2021泉州科技中学高二下学期期中考试数学试题含答案

泉州科技中学2020-2021学年度第二学期高二数学期中考试卷

满分：150分；考试时间：120分钟

一、     单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

（每小题5分共40分）

1．已知离散型随机变量的分布列，则等于（ *  ）

A． B． C．       D．

2．已知随机变量，且，则（  *  ）

A．0.6 B．0.5 C．0.4         D．0.3

3．已知，，则等于（  *  ）

A． B． C．         D．

4．从某学习小组的4名男生和4名女生中任意选取3名学生进行体能检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数为（  *  ）．

A．96          B．48            C．72         D．36

5．若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（  * ）

A． B．

C．或 D．或

6．的展开式中，的系数为（ *   ）

A．360        B．180       C．90       D．

7．函数的图像大致为（  *  ）

A．B．C． D．

8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ *   ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．

9．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（ *   ）

（附：若随机变量服从正态分布，则，）

A．， B．

C． D．

10．对任意实数x，下列结论成立的是（  *  ）

A．a2＝﹣144                 B．a0＝1

C．a0+a1+a2+…+a9＝1          D．

11.某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有（ * ）

A．18          B．       C．        D．

12．以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为，函数在区间上的“中值点”的个数为，则有（  *  ）   (参考数据：，，，.)

A． B． C． D．

三、填空题（每小题5分共20分）

13．写出导函数是的一个函数为___*___．

14．将、、、、、六个字母排成一排，其中、相邻，且、在、的两侧(与A,B不一定相邻)，则不同的排法共有____*_____种．（用数字作答）

15.已知随机变量X 的分布列为则_*__

16．已知定义在上的函数满足且，

若恒成立，则的取值范围为____*_____．

四、解答题（共6大题70分）

17（本小题10分）.在(n∈N*)的展开式中，若二项式系数最大的项

仅是第六项，求展开式中的常数项.

18.（本小题12分）已知函数在与时都取得极值．（1）求的值与函数的单调区间；

（2）若对,不等式恒成立，求的取值范围．

19.（本小题12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.规则如下：从大小形状完全相同的4个红球6个白球的甲箱中摸取2个球，若摸中2个白球，获纪念奖10元；若摸中1个白球和1个红球，则获二等奖20元；若摸中2个红球，则获一等奖50元.

（1）某顾客参与一次抽奖获得奖金金额为元，求的分布列和期望；

（2）若某顾客有3次抽奖机会，求该顾客获得总奖金不少于50元的概率.

20. （本小题12分）、已知函数，

当时，函数有极值．

（1）求实数b、c的值；

（2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．

21.（本小题12分）某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了位顾客购物的相关数据如下表：

统计结果显示位顾客中一次购物款不低于元的顾客占，该商场每日大约有名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于元的顾客发放纪念品.

（1）试确定、的值，并估计每日应准备纪念品的数量；

（2）现有人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望.

22.（本小题12分）已知函数，.

(1)若，求的取值范围；

(2)当时，证明：.

参考答案

参考答案1A.2D.3A.4B.5D.6A.7B.8B

9BCD, 10ACD, 11CD,  12BC.

1．A【分析】由即可得解.

【详解】.故选：A

2．D【分析】根据正态分布的对称性计算可得；

【详解】解：因为，所以所对应的正态曲线关于对称，所以，因为，所以，所以，所以故选：D

3．A【分析】按照条件概率公式代入即可．【详解】

=.故选：A.

4．B【分析】要从4名男生和4名女生中任意选取3名学生，要至少要选到男生与女生各一名，有两种情况：一种是1男2女，另一种是2男1女，然后分别求解可得答案.【详解】

解：从4名男生和4名女生中任意选取3名学生，至少要选到男生与女生各一名，有两种情况：一种是1男2女，另一种是2男1女其中1男2女的有种；2男1女的有，所以不同的选法有种故选：B

5．D【分析】因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可.【详解】

①易知P点在曲线上，当P点为切点时，.

②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为.

∵A在曲线上，∴，∴，∴，∴，

解得或 (舍去)，∴，k=3，此时切线方程为y+1=3(x+1)，

即.故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.故选：D

6．A【分析】由可得答案.【详解】

的系数为.故选：A.

7解．B【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.

【详解】详解：为奇函数，舍去A,

舍去D;

，

所以舍去C；故选：B.

8解．B【分析】先根据时判断出，再根据在处取最大值可求的值.【详解】令，∵时，∴不合条件.令，故恒成立，又，

∴要在处取最大值，故为在上的极大值点，

故，又，故 ∴，故选：B.

9解．BCD【分析】根据正态分布的知识确定A选项正确性，根据对称性确定BCD选项的正确性.【详解】依题意，所以，

即，，故A选项错误.

由于，所以，故B选项正确.

由于，所以，故C选项正确.

由于，，故D选项正确.故选：BCD

10解．ACD【分析】把所给的二项式变形，利用二项展开式的通项公式，求得a2；再给x赋值，求得a0、a0+a1+a2+…+a9、a0﹣a1+a2+…﹣a9，从而得出结论．

【详解】解：对任意实数x，

＝，∴a2＝﹣×22＝﹣144，故A正确；

故令x＝1，可得a0＝﹣1，故B不正确；令x＝2，可得a0+a1+a2+…+a9＝1，故C正确；

令x＝0，可得 a0﹣a1+a2+…﹣a9＝﹣39，故D正确；故选：ACD．

11解．CD【分析】根据捆绑法得到共有种派法，先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有种派法，得到答案.【详解】

根据捆绑法得到共有，先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有..故选：.

