江苏省连云港市东海县晶都双语学校2022-2023学年九年级上学期第二次月考数学试卷（含答案）

这是一份江苏省连云港市东海县晶都双语学校2022-2023学年九年级上学期第二次月考数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省连云港市东海县晶都双语学校九年级（上）第二次月考数学试卷
一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分.）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．x2+2x＝x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0
C．3（x+1）2＝2（x+1） D．+﹣2＝0
2．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
3．（3分）如图，已知A，B，C为⊙O上三点，若∠AOB＝80°，则∠ACB度数为（　　）

A．80° B．70° C．60° D．40°
4．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为（　　）

A．70° B．90° C．110° D．120°
5．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数根，则m的最大整数值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则以A，B，C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（　　）

A．（2，3） B．（3，2） C．（3，1） D．（1，3）
8．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
9．（3分）方程x2＝2x的解是 　 　．
10．（3分）若a是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则2a2﹣4a＝　 　．
11．（3分）写出一个以和﹣3为根，且二次项系数为1的一元二次方程为 　 　．
12．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝2，则⊙O的直径等于　 　．

13．（3分）在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为　 　．

14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝　 　cm时，BC与⊙A相切．

15．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0的两根的和与积相等，则k的值为　 　．
16．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm∕s的速度，沿由A向B的方向移动，那么 　 　秒钟后⊙P与直线CD相切．

三、解答题（本题共102分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（20分）用适当的方法解下列方程：
（1）（2x﹣1）2﹣25＝0；
（2）x2﹣2x﹣1＝0（配方法）；
（3）2（x2﹣2）＝7x；
（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．
18．（4分）已知：关于x的方程x2﹣6x+m﹣5＝0的一个根是﹣1，求m值及另一根．
19．（8分）已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
20．（6分）如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CE是⊙O上的两点，CD⊥AB于D，交BE于F，，求证：BF＝CF．

22．（10分）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED＝EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．

23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2．

24．（10分）文通小商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲乙两种商品的进货单价之和是3元．
信息2：甲商品零售单价比进货单价多2元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元．
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了15元．
请根据以上信息，解答请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的零售单价；
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品400件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1900元？
25．（12分）实践操作：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）作∠BCA的平分线，交AB于点O；
（2）以O为圆心，OB为半径作圆．
综合运用：在你所作的图中，
（1）AC与⊙O的位置关系是　 　（直接写出答案）
（2）若BC＝6，AB＝8，求⊙O的半径．

26．（14分）阅读理解：
（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝28°，求∠BAC的数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC＝∠DFC．


2022-2023学年江苏省连云港市东海县晶都双语学校九年级（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分.）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．x2+2x＝x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0
C．3（x+1）2＝2（x+1） D．+﹣2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、x2+2x＝x2﹣1是一元一次方程，故A错误；
B、ax2+bx+c＝0，a＝0时是一元一次方程，故B错误；
C、3（x+1）2＝2（x+1）是一元二次方程，故C正确；
D、+﹣2＝0是分式方程，故D错误；
故选：C．
2．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1＝6
∴（x﹣1）2＝6．
故选：C．
3．（3分）如图，已知A，B，C为⊙O上三点，若∠AOB＝80°，则∠ACB度数为（　　）

A．80° B．70° C．60° D．40°
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝∠AOB，代入求出即可．
【解答】解：∵∠AOB＝80°，
∴∠ACB＝∠AOB＝40°，
故选：D．
4．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为（　　）

A．70° B．90° C．110° D．120°
【分析】根据圆周角定理求得∠BOC＝100°，进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC＝70°，然后根据邻补角求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵∠B＝30°，∠BOC＝∠B+∠BDC，
∴∠BDC＝∠BOC﹣∠B＝100°﹣30°＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝110°，
故选：C．
5．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数根，则m的最大整数值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】方程有实数根即Δ≥0，根据Δ建立关于m的不等式，求m的取值范围，进一步确定m的最大整数值．
【解答】解：由题意知，Δ＝12﹣4m≥0，
∴m≤，
∴m的最大整数值是0．
故选：B．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，由OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE的度数，即可求出∠E的度数．
【解答】解：连接OC，
∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠COE＝90°，
∵∠CDB与∠BAC都对，且∠CDB＝25°，
∴∠BAC＝∠CDB＝25°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝25°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE＝50°，
则∠E＝40°．
故选：B．

7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则以A，B，C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（　　）

A．（2，3） B．（3，2） C．（3，1） D．（1，3）
【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
【解答】解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．
故选：C．

