2020连云港赣榆区高三高考仿真训练数学试题含答案

高三数学试题

数学Ⅰ（必做题）

一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．

1．   已知集合A＝{1,4,5}，B＝{3,4}，则A∪B＝    ▲    ．

2．设复数z满足z(1－i)＝4 i (i为虚数单位)，则复数z的模为    ▲    ．

3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则参加英语测试的学生人数是    ▲    ．

4．如图所示的算法流程图，若输出y的值为，则输入x的值为    ▲    ．

5．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为    ▲    ．

6. 函数的定义域是    ▲    ．

7．已知双曲线：的焦点关于一条渐近线的对称点在轴上，则该双曲线的离心率为    ▲    ．

8．中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走 里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为   ▲    ．

9. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是    ▲    ．

10. 已知直线经过点，则的最小值是    ▲    ．

11.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为    ▲   ．

12.如图，扇形的半径为2，，是弧上一点，满足 ，与的交点为，那么      ▲     ．

13. 在平面直角坐标系xoy中，已知直线：与圆C：交于A、B两点，过点A、B分别做圆C的两条切线与，直线与交于点P，则线段PC长度的最小值是    ▲    ．

14. 已知函数 若关于的不等式的解集非空，且为有限集，则实数的取值集合为    ▲    ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.

15. (本小题满分14分)

在中，角、、的对边分别为、、，且.

（1）若，，求的值；

（2）若，求的值.

16. (本小题满分14分)

如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面分别为棱的中点.求证：

（1）平面；

（2）平面.

17．(本小题满分14分)

如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”.过椭圆第四象限内一点M作x轴的垂线交其“辅助圆”于点N，当点N在点M的下方时，称点N为点M的“下辅助点”.已知椭圆E：上的点的下辅助点为（1，﹣1）.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若△OMN的面积等于，求下辅助点N的坐标.

18．(本小题满分16分)

如图，某城市小区有一矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为米的扇形绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元．

（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；

（2）如何选取点的位置，能使总造价最小．

19．(本小题满分16分)

已知函数，．（是自然对数的底数，e≈2.718…）

（1）求函数的极值；

（2）若函数在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围；

（3）若函数在区间(0，)上既存在极大值又存在极小值，并且 的极大值小于整数b，求b的最小值．

20．(本小题满分16分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记集合M＝{n|n(n＋1)≥λan，n∈N*}，若M中有3个元素，求λ的取值范围；

（3）是否存在等差数列{bn}，使得a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1＝2n＋1－n－2对一切n∈N*都成立？若存在，求出bn；若不存在，说明理由．

    数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

B.（选修4—2：矩阵与变换）

已知矩阵的一个特征值为3, 求的另一个特征值及其对应的一个特征向量.

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中, 为曲线上的动点, 为直线上的动点, 求的最小值.

22. (本小题满分10分)

如图，在三棱柱中，平面，，，分别为，，的中点，，．

（1）求证：⊥；

（2）求二面角的余弦值．

23. (本小题满分10分)

（1）证明：；

（2）证明：对一切正整数n和一切实数，有.

参考答案

1. {1,3,4,5}          2.         3. 50          4．        5． 

 6. (0,2]            7.          8. 120         9.            10. 2

11..             12.2            13.       14.

15. 解：（1）在中，由余弦定理得，

，即， 

解得或（舍），

所以；

（2）由及得，， 

所以，

所以==

16. 证明：（1）因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC， 又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，

所以MN∥AB． 又平面PAB，平面PAB，所以MN∥平面PAB．  

（2）因为AP=AD，M为PD的中点， 所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD， 又平面PAD∩平面ABCD= AD，CD⊥AD，平面ABCD，所以CD⊥平面PAD． 又平面PAD，所以CD⊥AM． 因为CD，平面PCD，，所以AM⊥平面PCD．  