【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

12．BC【分析】先求出的导函数，由拉格朗日中值定理可得，故该方程根的个数即为函数在区间上的“中值点”的个数，由函数的零点与方程的根的关系即可求解，同理由拉格朗日中值定理可得：即的实数根的个数即为函数在区间上的“中值点”个数，从而得出答案.

【详解】设函数在区间上的“中值点”为 由，

则由拉格朗日中值定理可得：

又

即

所以，

作出函数和的图象,如图1.

由图可知，函数和的图象在上有两个交点.

所以方程在上有两个解，即函数在区间上有2个“中值点”.所以 又，函数在区间上的“中值点”为 ，

则由拉格朗日中值定理可得：即，

作出函数与的图象，如图2, 当时，

由图可知，函数与的图象在区间上有1个交点.

即方程在区间上有1个解.所以函数在区间上有1个“中值点”，即 故选：BC

【点睛】

本题考查函数导数中的新定义问题，考查方程是实数根的个数的判断，解答本题的关键是将问题转化为方程在区间上的实数根的个数和方程在区间上的实数根的个数问题，数形结合即可，属于中档题.

13．（答案不唯一）

【分析】根据导数的运算法则，结合题意，即可求解.【详解】

由题意，导函数，则函数可能为.

故答案为：

14．80

15．6【分析】先算，再算，再根据公式算.

【详解】

所以 故答案为：6.

16．解．【答案】【解析】，∴为增函数，

，∴存在唯一一个常数，使得，

∴，即，令可得，∴，故而，∵恒成立，即恒成立，

∴的函数图象在直线上方，

不妨设直线与的图象相切，切点为，

则，解得，．如图，

∴当，即时，的函数图象在

直线上方，即恒成立，故答案为．

17解　在(n∈N*)的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第六项，则n＝10，则＝的展开式的通项为Tr＋1＝C·2r·x5－，

令5－＝0，得r＝2，可得展开式中常数项为C·22＝180.

18．解：（1），递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．（2）

【解析】【分析】（1）求出f（x），由题意得f（）＝0且f（1）＝0联立解得与b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；

（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．

【详解】（1），f（x）＝3x2+2ax+b

由解得，

f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：

所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．

（2）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，

得f（x）在（﹣1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，2）上递增，

所以当x时，f（x）为极大值，而f（2）＝，所以f（2）＝2+c为最大值．要使f（x）＜对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需＞f（2）＝2+c．

解得c＜﹣1或c＞2．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．

19．（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）.

【分析】（1）由题得的可能取值为10，20，50，再求出对应的概率即得分布列和期望；

（2）先求出该顾客获得总奖金少于50元的概率，再利用对立事件的概率公式求解.

【详解】（1）的可能取值为10，20，50，

则，，，

所以，的分布列为

所以的期望为.

（2）某顾客有3次抽奖机会，该顾客获得总奖金少于50元，获得奖金情况可能为10元､10元､10元和10元､10元､20元两种情况，其概率为

则该顾客获得奖金不少于50元的概率为.

20【答案】（1），；（2）．

【详解】（1）由已知当时，，则，所以，

又因为，所以．

（2）因为存在，使得成立，所以问题可转化为：时，，由（1）知

①当时，，令得或；

时，，时，，时，，

所以在和上单调递减，在上单调递增，

又，，，所以当时，，得．

②当时，，当时，成立；

当时，，所以；

当时，成立，所以．综上可知：a的取值范围为．

21．（1）20，10，2400；（2）分布列见解析，.

【分析】（1）根据位顾客中一次购物款不低于元的顾客占可求出，再根据总人数为100可求出，由可求出每日应准备纪念品的数量；

（2）利用二项分布的概率公式求出概率可得分布列，利用二项分布的期望公式可求得数学期望.【详解】（1）由已知，位顾客中购物款不低于元的顾有：

，解得，则，

该商场每日应准备纪念品的数量约为；

（2）由（1）可知人购物获得纪念品的频率即为概率，

故人购物获得纪念品的数量服从二项分配，

则，   ，

，   ，

，则的分布列为：

的数学期望为.

22．(1)；(2)证明见解析.

【分析】(1)对函数f(x)求导，按导函数值恒正、恒负、可正可负三类讨论，求解得a的范围；

(2)利用分析法把要证不等式等价转化为，再构造函数，利用函数单调性推理得证.【详解】(1)，

当时，，函数在单调递增，故，满足题意；

时，，函数在单调递减，故，不满足题意；

时，令，在上存在，使得成立，

故时，，在单调递减，则，不满足题意，

综上：的取值范围是；

(2)时，，要证，即证，即证，设，

则，

，由(1)得，而，即，在单调递增，，

所以，时，.

【点睛】(1)由不等式成立，求参数范围，可以分离参数，转化为恒成立问题；也可以求导，再对参数分类讨论处理.

(2)证明函数不等式，通过等价转化，构造新函数，利用函数的性质解决.