8．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝1000万元，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选：D．
二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
9．（3分）方程x2＝2x的解是 　x1＝0，x2＝2　．
【分析】先移项得到x2﹣2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．
【解答】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案为x1＝0，x2＝2．
10．（3分）若a是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则2a2﹣4a＝　4　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝a代入方程得到a2﹣2a﹣2＝0，则a2﹣2a＝2，然后把2a2﹣4a变形为2（a2﹣2a），再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝a代入方程得a2﹣2a﹣2＝0，则a2﹣2a＝2，
所以2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）＝2×2＝4．
故答案为4．
11．（3分）写出一个以和﹣3为根，且二次项系数为1的一元二次方程为 　x2﹣（﹣3）x﹣3＝0　．
【分析】先求两数的和与积，然后利用根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程．
【解答】解：∵+（﹣3）＝﹣3，×（﹣3）＝﹣3，
∴以和﹣3为根，且二次项系数为1的一元二次方程为x2﹣（﹣3）x﹣3＝0．
故答案为：x2﹣（﹣3）x﹣3＝0．
12．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝2，则⊙O的直径等于　4　．

【分析】作直径BD，连接CD，根据圆周角定理得到∠D＝∠BAC＝30°，∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质解答．
【解答】解：作直径BD，连接CD，
由圆周角定理得，∠D＝∠BAC＝30°，∠BCD＝90°，
∴BD＝2BC＝4，
故答案为：4．

13．（3分）在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为　2　．

【分析】首先连接OC，由弦CD⊥AB于P，OP＝，利用勾股定理即可求得CP的长，然后由垂径定理求得弦CD的长．
【解答】解：连接OC，
∵在⊙O中，直径AB＝4，
∴OA＝OC＝AB＝2，
∴弦CD⊥AB于P，OP＝，
∴CP＝＝1，
∴CD＝2CP＝2．
故答案为：2．

14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝　6　cm时，BC与⊙A相切．

【分析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴AD＝AB，即AB＝2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD＝3cm，
则AB＝2AD＝6cm．
故答案是：6．

15．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0的两根的和与积相等，则k的值为　2　．
【分析】直接利用根与系数的关系得出关于k的等式进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0的两根的和与积相等，
∴x1+x2＝x1x2
k+2＝2k，
解得：k＝2．
故答案为：2．
16．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm∕s的速度，沿由A向B的方向移动，那么 　4或8　秒钟后⊙P与直线CD相切．

【分析】分类讨论：当点P在当点P在射线OA时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与E，根据切线的性质得到PE＝1cm，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP＝2PE＝2cm，则⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切，即可得到⊙P移动所用的时间；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与F，同前面一样易得到此时⊙P移动所用的时间．
【解答】解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E，
∴PE＝1cm，
∵∠AOC＝30°，
∴OP＝2PE＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间＝＝4（秒）；
当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F，
∴PF＝1cm，
∵∠AOC＝∠DOB＝30°，
∴OP＝2PF＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间＝＝8（秒）．
故答案为4或8．


三、解答题（本题共102分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（20分）用适当的方法解下列方程：
（1）（2x﹣1）2﹣25＝0；
（2）x2﹣2x﹣1＝0（配方法）；
（3）2（x2﹣2）＝7x；
（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（3）先将原方程化简整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（2x﹣1）2﹣25＝0，
（2x﹣1）2＝25，
2x﹣1＝±5，
2x﹣1＝5或2x﹣1＝﹣5，
x1＝3，x2＝﹣2；
（2）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）2（x2﹣2）＝7x，
2x2﹣7x﹣4＝0，
（x﹣4）（2x+1）＝0，
x﹣4＝0或2x+1＝0，
x1＝4，x2＝﹣；
（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2），
3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0，
（x﹣2）（2x﹣6）＝0，
x﹣2＝0或2x﹣6＝0，
x1＝2，x2＝3．
18．（4分）已知：关于x的方程x2﹣6x+m﹣5＝0的一个根是﹣1，求m值及另一根．
【分析】设方程的另一个根为n，根据根与系数的关系即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出m、n的值，此题得解．
【解答】解：设方程的另一个根为n，
∵方程x2﹣6x+m﹣5＝0的两个根为﹣1和n，
∴，
解的：．
∴m的值为﹣2，方程的另一根是7．
19．（8分）已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【分析】（1）根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案；
（2）根据解方程，可得x2﹣4x+k＝0的解，根据解相同，把方程的解代入，可得关于m的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【解答】解：由一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，得
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4k＞0，
解得k＜4；
（2）由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0，得
x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，
当x＝1时，把x＝1代入x2+mx﹣1＝0，得1+m﹣1＝0，解得m＝0，
当x＝3时，把x＝3代入x2+mx﹣1＝0，得9+3m﹣1＝0，解得m＝﹣，
综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，．
20．（6分）如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．

