2020梅州高三6月总复习质检（二）理科数学试题含答案

梅州市高三总复习质检试卷

理科数学

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有

一个是符合题目要求的。

1．复数，则其共轭复数

A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i

2．已知集合则=

A． B． C． D．

3．在中的中点，则

 B．

  D.

4．以下四个命题：

①若为假命题，则p,q均为假命题；

②对于命题则p为：；

③是”函数在区间上为增函数”的充分不必要条件;

④为偶函数的充要条件是

其中真命题的个数是

A．1 B．2C．3D．4

5．2021年起，我省将实行“3+1+2”高考模式，某中学为了解本校学生的选考情况，随机调查了100位学生，其中选考化学或生物的学生共有70位，选考化学的学生共有40位，选考化学且选考生物的学生共有20位．若该校共有1500位学生，则该校选考生物的学生人数的

估计值为

A．300 B．450 C．600 D．750

6.展开式的常数项为

A．120 B．160 C．200 D．240

7．已知在各项均不为零的等差数列数列是等比数列，

且则等于

A．2   B．4 C．8 D．16

8．某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为

A．2π B．4π

C．16π  D．不存在

9．若有下列四个不等式：；③；

④则下列组合中全部正确的为

A．①② B．①③ C．①④ D．②③

10．已知直线：2x-y+3=0和直线：x=-1，抛物线上的点P到直线和直线的距离之和的最小值是

A． B．2  C．

11．祖暅是南北朝时代的伟大数学家，五世纪末提出几何体体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现在有四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为

A．①② B．①③  D．①④

12．在直角坐标系xOy中，如果相异两点都在函数的图象上，那么称A，B为函数的一对关于原点成中心对称的点对(A，B与B，A为同一对).函数图象上关于原点成中心对称的点对有

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分

13．已知数列的前n项和为则

14．曲线在点处的切线方程为

15．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数)，若该食品在0C的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，则该食品在33C的保鲜时间是

16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO、PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M、N．若且则双曲线C的离心率为

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个考生都必须作答；第22-23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：60分

17．(12分)

已知a，b，c分别为说角△ABC三个内角A，B，C的对边，满足

(1)求A；

(2)若b=2，，求面积的取值范围。

18．(12分)

如图中、C分别是PA、PD的中点，将//BC折起连结PA、PD，得到多面体PABCD。

(1)证明：在多面体PABCD中；

(2)在多面体PABCD中，当时，求二面角B-PA-D的余弦值。

19．(12分)

某市《城市总体规划（年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈“指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区(指数为、良好小区(指数为0.4-0.63、中等小区(指数为0.2~0.4)以及待改进小区(指数为0-0.2)4个等级．下面是三个小区4个方面指标值的调查数据：

注：每个小区”15分钟社区生活圈”指数其中、、、为该小区四个方面的权重，为该小区四个方面的指标值(小区每一个方面的指标值为之间的一个数值)

现有100个小区的“15分钟社区生活圈“指数数据，整理得到如下频数分布表：

(1)分别判断A、B、C三个小区是否是优质小区，并说明理由；

(2)对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ζ，求ζ的分布列及数学期望。

20．(12分)

已知两动圆：：，把它们的公共点P的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上相异的两点A，B满足：=0．

(1)求曲线C的方程;

(2)证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标;

(3)求面积S的最大值.

21．(12分)

已知函数

(1)当时，求证：;

(2)当f(x)有三个零点时，求a的取值范围.

(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为

(1)求直线和圆C的直角坐标方程;

(2)若点在圆C上，求的取值范围．

23．[选修4-5：不等式选讲](10分)

已知函数

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围。

梅州市高三总复习质检试题（2020、6）

理科数学参考答案与评分意见

一、题选择：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.

二、填空题:每题5分，满分20分.

13..       14. .    15. 6.     16..  

