2020届广东省梅州市高三6月总复习质检（二）数学（理）试题 PDF版

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一、题选择：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
二、填空题:每题5分，满分20分.
13.. 14. . 15. 6. 16..
17.(12分)
解:(1)由已知及正弦定理得, ……………………2分
由余弦定理可得 ……………………4分
又 ……………………6分
(2) 由已知及正弦定理得, ……………………7分
由得 ……………………8分
……………………9分
△是锐角三角形,得得 ……………………10分
……………………11分

所以△面积的取值范围是 ……………………12分
18.(12分)
(1)证明: △中,因为分别是的中点,
所以 ……………………1分
所以多面体中, ……………………2分
平面. ……………………3分
平面, ……………………4分
(2)依题意可得, 直角△中,得又
所以, ……………………5分
由(1)知, 平面 ……………………6分
以为坐标原点,分别以为轴,
建立如图的坐标系. ……………………7分
则, ……………………8分
得……………………9分
设平面的一个法向量分别是,
则可取. ……………………10分
可取. ……………………11分
. ……………………12分
所以二面角的余弦值为0.
19.(12分)
解：（1）小区的指数，
，所以小区不是优质小区； ……………………1分
小区的指数，
，所以小区是优质小区； ……………………2分
小区的指数，
，所以小区不是优质小区； ……………………4分
依题意，抽取个小区中，共有优质小区个，
其它小区个. ……………………6分
依题意的所有可能取值为、、. ……………………7分
，，
. ……………………10分
则的分布列为：
……………………11分
. ……………………12分
20. (12分)
解：（1）两动圆的公共点为，则有：．
由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，，， ……………………2分
所以曲线的方程是：. ……………………4分
（2）由题意可知：，设，，
当的斜率存在时，设直线，联立方程组：
，把②代入①得：，
③，④， ……………………5分
因为，所以有， ……………………6分
，把③④代入整理：
，化简得：
，或（舍）.
当时 , 成立.
此时直线过点. ……………………7分
当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：,过定点.
综上，直线恒过定点. ……………………8分
（3）面积， ……………9分
由第（2）小题的③④代入，整理得：， ……………………10分
方法一:
. ……………………11分
时,在上递减,时,在上递增,
时,有最大值
所以面积的最大值为． ……………………12分
方法二:
,
令 ……………………11分
时,有最大值.此时时,
所以面积的最大值为． ……………………12分
方法三:
因在椭圆内部，所以，可设，
， ……………………11分
得
此时,． ……………………12分
所以面积的最大值为．
21.(12分)
（1）证明：. ……………………1分
令，，. ……………………2分
， ……………………3分
在上单调递减，.…………………4分
所以原命题成立.
（2）由有三个零点可得,
有三个零点.
. ……………………5分
= 1 \* GB3 ①时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意； ……………………6分
②当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意； …………………7分
③当时，记的两个零点为，，
不妨设，且. ……………………8分
时，；时，；时,，
观察可得，且，当时，,单调递增，
所以有，即， ……………………9分
时，，单调递减，时,，单调递减，
由（1）知，，且，所以在上有一个零点，……………10分
设
则
所以也是的零点 . ……………………11分
综上可知有三个零点.
即当有三个零点时，的范围是.
……………………12分
22.(10分)
解：（1）由题意，直线的参数方程为（为参数），
消去参数，得直线的直角坐标方程为， ……………………2分
又由圆的极坐标方程为，即，………………4分
又因为，，，
可得圆的直角坐标方程为. ……………………5分
（2）因为点在圆上，可设(是参数)， ………………7分
所以. ……………………9分
因为，所以的取值范围是. ……………………10分
23.(10分)
解：（1）,
或或. ……………………3分
或或.
. ……………………5分
即不等式的解集为. ……………………6分
（2） 即
得 ……………………7分
……………………9分
所以实数的取值范围是 ……………………10分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
D
A
D
B
D
D
B
A
D
C