2020省大庆四中高三上学期第二次检测数学（理）试题含答案

大庆四中2019～2020学年度高三年级第二次校内检测

数学（理科）试题  

考试时间：120分钟   分值：150分

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设是虚数单位，则复数的虚部为（　　）

A． B．            C． D．

2．已知集合，，则集合中元素的个

数是（    ）　　

A．  B． C．             D．

3．已知向量满足，则与的夹角为（　　）

A． B．          C． D．

4．已知，且，则（    ）

A． B．           C． D．

5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（　　）

A． B．          C． D．

6．已知F1，F2为椭圆E的左、右焦点，点M在E上（不与顶点重合），△MF1F2为等腰直角三角形，则E的离心率为（　　）

A． B．       C． D．

7．已知数列满足，，则（　　）

A． B．         C．         D．

8．20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成；如果是个偶数，则下一步变成，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4﹣2﹣1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的值为，则输入的值为（　　）

A．      B． C．或 D．或或

9．已知l，m是平面α外的两条不同直线，给出以下三个命题：

①若l⊥m，m∥α，则l⊥α；②若l⊥m，l⊥α，则m∥α；

③若m∥α，l⊥α，则l⊥m．其中正确命题的个数是（　　）

A． B． C． D．

10．已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（　　）

A．        B． C． D．

11．已知双曲线的一条渐近线恰好是曲线在原点处的切线，且双曲线的顶点到渐近线的距离为，则曲线的方程为（　　）

A．       B． C．     D．

12．已知函数，若恒成立，则满足条件的实数的个数为（　　）

A． B． C．  D．

第II卷

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分）

13．　   　．

14．已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则　   　．

15．如右图是各棱长均相等的某三棱锥表面展开图，Q是DF的中点，则在原三棱锥中BQ与EF所成角的余弦值为　   　．

16．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为C，D．若|AF|＝4|BF|，则|CD|＝　   　．

三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出过程）

17. （本小题满分10分）

如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.

（1）
求证： 平面

（2）求二面角的正弦值.

18. （本小题满分12分）

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，，，已知.

（1）求角C的值；

（2）若，当边取最小值时，求△ABC的面积．

19. （本小题满分12分）

已知数列的前项和为，且对一切正整数恒成立.

（1）求当为何值时，数列是等比数列，并求出它的通项公式；

（2）在（1）的条件下，若数列满足，求数列的前项

和.

20. （本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，曲线与直线交于两点.

（1）当时，分别求曲线在点和点处的切线方程；

（2）轴上是否存在点,使得当变动时，总有？说明理由.

21. （本小题满分12分）

已知，函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若有两极值点，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）求证：．

22. （本小题满分12分）

已知直线: （t为参数），圆:  (为参数)，

（1)当=时，求与的交点坐标；

（2）过坐标原点作的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

大庆四中2019～2020学年度高三年级第二次校内检测

数学（理科）试题答案

13.        14. 1         15.          16. 5

17. 解：Ⅰ证明：如图,以A为坐标原点,以AC、AB、所在直线分别为x、y、z轴建系,
则0,,1,,0,,,
0,,1,,0,,,
又、N分别为C、的中点,,．
由题可知：0,是平面ABCD的一个法向量,,
,平面ABCD,平面ABCD；
Ⅱ解：由可知：,0,,1,,
设y,是平面的法向量,
由,得,   取,得1,,
设y,是平面的法向量,
由,得,          取,得,
,,,,
二面角的正弦值为.                          …………（10分）

18.解：

19.解：

………（12分）

20. 解：Ⅰ由题设可得,,或,．

又,故在处的导数值为,
C在点处的切线方程为,即．

在处的导数值为,
C在点处的切线方程为,即．

故所求切线方程为和．

Ⅱ存在符合题意的点,证明如下：

设为符合题意的点,,,直线PM,PN的斜率分别为,．

将代入C的方程得．

故,．从而．

当时,有,
则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故.

所以点符合题意．           --------12分

21. 解：（Ⅰ）时，，．

令，，····························································2分

当时，，时，

∴．

∴．∴在上是单调递减函数．········································4分

（Ⅱ）若有两个极值点，

则是方程的两不等实根．

解法一：∵显然不是方程的根，∴有两不等实根．···························6分

令，则

当时，，单调递减，

  时，，单调递减，时，，单调递增，

要使有两不等实根，应满足，∴的取值范围是．

（注意：直接得在上单调递减，上单调递增扣2分）．···························8分

∵，且

，

∵，在区间上单调递增，，∴

设，则，在上单调递减

∴   即．····························································12分

解法二：，则是方程的两不等实根．

∵，

当时，，在上单调递减，不可能有两不等实根

当时，由得，

当时，，时，

∴当，即时，有两不等实根

∴的取值范围是．···················································8分

∵，且

，

∵，在区间上单调递增，，∴

设，则，在上单调递减

∴   即．····························································12分

 22.解：（Ⅰ）当时，的普通方程为，的普通方程为。联立方程组 ，解得与的交点为（1,0）。

（Ⅱ）的普通方程为。A点坐标为，

故当变化时，P点轨迹的参数方程为：

P点轨迹的普通方程为。

故P点轨迹是圆心为，半径为的圆。          ………（12分）