2021合肥肥东县高级中学高三上学期第三次月考数学（理）试题含答案
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2021届高三年级第一学期第三次月考
理 科 数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
- 设集合，集合，则
A. B.
C. D.
- 设命题p：若，则“”是“”的必要不充分条件；命题q：“，”的否定是“，”，则下列命题为真命题的是
A. B. C. D.
- 在中，分别为内角的对边，若，且，则
A. B. 4 C. D. 5
- 设，若单位向量，满足：且向量与的夹角为，则
A. B. C. 1 D.
- 已知幂函数，在上单调递增．设，，，则，，的大小关系是
A. B.
C. D.
- 已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是
A. B. C. D.
- 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板不含天心石
A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块
- 过椭圆的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若则C的离心率为
A. B. C. D.
- 函数的定义域为D，若满足在D上是单调函数，存在，使在上的值域为，那么就称为“好函数”，现有函数是好函数，则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
- 已知函数的定义域为R，且当时，有，当时，有恒成立，则x的取值范围为
A. B. C. D.
- 已知椭圆C的方程为，焦距为2c，直线与椭圆C相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率为
A. B. C. D.
- 已知函数是定义在R上的偶函数，设函数的导函数为，若对任意都有成立，则
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
- 点P是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小______．
- 已知关于x，y的二元一次不等式组则函数的最大值为________．
- 定义在R上的函数的导函数为，，若对任意R，都有，则使得成立的x的取值范围为____．
- 给出下列四个命题：
函数的图象关于点对称
函数是最小正周期为的周期函数
设是第二象限角，则，且
函数的最小值为．
其中正确的命题是 填序号．
三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.
- （10分）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．
求角C；
若，的面积为，求的周长．
- （12分）设递增等比数列的前n项和为，且，，数列满足，点在直线上，．
Ⅰ求数列，的通项公式；
Ⅱ设，数列的前n项和，若恒成立，求实数a的取值范围．
- （12分）已知向量，，函数．
求的单调递减区间；
在锐角三角形ABC中，，，求的面积．
- （12分）已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在处的切线方程；
Ⅱ求函数的单调区间；
Ⅲ若函数在区间内有且只有一个极值点，求m的取值范围． - （12分）已知椭圆的离心率为，点在C上．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l 与c 有两个交点A，B，线段AB 中点为M，证明：直线OM 的斜率与直线l的斜率乘积为定值．
- （12分）如图，已知点，圆O：．
求过点P且与圆O相切的直线方程；
设圆O与x轴的正半轴的交点是Q，斜率为k的直线l过点P，且与圆O交于不同的两点A，B．
设直线QA，QB的斜率分别是，，求证：为定值；
设AB的中点为M，点，当，且k为整数时，求以MN为直径的圆的方程．
答案
1.C 2.B 3.A 4.B 5.A 6.B 7.C 8.D 9.A 10.B 11.A 12.A
13. 14.5 15. 16.
17.解：，
由正弦定理可得：，
则，
，又
由余弦定理
，
又 ，
周长为．
18.解：Ⅰ递增等比数列的前n项和为，且，，
，
解得或，
数列为递增等比数列，所以，．
是首项为1，公比为3的等比数列．
．
点在直线上，
．
数列是首项为1，公差为2的等差数列．
．
Ⅱ，
．
，
两式相减得：
．
所以．
，
．
若恒成立，则，
解得．
实数a的取值范围．
19.解：
，
令，
解得，
所以函数的单调递减区间是；
，．
，则，解得．
又，故．
20.解：Ⅰ当时，，
所以，．
又，
所以曲线在处的切线方程为：，即．
Ⅱ函数的定义域为 ，
当即时，
因为时，，
所以的单调增区间为．
当，即时，令，得．
当时，，当时，；
所以的单调增区间为，减区间为．
综上，当时，的单调增区间为；
当时，的单调增区间为，减区间为．
Ⅲ因为，
所以．
令，．
若函数在区间内有且只有一个极值点，
则函数在区间内存在零点．
又，所以在内有唯一零点．
且时，，时，，
则在内为减函数，在内为增函数．
又因为，且在内存在零点，
所以，解得．
显然在内有唯一零点，记为．
当时，，时，，所以在点两侧异号，即在点两侧异号，
为函数在区间内唯一极值点．
当时，，
又，在内成立，
所以在内单调递增，故无极值点．
当时，，，易得时，，故无极值点．
所以当且仅当时，函数在区间内有且只有一个极值点．
21.Ⅰ解：椭圆C：的离心率，
点在C上，可得，，
解得，，
所求椭圆C方程为．
Ⅱ证明：设直线l：，，
设，
把直线代入 可得，
故，，
于是在OM的斜率为：，
即，
直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
22.解：由于圆O：的圆心为，半径等于2，显然有一条切线为．
当切线的斜率存在时，
点不在圆O上，
切线PT的直线方程可设为，
根据圆心到切线的距离d等于半径r，可得解得，所以圆的切线方程为，即，
综上可得，圆的切线方程为或．
联立，得，
设，，
所以，，
，
即的值为定值，且是．
设中点，由知，代入直线l的方程得，
又由得，
化简得，
将、式代入得 解得或因为k为整数，故舍．
当时，，，即，
可得MN的中点为，．
故以MN为直径的圆的方程：．
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