2021太原五中高二下学期4月阶段性检测数学（理）含答案

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高二年级数学月考试题（2021.4.1）一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）已知复数z=2−i1+i，则复数z在复平面内对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】解：因为z=2−i1+i=(2−i)(1−i)2=12−32i，所以数z在复平面内对应的点为(12,−32)，在第四象限．故选：D．由复数的运算法则求出z的代数形式，由复数的几何意义得到对应的点的坐标，即可得到答案．本题考查了复数运算法则的运用，主要考查了复数几何意义的理解，属于基础题．有一机器人的运动方程为s=t2+3t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为(      )A. 194 B. 174 C. 154 D. 134【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的概念，导数的物理意义，属于基础题．根据位移的导数是速度，求出s的导函数即速度与时间的函数，将2代入求出物体在时刻t=2时的瞬时速度．【解答】解：根据导数的概念，物体的瞬时运动速度为vt=s′=2t−3t2，所以物体在时刻t=2时的瞬时速度为v2=2×2−34=134．故选D．已知复数z=−12+32i，i为虚数单位，则z2+z等于(    )A. −1 B. −1−3i C. 12+32i D. 12−32i【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的模的计算，考查共轭复数，考查复数的运算，属于基础题．根据复数的模的计算公式以及共轭复数的概念，即可求解．【解答】 解：|z|2+z=−122+322−12−32i=12−32i．故选D．下列运算正确的个数为(    )①(x2cosx)′= −2xsinx，②(3x)′=3xlog3e，③(lgx)′=1xlge，④(exx)′=ex+xexx2．A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】本题考查了导数的运算，熟记公式是关键，属于基础题．运用导数的求导公式对各运算检验即可．【解答】解：①(x2cosx)′=2xcosx−x2sinx；②(3x)′=3xln3；④ (exx)′=exx−exx2；∴正确的个数为0．故选A．指数函数y=ax(a>1)是R上的增函数，y=2|x|是指数函数，所以y=2|x|是R上的增函数．以上推理(    )A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 正确【答案】B【解析】【分析】  本题考查演绎推理及指数函数的定义，分析大前提，小前提，推理形式是否正确即可求解．【解答】解：小前提：y=2|x|是指数函数，是错误的，只有形如y=ax(a>0,a≠1)的函数才是指数函数，故小前提错误. 故选B．已知曲线y=12x2−2上一点P1,−32，则过点P的切线的倾斜角为(     )A. 30° B. 45° C. 135° D. 165°【答案】B解：设y=f(x)，过点P的切线的斜率为k=f′(1)=limΔx→012(1+Δx)2−2−12×12+2Δx=1，设切线的倾斜角为α，则tan α=1，因为0°≤α<180°，所以α=45°．设函数在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是(    )A.  B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了利用函数单调性与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题.根据函数单调性与导数的关系：可知，当x<0时，函数f(x)单调递增；当x>0时，f(x)的单调性变化依次为减、增、减，结合函数y=f′(x)的图象，利用排除法即可求解．【解答】解：原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增；当x>0时，f(x)的单调性变化依次为减、增、减，故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为−，+、−．故选A．图中抛物线y2=2x与直线y=x−4所围成的阴影部分的面积是(    )A. 16B. 18C. 20D. 22【答案】B【解析】【分析】本题考查定积分在求面积中的应用，属于中档题．从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为(2,−2)，(8,4)，过(2,−2)作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积．【解答】解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为(2,−2)，(8,4)．过(2,−2)作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，分别求出它们的面积S1，S2：S1=02[2x−(−2x)]dx=2022xdx=2×2×23x32|02=163，，所以阴影部分的面积S=S1+S2=163+383=18．故选B．函数f(x)=ln x+ax有小于1的极值点，则实数a的取值范围是(  )A. 0,1 B. −∞,−1C. −1,0 D. (−∞,−1)∪(0,+∞)【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，求解过程中要注意导数性质的合理运用，属于基础题．先对函数进行求导，令导函数等于0，原函数有小于1的极值点，故导函数有小于1的根．【解答】解：因为f(x)=ln x+ax，所以函数定义域为{x|x>0}，由f′(x)=1x+a=0得，a≠0，x=−1a，又函数f(x)=ln x+ax有小于1的极值点，所以−1a<1且a<0，所以a<−1，故选B．