【分析】连接OB，由AB＝OC，得到AB＝BO，则∠BOC＝∠A，于是∠EBO＝2∠A，而OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A，由∠EOD＝∠E+∠A＝3∠A，根据∠EOD＝84°，即可得到∠A的度数．
【解答】解：连接OB，如图，
∵AB＝OC，
∴AB＝BO，
∴∠BOC＝∠A，
∴∠EBO＝∠BOC+∠A＝2∠A，
而OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A，
∴∠EOD＝∠E+∠A＝3∠A，
而∠EOD＝84°，
∴3∠A＝84°，
∴∠A＝28°．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CE是⊙O上的两点，CD⊥AB于D，交BE于F，，求证：BF＝CF．

【分析】延长CD交⊙O于点G，连接BC，根据垂径定理证明即可．
【解答】证明：延长CD交⊙O于点G，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠BCF＝∠CBF，
∴BF＝CF．

22．（10分）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED＝EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．

【分析】（1）根据圆周角定理即可得到结论；
（2）连接OE，通过△EAO≌△EDO，即可得到∠EDO＝90°，于是得到结论．
【解答】（1）解；∵∠DBA＝50°，
∴∠DOA＝2∠DBA＝100°，

（2）证明：连接OE．
在△EAO与△EDO中，，
∴△EAO≌△EDO，
∴∠EDO＝∠EAO，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EDO＝90°，
∴DE与⊙O相切．

23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠CBD＝39°，根据圆周角定理得到∠CAB＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，结合图形计算得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠CEB，根据三角形的外角性质证明结论．
【解答】（1）解：∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD＝39°，
由圆周角定理得，∠CAB＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，
∴∠BAD＝39°+39°＝78°；
（2）证明：∵CE＝CB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴∠1+∠CDB＝∠2+∠CAB，
∵∠BAC＝∠BDC＝∠CBD，
∴∠1＝∠2．
24．（10分）文通小商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲乙两种商品的进货单价之和是3元．
信息2：甲商品零售单价比进货单价多2元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元．
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了15元．
请根据以上信息，解答请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的零售单价；
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品400件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1900元？
【分析】（1）设甲商品的零售单价为x元，乙商品的零售单价为y元，根据题意表示出两商品的进货单价，然后根据按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了15元，列方程组求解；
（2）把甲种商品的零售单价下降m，可多卖甲商品100×件，根据总利润为1900元，列方程求解．
【解答】解：（1）设甲商品的零售单价为x元，乙商品的零售单价为y元，
则甲商品的进价为（x﹣2）元，乙商品的进价为，
由题意得，，
解得：．
答：甲商品的零售单价为3元，乙商品的零售单价为3元；
（2）把甲种商品的零售单价下降m，可多卖甲商品100×件，
则利润为：（500+100×）×（3﹣m﹣1）+400（3﹣2）＝1900，
解得：m1＝0.5，m2＝1．
答：当m为0.5或1时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1900元．
25．（12分）实践操作：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）作∠BCA的平分线，交AB于点O；
（2）以O为圆心，OB为半径作圆．
综合运用：在你所作的图中，
（1）AC与⊙O的位置关系是　相切　（直接写出答案）
（2）若BC＝6，AB＝8，求⊙O的半径．

【分析】实践操作：
（1）根据角平分线的做法得出即可；
（2）利用以O为圆心，OB为半径作圆直接得出即可；
综合运用：
（1）根据切线的判定方法直接得出即可；
（2）利用切线长定理以及勾股定理求出⊙O的半径即可．
【解答】解：实践操作：
（1）如图所示：CO即为所求；

（2）如图所示：⊙O即为所求；
综合运用：
（1）AC与⊙O的位置关系是：相切；
故答案为：相切；

（2）过点O连接AC与⊙O的切点E，
∵BC＝6，AB＝8，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝10，
由题意可得出：CB⊙O的切点为B，
则CE＝CB＝6，
设BO＝x，则EO＝x，AO＝6﹣x，
AE＝10﹣6＝4，
∴在Rt△AOE中，
AE2+EO2＝AO2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴⊙O的半径为：3．

26．（14分）阅读理解：
（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　23　°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝28°，求∠BAC的数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC＝∠DFC．

【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，
（3）先判断出点A、F、H、E在以AH为直径的同一个圆上，得出∠EFC＝∠DAC，同理得出∠DFC＝∠CBE，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝23°，
故答案是：23°；

（2）取BD中点O，连接AO、CO，
在Rt△BAO中，AO＝BD，
同理：CO＝BD，
∴AO＝DO＝CO＝BO，
∴点A、B、C、D在以O为圆心的同一个圆上，
∴∠BAC＝∠BDC＝28°；

（3）∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴点A、F、H、E在以AH为直径的同一个圆上，
∴∠EFC＝∠DAC，
同理：点B、D、H、E在以BH为直径的同一个圆上，
∠DFC＝∠CBE，
又∵∠DAC＝∠EBC，
∴∠EFC＝∠DFC．