2021重庆市凤鸣山中学高二下学期期中考试数学试题PDF版含答案

重庆市凤鸣山中学2020—2021学年度下期半期

高  2022  级     数学       试题

数学参考答案

一、单选题：

1．解析  ，所以z的虚部为

答案：B

2．答案：A

3．【答案】C

【详解】∵随机变量ξ的分布列为

解得实数

故选：C

4．答案：B

5．【答案】A

【详解】根据二项式定理展开式的逆运算可知

所以

所以

则

故选:A

6．解析  4本不同的书分给三个同学，共有，书A、B分给同一人有，所以共有种

答案：C

7．【答案】C

解：椭圆C的右焦点为，即，
又、2b和2c成等差数列，即，
又，
由联立解得：，，
椭圆的标准方程为：，
设，
则，，
将代入得：，
又在椭圆C上且在第一象限，即，
故选C．
 

8．【答案】D

【详解】构造函数g（x），

∴g′（x），

∵xf′（x）﹣f（x）＜0，

∴g′（x）＜0，

∴函数g（x）在（0，+∞）单调递减．

∵函数f（x）为奇函数，

∴g（x）是偶函数，

∴cg（﹣3）＝g（3），

∵ag（e），bg（ln2），

∴g（3）＜g（e）＜g（ln2），

∴c＜a＜b，

故选D．

二、多选题

9．解析  ∵，∴A正确；

共轭复数的模相等，∴B正确；

和z在复平面内对应的点关于实轴对称，∴D错误；

，∴C正确．

答案：ABC

10．【答案】BC
解：由得，
又由得，
从而得，，故A选项错误，B选项正确；
，故C选项正确；
因为，
所以，故D选项错误，
故选BC．

11．解析  ∵，

故令，可得，故A正确．

令，可得，

令，可得，

两式相减除以2，可得，故B错误．

令，可知C正确．

令，可得，故，故D正确．

答案：ACD

12、【答案】ACD
 

解：依题意，，故，故A正确
当时，，，令，得或．
则函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，故B错误，C正确
对于D，当，恒成立，
故恒成立，
令，，故，
而，
令，得，故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，即实数a的取值范围为，故D正确．
故选ACD．
 

三、填空题：

13．答案：

解析  为纯虚数，则

14．答案：15

解析  为常数项，∴常数项为15

15．答案：528

解析  首先甲站正中间位置，乙、丙在甲的同侧有种，乙、丙在甲的异侧有种，所以共有528种．

16．【答案】
 

解：，求导，在R上单调递增．
函数有两个不同零点，等价于方程有两个不等实根．
设，则，又在R上单调递增，作出函数的图象，

则问题转化为在上有两个不同的实根，，，
则，则，，
设，，则，
，
在上单调递增，且，由零点存在性定理知，在上有唯一零点，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以
故答案为
四、解答题

17．（本小题满分10分）

【答案】解：，
因为函数在及取得极值，
则有，．
即
解得，．
由可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以，解得或，
因此c的取值范围为．
18．（本小题满分12分）

解： Ⅰ 取出的3个球中至少有一个红球的概率：
 ；
Ⅱ 记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“；取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，
则  
Ⅲ 可能的取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：

的数学期望．
 

19．（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【详解】（Ⅰ）证：平面，，

又正方形中，，，平面，

又平面，，

，当为的中点时，平行平面，所以是的中点，

，，平面；

（Ⅱ）解：以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，

设平面的法向量为，则，，

，令，得到，，；

又，，，且平面，

平面的一个法向量为；

设二面角的平面角为，由图可知角为锐角，

则，

二面角的余弦值为．

20．（本小题满分12分）

【答案】(1) (2)①②第一种抽奖方案

【详解】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为

设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A，则

所以两位顾客均获得180元返金劵的概率

（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.

设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.

则；

；

；

.

所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为

（元）

若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则，故

所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的

数学期望为（元）.

②即，所以该超市应选择第一种抽奖方案

21．（本小题满分12分）

【答案】（1）；（2）直线过定点．

【详解】（1）由题，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）由题设直线：，，

联立直线方程和椭圆方程，得，

∴，，．

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，

所以，

整理得或，

又当时，直线过椭圆右定点，此时直线与直线不可能垂直，

∴，

∴直线过定点．

22．（本小题满分12分）

解析  （1）定义域，由题意，则      （2分）

            （3分）

有则            （5分）

（2）法一：

对恒成立，即，

则记，则            （6分）

当时，，则，从而在上单调递减，恒成立，即不等式对任意恒成立．            （8分）

当时，在时有，故不合题意；      （10分）

当时，可以证明对恒成立，则，

有，

当时，，故不符合题意．            （12分）

综上：．

法二：

不等式对任意恒成立，取，则得到，可得．

，等价于，，

记，则，，

，对称轴为，

当，即时，，在单调递减，则，成立．

当，即时，，使得，即时；

；故在单调递增，在单调递减，则，成立，但是当，在单调递减，特别地x取较大的数时，

，取，则不满足题意．

即，舍去．

综上：．