已知函数，则y=f(x)的图象大致为(      )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的作法、利用导数研究函数的单调性和最值，令g(x)=x−lnx−1，利用导数研究g(x)的单调性和最值，从而得出f(x)的单调性，即可得出结论．【解答】解：令g(x)=x−lnx−1，则x>0，因为g′(x)=1−1x=x−1x，由，得x>1，即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增，由，得00，则f(x)>0，故排除B、D，因为函数g(x)在(0,1)上单调递减，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，故排除C．故选A．已知函数f(x)=x2−1,x<1lnxx,x>1，若关于x的方程2[f(x)]2+2tf(x)+t−12=0有5个不同的实数根，则实数t的取值范围是(    )A. (12−1e,12) B. (1e−12,12) C. (12−1e,32) D. (1e−12,32)【答案】A解：设y=lnxx，则y′=1−lnxx2，由y′=0，解得x=e，当x∈(0,e)时，y′>0，函数单调递增，当x∈(e,+∞)时，y′<0，函数单调递减．∴当x=e时，函数取得极大值也是最大值为f(e)=1e．方程2[f(x)]2+2tf(x)+t−12=0化为[f(x)+t−12][2fx)+1]=0，解得f(x)=−t+12或f(x)=−12，画出函数f(x)的图象如图：结合图象可知，方程f(x)=−12有两个不等实根，要是方程2[f(x)]2+2tf(x)+t−12=0有5个不同的实数根，则方程f(x)=−t+12应有三个不等实根，则0<−t+12<1e⇒12−1e0恒成立，若a=f(2)，b=12f(3)，c=13−1f(3)，则a，b，c的大小关系为(    )A. c0恒成立，所以g′(x)>0在x∈(1,+∞)恒成立，所以函数g(x)在x∈(1,+∞)为增函数，又3<2<3，所以g(3)0，计算得当n=1时f(2)=32，当n≥2时有f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，...，因此猜测当n≥2时，一般有不等式：________．【答案】f2n>n+22【解析】  【分析】本题考查合情推理归纳推理，关键在于根据已知给定的代数式关系，进行归纳分析得出一般性结论.根据不等式特征形式归纳得出关系．【解答】解：根据规律f4>2.f8>52,f16>3,f32>72,⋯，函数自变量的取值特点2n，不等式右侧形式恰好化为n+22，  所以f2n>n+22. 故答案为：f2n>n+22．已知函数fx=−x+2,x≤21−x−32,20，b<0，c>0，d>0；②a>0，b<0，c<0，d>0；③a<0，b<0，c>0，d>0；④a>0，b>0，c>0，d<0．其中，结论成立的是________(填序号)．【答案】①【解析】【分析】本题考查函数的图象与解析式的关系，根据函数的单调性以及极值点结合导数及可求解．【解答】解：由函数y=f(x)的图象知，a>0，f(0)=d>0．又x1，x2是函数f(x)的极值点，且f′(x)=3ax2+2bx+c=0，∴x1，x2是方程3ax2+2bx+c=0的两根，由图象知，x1>0，x2>0，∴x1+x2=−2b3a>0x1x2=c3a>0，因此b<0，且c>0．故答案为①．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an=Snn(2n−1)，且a1=13．(1)求a2，a3；(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【答案】解  (1)a2=S22×(2×2−1)=a1+a26，  又a1=13，则a2=115，  类似地，求得a3=135．(2)由a1=11×3，a2=13×5，a3=15×7，……，  猜想an=1(2n−1)(2n+1). 用数学归纳法证明如下：  ①当n=1时，由(1)可知猜想成立．  ②假设当n=k(k∈N ∗且k≥1)时猜想成立，  即ak=1(2k−1)(2k+1). 当n=k+1时，ak+1=Sk+1(k+1)(2k+1)，∵Sk=k(2k−1)ak  =k(2k−1)1(2k−1)(2k+1)=k2k+1，  Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1，∴ak+1=Sk+1−Sk=(k+1)(2k+1)ak+1−k2k+1，∴k(2k+3)ak+1=k2k+1，∴ak+1=1(2k+1)(2k+3)  =1[2(k+1)−1][2(k+1)+1].∴当n=k+1时猜想也成立．  由①②可知，猜想对任意n∈N ∗都成立．∴{an}的通项公式为an=1(2n−1)(2n+1)．【解析】略某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，当年产量小于7万件时，C(x)=13x2+2x(万元)；当年产量不小于7万件时，C(x)=6x+lnx+e3x−17(万元).已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的产品当年全部售完．(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收人−固定成本−流动成本(2)当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(取e3≈20)【答案】解：(1)产品售价为6元，则x万件产品销售收入为6x万元．依题意得，当0 0，Px单调递增，当x>e3时，P′x<0,P(x)单调递减，∴当x=e3时，Px取最大值Pe3=15−ln e3−1=11(万元)，∵11>10，∴当x=e3≈20时，Px取得最大值11万元，即当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元．【解析】本题考查函数式的求法，考查年利润的最大值的求法，考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．(1)根据年利润=销售额−投入的总成本−固定成本，分0

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