粤教版高中物理必修第二册第2章素养培优课2水平面和竖直平面内的圆周运动课件+学案+素养落实含答案

素养培优课(二)　水平面和竖直平面内的圆周运动

培优目标：1.掌握水平面内圆周运动问题的分析方法。2.掌握竖直面内圆周运动问题的分析方法。

水平面内圆周运动问题

1．水平面内的圆周运动是指物体做圆周运动的轨迹在水平面内，多以生活中常见实例或水平圆周运动模型为例分析向心力及临界条件问题。

(1)水平面内圆周运动的“摩擦力”模型是指依靠静摩擦力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。

(2)水平面内圆周运动的“弹力”模型是指依靠弹力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。

(3)水平面内圆周运动的“圆锥摆”模型是指依靠弹力(细线拉力或倾斜面弹力)和物体重力的合力使物体在水平面内做圆周运动。

2．两类情况分析

(1)不滑动

质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图所示)时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速度也达到最大，即Ffm＝m，解得vm＝。

(2)绳子被拉断

质量为m的物体被长为l的轻绳拴着(如图所示)，且绕绳的另一端O在水平面内做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值Fm时，物体的速度最大，即Fm＝m，解得vm＝。这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度。

【典例1】　如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线相连的质量均为m的A、B两个小物块，A离轴心距离r1＝20 cm，B离轴心距离r2＝30 cm，A、B与盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的，g取10 m/s2，求：

(1)若细线上没有张力，圆盘转动的角速度ω应满足什么条件？

(2)欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则盘转动的最大角速度多大？

(3)当圆盘转速达到A、B刚好不滑动时，烧断细线，则A、B将怎样运动？

[解析]　(1)当物块B所需向心力FB≤fmax时，细线上张力为零，随着角速度的增大，当FB＝fmax时，有kmg＝mωr2，得ω0＝＝ rad/s＝ rad/s

当ω≤ω0＝ rad/s时，细线上不会有张力。

(2)当A、B所受静摩擦力均达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度达到最大值ωmax，超过ωmax时，A、B将相对圆盘滑动(设细线中张力为T)

对A：kmg－T＝mω·r1

对B：kmg＋T＝mω·r2

解得ωmax＝＝ rad/s＝4.0 rad/s。

(3)烧断细线时，A做圆周运动所需向心力FA＝mωr1＝0.32mg，最大静摩擦力为0.4mg，A随盘一起转动。B此时所需向心力为FB＝mωr2＝0.48mg，大于它的最大静摩擦力0.4mg，因此B将做离心运动，离圆心越来越远。

[答案]　(1)ω≤ rad/s　(2)4.0 rad/s　(3)A随圆盘一起转动，B做离心运动

水平面内圆周运动的临界问题的通解思路

1．(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴OO′的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　　)

A．b一定比a先开始滑动

B．a、b所受的静摩擦力始终相等

C．ω＝是b开始滑动的临界角速度

D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg

AC　[两个木块与圆盘间的最大静摩擦力相等，木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得，木块所受的静摩擦力f＝mω2r，m、ω相等时，f∝ r，所以b所受的静摩擦力较大，随着ω增大，b所受的静摩擦力先达到最大静摩擦力，所以b先滑动，A项正确，B项错误；b处于临界状态时有kmg＝mω2·2l，得ω＝，C项正确；当ω＝时，对a分析有fa＝mlω2＝ml＝kmg＜fm＝kmg，a所受摩擦力为静摩擦力，大小为kmg，D项错误。]

竖直平面内圆周运动的问题

1．运动性质

物体在竖直平面内做圆周运动时，受弹力和重力两个力的作用，物体做变速圆周运动，常见两类模型。

2．模型分析

(1)轻绳和轻杆模型概述

在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。

(2)两类模型分析对比

角度1：轻绳模型

【典例2】　用长L＝0.6 m的绳系着装有m＝0.5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。g取10 m/s2。求：

