）+（+）﹣（+）+…﹣（+）+（+）＝﹣+＝﹣．

22、解：（1）bn＝2n，n∈N*．

（2）因为∁n＝|an|•bn＝|2n﹣5|•2n，n＝1时，T1＝6；n＝2时，T2＝10，当n≥3时，2n﹣5＞0，

Tn＝10+1•23+3•24+…+（2n﹣7）•2n﹣1+（2n﹣5）•2n，①

2Tn＝20+1•24+3•25+…+（2n﹣7）•2n+（2n﹣5）•2n+1，②

①﹣②可得﹣Tn＝﹣10+8+2（24+25+…+2n）﹣（2n﹣5）•2n+1

＝﹣2+2•﹣（2n﹣5）•2n+1，化简可得Tn＝34+（2n﹣5）•2n+1，

所以Tn＝．