2021平顶山高二上学期期末数学（理）试题含答案

平顶山市2020—2021学年第一学期高二期末调研考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知是公差为2的等差数列，，则（    ）

A.10 B.7 C.6 D.1

3.抛物线的焦点到准线的距离为（    ）

A. B. C. D.1

4.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，且焦距为4，则双曲线的方程为（    ）

A. B. C. D.

5.在正方体中，点是线段的中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

6.设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

7.已知，，，则（    ）

A.有最小值2 B.有最大值2 C.有最小值3 D.有最大值3

8.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ）

A. B. C. D.

9.数列满足，，且，则的前2020项和为（    ）

A.8080 B.4040 C.-4040 D.0

10.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点在轴上的射影为，且，则（    ）

A. B. C.10 D.20

11.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，点，分别是，的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为（    ）

A. B. C. D.

12.已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于，两点，若，，则（    ）

A. B.2 C. D.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知变量，满足约束条件则的最大值为______.

14.已知等比数列的前项和，则______.

15.点为椭圆上一动点，过点作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为，，若，则椭圆的离心率的取值范围是______.

16.已知平面四边形为凸四边形（四个内角均小于180°），且，，，，则平面四边形面积的最大值为______.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.设命题方程表示双曲线；命题不等式对恒成立.

（Ⅰ）若命题为真，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若命题为真，命题为假，求实数的取值范围.

18.已知等比数列的公比不为1，且，是与的等差中项.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.

19.如图所示，在多面体中，为正三角形，平面平面，且，，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

20.在中，角，，所对的边分别为，，，.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若在边上，是的角平分线，，求面积的最小值.

21.某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销量（即月产量）万件与月促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是2万件.已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的月利润为万元.

注：利润=销售收入－生产投入－促销费用.

（Ⅰ）将表示为的函数；

（Ⅱ）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大?

22.已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，焦距为2，点在椭圆上且满足，.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）点为坐标原点，直线与椭圆交于，两点，且，证明为定值，并求出该定值.

2020—2021学年第一学期高二期末调研考试

理科数学·答案

一、选择题：

1.答案   D

命题意图   本题考查集合的运算以及不等式的解法.

解析   由，得，所以

2.答案   D

命题意图   本题考查等差数列的基本概念.

解析   公差，.

3.答案   B

命题意图   本题考查抛物线的基本性质.

解析   抛物线的标准方程为，其焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离为.

4.答案   C

命题意图   本题考查双曲线的标准方程和性质.

解析   一条渐近线的倾斜角为30°，所以，又因为，所以可得，得，，所以双曲线的方程为.

5.答案   B

命题意图   本题考查空间向量的线性运算.

解析  

6.答案   A

命题意图   本题考查空间位置关系以及充分条件和必要条件的判断.

解析   由，得，则“”是“”的充分条件，而不一定有，也可能，则“”不是“”的必要条件.

7.答案   C

命题意图   本题考查基本不等式的应用.

解析因为，所以，所以

（当且仅当时等号成立）.

8.答案   D

命题意图   本题考查余弦定理的应用.

解析   因为，由余弦定理可得，将，代入整理得，所以.

9.答案   B

命题意图   本题考查递推数列的有关问题.

解析   由递推关系式可得，，所以，同理可得，所以.

10.答案   B

命题意图   本题考查双曲线的性质.

解析   由题意可得，，，轴，且因为，所以为直角三角形，，所以，又因为，所以，所以，所以.

11.答案   A

命题意图   本题考查利用空间向量处理立体几何问题.

解析   如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，可得，，，，因为点在平面上的射影是的重心，所以平面，所以，即，解得，即，则点到平面的距离为d.

12.答案   C

命题意图   本题考查抛物线与直线的位置关系.

解析   由题意可知直线的斜率一定存在，设为，联立消去可得，设，，所以.又根据抛物线的定，，所以，解得.

二、填空题：

13.答案   0

命题意图   本题考查简单的线性规划问题.

解析   如图所示，约束条件表示的可行域为内部和边界，当，时，有最大值0.

14.答案   3

命题意图   本题考查等比数列的性质.

解析   因为是等比数列的前项和，所以，所以，所以，所以.

15.答案  

命题意图   本题考查椭圆的性质.

解析   设椭圆的中心为，因为，所以，所以，所以，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以，即，所以离心率，所以.

16.答案  

命题意图   本题考查余弦定理.

解析   在中，，在中，，由上两式得①.又平面四边形的面积②.①②平方相加得，化简即，当时，取得最大值40，即平面四边形面积的最大值为.

三、解答题：

17.命题意图   本题考查简单的逻辑联结词和命题真假的判断.

解析   （Ⅰ）当命题为真时，由题意，解得.

当命题为真时，由题意可得，由此可得.

若命题为真命题，则或，

即.

（Ⅱ）命题为真，命题为假，则，一真一假.

真假时，，

假真时，，

综上，.

18.命题意图   本题考查等比数列的性质以及数列求和.

解析   （Ⅰ）设数列的公比为，

由条件知，即，

整理可得，解得（舍去），

所以.

（Ⅱ），

所以.

19.命题意图   本题考查空间位置关系的证明，以及空间向量的应用.

解析   （Ⅰ）如图，过作于，过作于，连接.

可得，又因为，

在中，因为，，所以，，

所以，，

在中，，.

所以，

因为为正三角形，所以，

因为，所以平面，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间坐标系，如图所示.

则，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

所以取，可得，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20.命题意图   本题考查解三角形的综合问题.

解析   （Ⅰ）由正弦定理及条件得，

因为，，所以，

又，，所以，

从而.

（Ⅱ）因为的面积等于和的面积之和，

得，

又因为，，所以，

所以，得（当且仅当时等号成立）

所以的面积.

所以面积的最小值为.

21.命题意图   本题考查函数模型以及利用基本不等式求最值.

解析   （Ⅰ）由题意知当时，，

则，解得，.

利润，

又因为，

所以，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

因为时，，

因为，当且仅当时等号成立.

所以，

故月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为5.6万元.

22.命题意图   本题考查椭圆的标准方程和性质，椭圆与直线的位置关系.

解析   （Ⅰ）依题意，所以.

由，，得，，

于是，所以，

所以，

因此椭圆的方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，，，

由消去得，

由题意，，则

因为，所以，

即，

整理得.

而，

设为原点到直线的距离，则，

所以，

而，所以.

当直线的斜率不存在时，设，则有，不妨设，则，

代入椭圆方程得，所以，

所以.

综上.