(1)最高点水不流出的最小速度为多少？

(2)若过最高点时速度为3 m/s，此时水对桶底的压力多大？

[解析]　(1)水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。当重力恰好提供向心力时，对应的是水不流出的最小速度v0。

以水为研究对象，mg＝m

解得v0＝＝ m/s≈2.45 m/s。

(2)因为v＝3 m/s>v0，所以重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。

设桶底对水的压力为F，则由牛顿第二定律有mg＋F＝m

解得F＝m－mg＝0.5×N＝2.5 N

根据牛顿第三定律F′＝－F，

所以水对桶底的压力F′＝－2.5 N，负号表示方向竖直向上。

[答案]　(1)2.45 m/s　(2)2.5 N

角度2：轻杆模型

【典例3】　如图所示，轻杆长为2L，中点装在水平轴O处，A、B两端分别固定着小球A和B，A球的质量为m，B球的质量为2m，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动。

(1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，求此时A球的速度大小；

(2)若B球到最高点时的速度等于，则此时杆A端的受力大小和方向；

(3)若杆的转速可以逐渐变化，能否出现O轴不受力的情况，若不能，用公式推导说明理由。若能，则求出此时A、B球的速度大小。

[解析]　(1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，则

mg＝m，解得v＝。

(2)由于两球的线速度大小相等，故A球的速度也为，

对A球有T′OA－mg＝m，

解得T′OA＝2mg，方向竖直向上。

由牛顿第三定律可知，此时杆A端的受力大小为2mg，方向竖直向下。

(3)要使O轴不受力，根据B球的质量大于A球的质量，可判断B球应在最高点。

对B球有T″OB＋2mg＝2m，

对A球有T″OA－mg＝m，

O轴不受力时，T″OA＝T″OB，又有vA＝vB，

解得vA＝vB＝。

[答案]　(1)　(2)2mg，方向竖直向下　(3)O轴能不受力　　

竖直平面内圆周运动的分析方法

(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。

(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。

(3)分析物体在最高点或最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。

2．(角度1)细绳一端固定，另一端系一小球在竖直平面内做完整的圆周运动，设绳长为L，重力加速度为g，则(　　)

A．小球通过最高点时，速度大小一定为

B．小球运动的过程中，所受合力一定指向圆心

C．小球通过最低点时一定受到绳子的拉力作用

D．小球运动过程中，可能受到绳子的拉力、重力和向心力

C　[在最高点且细绳拉力为零时：mg＝m，得v＝。当有拉力时，速度v>，A错；小球做圆周运动的过程中，在最高点和最低点，合力提供向心力指向圆心，在其他位置合力不指向圆心，B错；在最低点，合力提供向心力，所以小球一定受细绳的拉力，C对；向心力是物体所受合力沿指向圆心方向的分力，D错。]

3．(角度2)(多选)如图甲所示，一长度l未知的轻杆，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量m未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，轻杆对小球的弹力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)

甲　　　　　乙

A．轻杆长度l＝

B．小球质量m＝－

C．当v2<a时，轻杆中的弹力表现为向下的拉力

D．仅换用长度较短的轻杆做实验，图线b点的位置不变

BD　[小球在最高点，当速度为零时，向心力为零，小球的重力与轻杆对小球的弹力大小相等，方向相反，据题图乙可知－b＝mg，解得球的质量为m＝－，故B正确；在最高点，重力和杆的作用力的合力充当向心力，由牛顿第二定律可得F＋mg＝m，化简可得F＝m－mg，由F­v2图像的斜率可得k＝＝，解得轻杆的长度为l＝，故A错误；由题图乙可知，当v2＝a时，轻杆中的弹力为零，故由竖直平面内的圆周运动的临界条件可知当v2<a时，轻杆中的弹力表现为向上的支持力，C错误；由于纵轴截距的绝对值等于球的重力大小，故仅换用长度较短的轻杆做实验，图线b点的位置不变，D正确。]