2021六安舒城中学高二下学期开学考试数学（理）试题含答案

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舒城中学2020—2021学年度第二学期开学考高二理数满分：150分 时间：120分钟一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．下列判断正确的是 （ ）A．命题，，则为真命题B．命题“”是命题“”的必要不充分条件C．命题“对于任意的实数，使得”的否定是“存在一个实数，使得”D．若命题“”为假命题，则命题，都是假命题2．已知复数满足，则复数 （ ）A． B． C． D．3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （ ）A．2 B． C． D．4．公差不为0的等差数列的部分项构成等比数列，且，，，则 （ ）A．20 B．22 C．24 D．285．已知定义域为的奇函数,则 （ ）A． B． C． D．46．如图所示，点P是函数的图象的一个最高点，M,N是图象与x轴的交点.若，则的值为 （ ）A.8 B.4 C． D．7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积根据此公式，若，且，则的面积为 （ ）A． B． C． D．8．已知正四面体中, 则直线与所成角的余弦值为 （ ）A． B． C． D．9．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 （ ）A． B． C． D． 10．已知是直线上一动点，是圆C：的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为 （ ）A． B．2 C．3 D．11．在直三棱柱中，，．已知Ｇ与Ｅ分别为 和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度的取值范围为 （ ）A． B. C． D．12．设，分别是椭圆的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设满足约束条件，则的最大值为___________.14．以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且以为渐近线的双曲线方程是___________.15．有一习题：“求证方程只有一个解”.证明如下：“化为，设，则在上单调递减，且，所以原方程只有一个解”。解题思想是转化为函数.类比上述思想，不等式的解集是__________.16．如右图，抛物线和圆，直线经过的焦点，依次交于四点，则的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17．（本题10分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列 的各项均为正数，，公比为，且，.（1）求与；（2）设数列满足，求的前项和.18．（本题10分）已知关于的一元二次函数（1）设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率；（2）设点（，）是区域内的随机点，求函数在区间上是增函数的概率。舒中高二开学考理数 第4页 （共4页）19．（本题12分）在△中，内角，，所对的边分别是，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.20．（本题13分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点(不与，重合)，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.21．（本题12分）已知动点到直线的距离比到点的距离大.（1）求动点所在的曲线的方程；（2）已知点，､是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.22．（本题13分）已知椭圆的离心率为且经过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于M、N两点，B为椭圆C的上顶点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）舒城中学2020—2021学年度第二学期开学考高二理数满分：150分 时间：120分钟一、单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．下列判断正确的是（ ）A．命题，，则为真命题B．命题“”是命题“”的必要不充分条件C．命题“对于任意的实数，使得”的否定是“存在一个实数，使得”D．若命题“”为假命题，则命题，都是假命题【答案】A对于A，命题是真命题，是真命题，则为真命题，正确；对于B， 当时， ， 命题“”不是命题“”的必要不充分条件，错误；对于C，命题“对于任意的实数，使得”的否定是“存在一个实数，使得”，错误；对于D，若命题“”为假命题，则命题，都是假命题或者两个命题中有一个是假命题一个是真命题，错误；故选：A.2．已知复数满足，则复数（ ）A． B． C． D．【答案】D解：由得，所以.故选：D.3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）A．2 B． C． D．【答案】C当时进入循环，，，再进入循环，，，再进入循环，，，此时否，此时输出的值是.故选：C4．公差不为0的等差数列的部分项构成等比数列，且，，，则为 （ ）A．20 B．22 C．24 D．28[来源:学科网]【答案】B5．已知定义域为的奇函数,则 （ ）A． B． C． D．4【答案】A6．如图所示，点P是函数的图象的一个最高点，M,N是图象与x轴的交点.若，则的值为 （　　） A.8 B.4 C. D. 【答案】C7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ）A． B． C． D．【答案】C由正弦定理边角互化可知化简为， 即 ，,，解得：，根据面积公式可知.故选：C8．已知正四面体中, 则直线与所成角的余弦值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B9．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 （ ）A． B． C． D． 【答案】B10．已知是直线上一动点，是圆C：的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为 （ ）A. B. 2 C. 3 D.【答案】B11．在直三棱柱中，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为 和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A12．设，分别是椭圆的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为　　A． B． C． D．【答案】D因为F1是椭圆的左焦点，直线过F1交y轴于C点所以 ，即 因为，所以又因为所以在三角形AF1F2中，，，，根据余弦定理可得 ，代入得，化简得 所以离心率为 所以选D 填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设满足约束条件，则的最大值为___________.【答案】作出线性约束条件所表示的平面区域，如图由得，作沿着可行域的方向平移可得过点时， 取得最大值，由可得，所以，所以，故答案为：14．以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且以为渐近线的双曲线方程是___________.【答案】15．有一习题：“求证方程只有一个解”.证明如下：“化为，设，则在上单调递减，且，所以原方程只有一个解”.解题思想是转化为函数.类比上述思想，不等式的解集是__________.【答案】由不等式得设函数，即由，所以在上单调递增.根据条件得，解得或故答案为：如右图，抛物线和圆，直线经过的焦点，依次交于四点，则的值为 .答案为：1三、解答题 本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17．（本题10分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列 的各项均为正数，，公比为，且，. （1）求与； （2）设数列满足，求的前项和.17.（1）设的公差为.因为所以 解得 或（舍），.故 ，. （2）由（1）可知，，所以. 故.18.（本题10分）已知关于的一元二次函数（1）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；（2）设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率。18.解：（Ⅰ）∵函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当>0且若=1则=－1；若=2则=－1，1； 若=3则=－1，1； ∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5 ∴所求事件的概率为 （Ⅱ）由（Ⅰ）知当且仅当且>0时，函数上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分。由 ∴所求事件的概率为19．（本题12分）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）， （2），，由正弦定理，，，，，；又，故，，. 20．（本题13分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点(不与，重合)，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.（1）因为平面，平面，平面，所以，，又因为，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，，，，，，所以，，，因为，，所以，，又，平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知平面，可作为平面的法向量，设平面的法向量因为，.所以，即，不妨设，得.，又由图示知二面角为锐角，所以二面角的正弦值为.（3）设，即，，所以，即，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，即，解得，即. 21．（本题12分）已知动点到直线的距离比到点的距离大.（1）求动点所在的曲线的方程；（2）已知点，､是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）直线过定点，证明见解析.（1）设，动点到直线的距离比到点的距离大即动点到直线的距离等于到点的距离，由抛物线定义可得曲线的方程为.（2）证明：设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，由（1）抛物线方程为，所以，整理得，解得，直线的方程为，与抛物线联立，整理得，解得,所以，所以直线的方程为，整理得，所以直线过定点. 22．（本题13分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于M、N两点，B为椭圆C的上顶点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）22. 解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则，解之得：a2＝2，b2＝c2＝1，∴椭圆C的标准方程为．（2）假设存在直线l使得点F（1，0）是△BMN的垂心，∵B（0，1），F（1，0），∴kBF＝﹣1，∵F是△BMN的垂心，∴BF⊥MN，从而kMN＝1，∴设直线l的方程为y＝x+m．由，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，，△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，即m2＜3，∵NF⊥BM，则，又＝（1﹣x2，﹣y2）•（x1，y1﹣1）＝x1﹣x1x2﹣y1y2+y2＝x1﹣x1x2﹣（x1+m）（x2+m）+（x2+m）＝，∴，化简可得：3m2+m﹣4＝0，∴m＝1或，当m＝1时点B为直线l与椭圆的交点，不合题意；当时，经检验与题意相符．∴当直线l的方程为时，点F是△BMN的垂心．