2021泉州泉港区一中高二上学期期中考试数学含答案

泉港一中2020-2021学年度上学期期中考试卷

高二数学

考试时间：120分钟  

一、单选题（每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．直线的倾斜角为，则实数满足的关系是　（　 　）

A． B． C． D．

2．已知直线和互相平行，则(    )

A． B． C．， D．，

3．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为

A．      B．    C．     D．

4．如图，圆的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆经过点，则圆的半径为（  ）

A．     B．8      C．     D．10

5．已知两点A（－2，0），B（0，2），点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是（  ）

A．3－ B．3＋ C．3－ D．

6．如图，在四面体中，是△ABC的重心，是上的一点，且，若，则为（    ）

A． B．

C． D．

7．对于直线，下列说法不正确的是（    ）

A．无论如何变化，直线的倾斜角的大小不变

B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限

C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限

D．当取不同数值时，可得到一组平行直线

8．、分别为椭圆的左右焦点，点P在椭圆上，若△POF2是面积为的正三角形，则的值为　　

A． B． C． D．

二、多选题（每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）

9．在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（    ）

A．= B．

C．三棱锥的体积为 D．与平面BB′C′C所成的角为

10．在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是(    )

A． B． C． D．

11．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，曲线为圆

B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为

C．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件

D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为

12．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（    ）

A．的方程为 B．的离心率为

C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线仅有1条

三、填空题（每小题5分，共20分）

13．过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则的长度为______．

14．椭圆的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点，若过､的直线与圆相切，则直线的斜率_____；椭圆的离心率______.

15．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形是上底面正中间一个正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知点是线段上的动点，点是线段上的动点，则线段长度的最小值为_____．

16．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知△ABC的顶点，其“欧拉线”的直线方程为，则△ABC的顶点的坐标为__________.

四、解答题（10+12+12+12+12+12，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．已知直线恒过定点.

（1）求点的坐标；

（2）若点与点关于轴成轴对称，点是直线上一动点，试求的最小值.

18．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

19．如图，在三棱锥中，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．

20．已知圆C的方程为.

（1）设点，过点作直线与圆C交于、两点,若，求直线的方程；

（2）设是直线上的点，过点作圆的切线、，切点为、.求证：经过、、三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标。

21．已知椭圆的离心率为，左焦点为为圆的圆心.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过椭圆右焦点的直线l（斜率存在且不为0）交椭圆于、两点，过且与l垂直的直线l1与圆交于、两点，求四边形面积的取值范围．

22．已知椭圆．离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．