2020云南民族大学附中高三第二次高考仿真模拟数学（文）试题（解析版）含解析

2020届高三第二次高考仿真模拟（文科数学）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合，，则的真子集的个数为

A. 3 B. 4 C. 7 D. 8

【答案】C

【解析】解：集合0，1，2，3，，
，
3，，
的真子集的个数为：个．
故选：C．
先分别求出集合A和B，由此能求出的真子集的个数．
本题考查交集中真子集个数的求法，考查交集、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2. 在复平面内，复数对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】解：，
复数对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：A．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

3. 每年的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失．某保险公司为此开发了针对渔船的险种，并将投保的渔船分为Ⅰ，Ⅱ两类，两类渔船的比例如图所示．经统计，2019年Ⅰ，Ⅱ两类渔船的台风遭损率分别为和年初，在修复遭损船只的基础上，对Ⅰ类渔船中的进一步改造．保险公司预估这些经过改造的渔船2020年的台风遭损率将降为，而其他渔船的台风遭损率不变．假设投保的渔船不变，则下列叙述中正确的是

A. 2019年投保的渔船的台风遭损率为
B. 2019年所有因台风遭损的投保的渔船中，I类渔船所占的比例不超过
C. 预估2020年I类渔船的台风遭损率会小于II类渔船的台风遭损率的两倍
D. 预估2020年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于II类渔船因台风遭损的数量

【答案】D

【解析】解：设全体投保的渔船为t艘，
对于A，2019年投保的渔船的台风台风遭损率为，故A错误；
对于B，2019年所有因台风遭损的投保的渔船中，I类渔船所占的比例为：，故B错误；
对于C，预估2020年I类渔船的台风遭损率为：，故C错误；
对于D，预估2020年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量：少于II类渔船因台风遭损的数量：，故D正确．
故选：D．
仔细观察频率分布直方图，结合频率分布直方图的性质能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得

A. “宫、商、角”的频率成等比数列
B. “宫、徵、商”的频率成等比数列
C. “商、羽、角”的频率成等比数列
D. “徵、商、羽”的频率成等比数列

【答案】A

【解析】解：设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为，
“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是，
由于a，，成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，
故选：A．
根据文化知识，分别求出相对应的概率，即可判断．
本题考查了等比数列的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题．
 

5. 若m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是   

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则

【答案】B

【解析】【分析】
可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．
考查空间想象能力，以及线面平行、线面垂直、面面垂直、面面平行的概念．
【解答】
解：错误，由，得不出内的直线都垂直于；
B.正确，，根据线面平行的性质定理知，内存在直线，，，，；
C.错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行、可能相交，即不一定得到；
D.错误，可以想象两个平面、都和相交，交线平行，这两个平面不一定平行．
故选：B．
 

6. 若，函数的值域为，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】解：函数，其中，，．
令，，，，，
，且，．
，即．
当时，单调递减．
，．
的取值范围是
故选：D．
由函数，其中，，令，，由，，可得，由，且可得，可得当时，单调递减．即可得出．
本题考查了三角函数的单调性、不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】解：，，
，
．
故选：C．
由，，可得a，b都小于0，再与比较大小即可得出关系，c大于0．
本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

8. 函数的图象大致为

A.  B.
C.  D.

【答案】A

【解析】解：因为，所以是偶函数，排除C和D．
当时，，，令，得；令，得．
所以在处取得极小值，排除B，
故选：A．
利用函数的奇偶性可排除CD，利用导数研究可知当时，其在处取得极小值，可排除B，由此得解．
本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．
 

9. 已知向量，若，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】解：，
，．
故选：B．
直接利用向量的数量积化简求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，是基础题．
 

10. 已知三棱锥中，侧面底面BCD，是边长为3的正三角形，是直角三角形，且，，则此三棱锥外接球的体积等于

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】解：三棱锥中，侧面底面BCD，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；
且；
设三棱锥外接球的球心为O，则，，
所以三棱锥外接球的半径为，
所以三棱锥外接球的体积为．
故选：B．
把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积．
本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题．
 