17.解：（1）∵椭圆上的点（1，）的下辅助点为（1，﹣1），

∴辅助圆的半径为R，椭圆长半轴为a＝R，

将点（1，）代入椭圆方程中，解得b＝1，.....................6分

∴椭圆E的方程为；

（2）设点N（x0，y0）（y0＜1），则点M（x0，y1）（y1＜0），将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，

x02+y02＝2，，故y02＝2y12，即y0y1，

又S△OMNx0（y1﹣y0），则x0y1，........................10分

将x0y1与联立可解得或，

∴下辅助点N的坐标为（，）或（，）；.....................14分

18． 解：（1）过作的垂线，垂足为；过作的垂线，垂足为．

在中，，则

在中，，··············4分

由题意易得     ························6分

因此，  ··············7分

       ···················································9分

（2）

令， ，因为，所以 ，······························12分

设锐角满足，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．·········································14分

所以当 ，总造价最小，最小值为，

此时，，，

答：当米时，能使总造价最小．········································16分

19．解：（1），，令，解得，列表：

∴当时，函数取得极大值，无极小值…………3分

（2）由，得

…………5分

∵，令，

∴函数在区间上单调递增等价于对任意的，函数恒成立

∴，解得．………… 8分

（3），

令，

∵在上既存在极大值又存在极小值，∴在上有两个不等实根，

即在上有两个不等实根．…………10分

∵

∴当时，，单调递增，当时，，单调递减

则，∴，解得，∴

∵在上连续且

∴在和上各有一个实根

∴函数在上既存在极大值又存在极小值时，有，并且在区间上存在极小值，在区间上存在极大值．

∴，且

，……13分

令，当时，，单调递减

∵，∴，即，则

∵的极大值小于整数，∴满足题意的整数的最小值为．…………16分

20.解：(1)当n＝1时，S1＝2a1－1，得a1＝1.

当n≥2时，由Sn＝2an－1，①

得Sn－1＝2an－1－1，②

①－②，得an＝2an－1，即＝2(n≥2)．

因此{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1.

(2)由已知可得λ≤，令f(n)＝，

则f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝3，f(4)＝，f(5)＝，

下面研究f(n)＝的单调性，

因为f(n＋1)－f(n)＝－＝，

所以，当n≥3时，f(n＋1)－f(n)＜0，f(n＋1)＜f (n)，

即f(n)单调递减.

因为M中有3个元素，所以不等式λ≤解的个数为3，所以2＜λ≤，即λ的取值范围为.

(3)设存在等差数列{bn}使得条件成立，

则当n＝1时，有a1b1＝22－1－2＝1，所以b1＝1.

当n＝2时，有a1b2＋a2b1＝23－2－2＝4，所以b2＝2.

所以等差数列{bn}的公差d＝1，所以bn＝n.

设S＝a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1，

S＝1·n＋2(n－1)＋22(n－2)＋…＋2n－2·2＋2n－1·1，③

所以2S＝2·n＋22(n－1)＋23(n－2)＋…＋2n－1·2＋2n·1，④

④－③，得S＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n ＝－n＋＝2n＋1－n－2，

所以存在等差数列{bn}，且bn＝n满足题意．

21B．解：矩阵M的特征多项式为= ……1分

  因为方程的一根，所以……………………………………3分

  由,得………………………………………… 5分

设对应的一个特征向量为,则,得……………8分

令,

所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为…………10分

21C．解:圆的方程可化为,所以圆心为,半径为2     …………3分

又直线方程可化为                          ……………………… 5分

所以圆心到直线的距离，

故                                    ………………………10分

22.（1）取中点，连接，在三棱柱中，

因为⊥平面，所以四边形为矩形，

又分别为的中点，所以．

因为．所以．

又平面，则，

因为，所以．

如图建立空间直角坐标系．··············2分

由题意得，，，，，．

所以，，

所以，

所以，

所以．··············5分

（2）由（1）可得，，，

设平面的法向量为，

所以，所以，

令，则，，··············7分

所以平面的一个法向量，

又因为平面的法向量为，··············8分

所以．

由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．

··············10分

23.证明：

（1）右边==左边

（2）①当时，左边==右边。

     ②假设时，对一切实数，都有成立，

那么，当时，对一切实数，有

。

所以，当时，等式成立。

故对一切正整数和一切实数，有。