2020张掖临泽一中高二下学期期中考试数学（理）试题含答案

这是一份2020张掖临泽一中高二下学期期中考试数学（理）试题含答案，共9页。试卷主要包含了已知复数，已知复数z满足，则，设，，则，用数学归纳法证明，函数的部分图象大致为，在复平面内，复数对应向量等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
测试范围： 选修2-2．
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数（为虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A．1B．-1C．D．
2．曲线与轴所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．2B．C．D．4
3．已知复数z满足，则( )
A．B．C．D．
4．利用反证法证明“若，则”时，假设正确的是（ ）
A．都不为2B．且都不为2
C．不都为2D．且不都为2
5．设，，则（ ）
A．B．C．D．
6．若曲线上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数等于（ ）
A．0B．1C． D．
7．欧拉公式eix＝cs x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．用数学归纳法证明（，）成立时，第二步归纳假设的正确写法为（ ）
A．假设时，命题成立B．假设（）时，命题成立
C．假设（）时，命题成立D．假设（）时，命题成立
9．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
10．在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A．B．C．D．
11．定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
12．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是 （是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A．8万斤B．6万斤C．3万斤D．5万斤
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．一辆汽车沿直线方向行驶，刹车后汽车速度（v的单位：m/s，t的单位：s），则该汽车刹车后至停车时的距离为____________米.
14．在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为，外接球体积为，则____.
15．在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式________________________________成立.
16．已知函数，若函数有四个零点，则实数的的取值范围是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知复数，且为纯虚数．
（1）求复数；
（2）若，求复数的模．
18．（12分）已知（i为虚数单位），求：
（1）；
（2）；
（3）类比，探讨（，为虚数）的性质，求的值.
19．（12分）已知是二次函数，方程有两个相等的实根，且.
（1）求的解析式．
（2）求曲线与曲线所围成的图形的面积.
20．（12分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．
（1）当时，求比值取最小值时的值；
（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）
21．（12分）某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为百万元.
（Ⅰ）若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？
（Ⅱ）现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的销售额约为百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大.
（注：收益=销售额-投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入）
22．（12分）已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数在区间上无零点，求的最小值.
高二理科数学·参考答案
13．18 14．15．16．.
17．（本小题满分10分）
【答案】（1） （2）
【解析】
∵是纯虚数
∴，且
∴，∴
∴
18．（本小题满分12分）
【答案】（1）3 （2）—1 （3）
【解析】（1），
，，，，
.
（2）.
（3）由（1）可知，，.
19．（本小题满分12分）
【答案】（1） （2）9
【解析】（1）设，则
所以，.
（2）或.
.
20．（本小题满分12分）
【答案】（1） （2）
【解析】（1）当时，，∴
列表得：
∴在上单调递减，在上单调递增∴在时取最小值；
（2）∵ 根据（1）知：在上单调减，在上单调增,∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴，解得：,实数的取值范围为．
21．（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，
则由，
∴当t=3时，f(t)取得最大值9，即投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大.
（Ⅱ）用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为(5-x)百万元，设由此增加的收益是g(x)百万元.
则.
.
则当时，；当时，.
∴当x=4时，g(x)取得最大值.
即4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大.
22．（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）.
【解析】（1）当时，，定义域为，
则，
令，得，令，得
的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）函数在区间上无零点，
在区间上，恒成立或恒成立，
，
，
①当时，，
在区间上，，
记，
则，
在区间上，，
在区间上，单调递减，
，即，
，
即在区间上恒成立，满足题意；
②当时，，，
，
，，
，
在上有零点，即函数在区间上有零点，不符合题意.
综上所述，，此时，函数在区间上无零点，的最小值为.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
D
C
A
B
B
C
D
D
B
B
2
0
单调减
极小值
单调增