11. 已知双曲线与函数的图象交于点P，若函数的图象与点P处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】解：设P的坐标为，左焦点，
函数的导数，则在P处的切线斜率，
即，得，
则，设右焦点为，
则，
即，
，
双曲线的离心率，
故选：D．
设P的坐标为，求函数导数，利用导数的几何意义以及切线斜率公式建立方程关系求出，根据双曲线的定义求出a，c即可．
本题考查双曲线的离心率的求法，根据导数的几何意义，建立切线斜率关系，求出a，c是解决本题的关键．考查运算能力．
 

12. 已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】【分析】
本题考查不等式恒成立求参数问题，利用导数讨论函数的单调性，构造函数的构造思想，对数的等价变形等，属于难题．
将原不等式化为  对恒成立；设函数，即 对恒成立；讨论函数的单调性；
【解答】
解：不等式对恒成立；
即
对恒成立；
即  对恒成立；
设函数，则；
所以在上单调递减，在上单调递增；
即 对恒成立；
时，；
根据选项，只需讨论的情况；
当时，  在上单调递减，
则；
则 ，两边取e为底的对数，
得：；
即  
设函数，
则；
所以在上单调递增，
在上单调递减；
 则，
即；
故选：C．
 

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为______．

【答案】

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由得，
平移直线，
由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，
此时z最小，
此时，
故答案为：．
作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．
本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．
 

14. 若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是______．

【答案】或

【解析】解：由题意可得，抛物线方程为或．
若抛物线方程为，代入，得，
则抛物线方程为，此时在抛物线上，符合题意；
若抛物线方程为，代入，得，
则抛物线方程为，此时在抛物线上，符合题意．
抛物线的标准方程可以是或．
故答案为：或．
由题意可设抛物线方程为或，然后分类求解得答案．
本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题．
 

15. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D在边BC上，且，则AD的最大值是______．

【答案】

【解析】解：中，，由正弦定理得，，
因为，所以；
又因为，所以；
设外接圆的圆心为O，半径为R，则由正弦定理得，；
取BC的中点M，如图所示；
在中，，；
在中，，；
由，当且仅当圆心O在AD上时取“”；
所以AD的最大值是．
故答案为：．
中利用正弦定理转化求得A的值，再求出外接圆的半径；取BC的中点M，利用直角三角形的边角关系与两边之和大于第三边，即可求出AD的最大值．
本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了数形结合与转化思想，是难题．
 

16. 已知下列命题：
    函数在上单调递减，在上单调递增；
    若函数在R上有两个零点，则a的取值范围是；
    当时，函数的最大值为0；
    函数在上单调递减；
    上述命题正确的是______填序号．

【答案】

【解析】解：根据复合函数同增异减的性质，可知函数在上单调递减，在上单调递增，故正确；
令，则函数的图象与直线有两个交点，根据函数的图象可知，故正确；
当时，，

所以
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最大值为，故不正确．
，当时，，
此时单调递减，故正确；
故答案为：．
在上单调递减，在上单调递增；函数在R上有两个零点，即方程在R上有两个不同的方程根，分别画出和的图象，可得a的取值范围是；由基本不等式可得当时，函数的最大值为；化简函数可得，函数在上单调递减．
本题考查命题的真假判断，以及函数的基本性质，指数函数的图象变换，基本不等式的应用和正余弦函数的性质，属于基础题．
 

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，是正三角形，且E为AD的中点，F为PE的中点，平面PAD．
    证明：平面平面PEB；
    求点P到平面BCF的距离．

【答案】证明：平面PAD，平面PAD，
，
又是正三角形，E为AD的中点，
，
又，平面PEB，
又因为四边形ABCD为菱形，所以，
平面PEB，
又因为平面PBC，所以平面平面PEB．
解：因为F为PE中点，所以点P到平面BCF的距离与E到平面BCF的距离相等，
即求E到平面BCF的距离相等，
由，得，
，
，即点P到平面BCF的距离是．

【解析】证明，，推出平面PEB，然后证明平面PEB，得到平面平面PEB．
通过点P到平面BCF的距离与E到平面BCF的距离相等，通过，转化求解即可．
本题考查直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，等体积法的应用，空间距离的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力．
 

18. 设是公差不为0的等差数列，其前n项和为已知，，成等比数列，．
    求的通项公式；
    设，数列的前n项和为，求．

【答案】解：设等差数列的公差为，
由题意，，解得．
；
，
，


．

【解析】设等差数列的公差为，由已知列式求得首项与公差，则等差数列的通项公式可求；
求出数列的通项公式，可得，再由数列的分组求和与等比数列的前n项和求解．
本题考查数列递推式，考查等差数列通项公式与前n项和的求法，训练了数列的分组求和与等比数列的前n项和，是中档题．
 