17.(12分)

解:(1)由已知及正弦定理得,                             ……………………2分

由余弦定理可得                                           ……………………4分

又                                              ……………………6分

(2) 由已知及正弦定理得,                                ……………………7分

由得                        ……………………8分

                                ……………………9分

△是锐角三角形,得得   ……………………10分

                                    ……………………11分

所以△面积的取值范围是                           ……………………12分

18.(12分)  

(1)证明: △中,因为分别是的中点,

 所以       ……………………1分

所以多面体中, ……………………2分

平面.            ……………………3分

平面,               ……………………4分

(2)依题意可得, 直角△中,得又

所以,     ……………………5分

由(1)知, 平面 ……………………6分

以为坐标原点,分别以为轴,

建立如图的坐标系.                        ……………………7分 

则,      ……………………8分

得……………………9分

设平面的一个法向量分别是,

则可取. ……………………10分

可取.     ……………………11分

.       ……………………12分

所以二面角的余弦值为0.

19.(12分)

解：（1）小区的指数，

，所以小区不是优质小区；                              ……………………1分

小区的指数，

，所以小区是优质小区；                               ……………………2分

小区的指数，

，所以小区不是优质小区；                             ……………………4分

（2）依题意，抽取个小区中，共有优质小区个，

其它小区个.                                              ……………………6分

依题意的所有可能取值为、、.                                 ……………………7分

，，

.                                         ……………………10分

则的分布列为：

                                         ……………………11分

.                                   ……………………12分

20. (12分)

解：（1）两动圆的公共点为，则有：．

由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，，，                   ……………………2分

所以曲线的方程是：.                                   ……………………4分

（2）由题意可知：，设，，

当的斜率存在时，设直线，联立方程组：

，把②代入①得：，

③，④，                            ……………………5分

因为，所以有，         ……………………6分

，把③④代入整理：

，化简得：

，或（舍）.

当时 , 成立.                                       

此时直线过点.                                        ……………………7分

当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：,过定点.

综上，直线恒过定点.                                  ……………………8分

（3）面积， ……………9分

由第（2）小题的③④代入，整理得：，             ……………………10分

方法一:

.                                             ……………………11分

时,在上递减,时,在上递增,

时,有最大值

所以面积的最大值为．                                  ……………………12分

方法二:

,

令                           ……………………11分

时,有最大值.此时时,

所以面积的最大值为．                                  ……………………12分

方法三:

因在椭圆内部，所以，可设，

，                                       ……………………11分

得

此时,．                                               ……………………12分

所以面积的最大值为．

21.(12分)

（1）证明：.                          ……………………1分

令，，.                  ……………………2分

，                             ……………………3分

在上单调递减，.…………………4分

所以原命题成立.

（2）由有三个零点可得,

有三个零点.                             

.                                        ……………………5分

①时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；  ……………………6分

②当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意； …………………7分

③当时，记的两个零点为，，

不妨设，且.                                      ……………………8分

时，；时，；时,，

观察可得，且，当时，,单调递增，

所以有，即，                  ……………………9分

时，，单调递减，时,，单调递减，

由（1）知，，且，所以在上有一个零点，……………10分

设

则

所以也是的零点 .                                          ……………………11分

综上可知有三个零点.

即当有三个零点时，的范围是.

……………………12分

22.(10分)

解：（1）由题意，直线的参数方程为（为参数），

消去参数，得直线的直角坐标方程为，                ……………………2分

又由圆的极坐标方程为，即，………………4分

又因为，，，

可得圆的直角坐标方程为.                    ……………………5分

（2）因为点在圆上，可设(是参数)， ………………7分

所以.          ……………………9分

因为，所以的取值范围是.          ……………………10分

23.(10分)

解：（1）,

或或.         ……………………3分

或或.

.                                                      ……………………5分

即不等式的解集为.                                   ……………………6分

（2） 即

得                                           ……………………7分

                            ……………………9分

所以实数的取值范围是                                    ……………………10分