19. 为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．

请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．
优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表单位：件，并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．

附：

，其中．
已知每件产品的纯利润单位：元与产品质量指标值的关系式为，若每台新设备每天可以生产100件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成本．

【答案】解：估计新设备所生产的产品的优质品率为：，
估计旧设备所生产的产品的优质品率为：；
根据题目所给数据得到如下的列联表：

由列联表可知：，
有的把握认为“产品质量高与新设备有关”；
新设备所生产的产品的优质品率为，
每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有件优质品，有件合格品，
估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为元，
天，
估计至少需要生产471天方可以收回设备成本．

【解析】根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的产品的优质品率；
根据题目所给的数据填写列联表，计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论；
根据新设备所生产的产品的优质品率，分别计算1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可以收回设备成本．
本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
 

20. 已知函数．
    讨论函数极值点的个数；
    当时，不等式在上恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】解：，
当时，，所以在R上单调递增，无极值．
当时，令，得，
当时，；当时，
即函数在上单调递减，在 上单调递增，
此时只有一个极值点．
综上所述，当时，在R上无极值点；
当时，函数在R上只有一个极值点．
当时，由题即在上恒成立
令且，
则，
，
则且，
当时，即时，
由于，，而，
所以，故在上单调递增，所以，
即，故在上单调递增，所以，
即在上恒成立，故符合题意．
当时，即时，
由于在上单调递增，
令因为，
故在上存在唯一的零点，使，
因此，当时，，单调递减，所以，
即，在上单调递减，故，与题不符．
综上所述，k的取值范围是．

【解析】求出导函数，通过当时，当时，判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值即可．
当时，由题即在上恒成立，令且，通过函数的导数，结合当时，当时，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果．求解k的取值范围．
本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，是难题．
 

21. 已知圆C：与定点，动圆I过M点且与圆C相切，
    记动圆圆心I的轨迹为曲线E．
    Ⅰ求曲线E的方程；
    Ⅱ斜率为k的直线l过点M，且与曲线E交于A，B两点，P为直线上的一点，若为等边三角形，求直线l的方程．

【答案】解：Ⅰ设圆I的半径为r，题意可知，点I满足：
，，
所以，，
由椭圆定义知点I的轨迹是以C，M  为焦点的椭圆，
所以，，，
故轨迹E 方程为：；
Ⅱ直线l的方程为，
联 消去y 得．
直线恒过定点，在椭圆内部，所以恒成立，设，，
则有，，
所以，
设AB的中点为，则，，
直线PQ的斜率为由题意知，又P为直线上的一点，所以，
，
当为等边三角形时，，
即，
解得，即直线l的方程为，或．

【解析】Ⅰ设圆I的半径为r，由题意可得为定值，由椭圆的定义可得E的轨迹为椭圆，且可知a，c的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；
Ⅱ设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出AB的中点D的坐标，进而求出弦长，可得直线PQ的斜率，再由P在直线上，可得的长，由为等边三角形时，，进而求出k的值．
本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合，及等边三角形的性质，属于中档题．
 

22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
    求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
    若直线l与曲线C相交于A，B两点，求．

【答案】解：直线l的参数方程为为参数，
直线l的普通方程为，
曲线C的极坐标方程为．
，
曲线C的直角坐标方程为．
联立，得，
，
设，，则，
直线l恰好过抛物线的焦点，
．

【解析】由直线l的参数方程能求出直线l的普通方程，由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程．
联立，得，由此利用韦达定理、弦长公式能求出．
本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程、弦长的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

23. 已知函数．
    Ⅰ求不等式；
    Ⅱ若不等式的解集包含，求实数a的取值范围

【答案】解：Ⅰ．
当时，，即，解得；
当时，，即，解得；
当时，，即，解得．
综上，不等式的解集为．
Ⅱ对，恒成立，
即在恒成立，
即，，
在恒成立，
，
．

【解析】Ⅰ由绝对值的意义，讨论x的范围，去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；
Ⅱ由题意可得在恒成立，即，由绝对值不等式的解法和参数分离，结合恒成立问题解法可得a的范围．
本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题解法，考查参数分离和化简运算能力，属于中档题．