(新高考)高考数学一轮复习考点练习31《正弦定理、余弦定理》（解析版）

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考点31 正弦定理、余弦定理

【命题解读】
高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等
【基础知识回顾】
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．


正弦定
理的常
见变形

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)＝.

2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
余弦定理的常见变形
(1)cos A＝；
(2)cos B＝；
(3)cos C＝.

3．三角形的面积公式　

(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

1、 在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】：A
【解析】
：设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝，C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1或b＝－4(舍去)，即AC＝1.
2、 已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)
A．2 B.
C．2或 D．均不正确
【答案】：C
【解析】
：∵＝，∴sin B＝＝·sin 30°＝.∵b>a，∴B＝60°或120°.
若B＝60°，则C＝90°，∴c＝＝2.
若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝.
3、 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)
A. B.
C．2 D．2
【答案】：B
【解析】
：因为S＝AB·ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝3.所以BC＝.
4、 在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于(　　)
A．4 B. C. D．2
【答案】：A
【解析】
：∵cos ＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.在△ABC中，由余弦定理，
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.故选A.
5、 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【答案】：B
【解析】
：由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．
6、在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】：B
【解析】
：∵cos2＝，cos2＝，∴(1＋cos B)·c＝a＋c，∴a＝cos B·c＝，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．
7、 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
【答案】：
【解析】
：由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.
因为b2＋c2－a2＝8，所以cos A＝>0，
所以bc＝，
所以S△ABC＝××＝.
8、 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则的值为__________．
【答案】：3
【解析】
：由正弦定理＝＝，得＝＝，
即(cosA－3cosC)sinB＝(3sinC－sinA)·cosB，
化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，
又知A＋B＋C＝π，所以sinC＝3sinA，因此＝3．

考向一　运用正余弦定理解三角形
例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在中，若 ，则=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
余弦定理将各值代入
得
解得或(舍去)选A.
变式1、（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由余弦定理可以求出，有可判断，进而可以求出.
【解析】
由余弦定理得：，
所以，因为，所以，所以，
故选：D．
变式2、【2020江苏淮阴中学期中考试】在中，如果，那么________．
【答案】
【解析】∵sinA：sinB：sinC＝2：3：4，∴由正弦定理可得：a：b：c＝2：3：4，∴不妨设a＝2t，b＝3t，c＝4t，则cosC，∵C∈(0，π)，∴tanC．故答案为．
变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，若，，则______．
【答案】4
【解析】
∵，
∴由正弦定理得，
∴，
又，
∴由余弦定理得，∴，
∵为的内角，∴，∴，
∴，
故答案为：4．
变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求，的值：
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）由，得，
因为在中，，得，
由余弦定理，得，
因为，所以，
解得，所以.
（2）由，得
由正弦定理得.
方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．
考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状
例2、已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若＝＝，则△ABC是等边三角形
【答案】：ACD
【解析】
：∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或A＋B＝，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错；
由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，
可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，
∴A＝B，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
∴选项D正确．
变式1、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
【解析】　(1)由已知，根据正弦定理得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，A＝120°.
(2)由(1)得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，∵A＝120°，∴＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，与sinB＋sinC＝1联立方程组解得：sinB＝sinC＝，∵0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B＝C＝30°，∴△ABC是等腰钝角三角形．

变式2、(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】　(1)B　(2)C
【解析】
　(1)法一：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
由正弦定理知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，
得sin(B＋C)＝sin Asin A.
又sin(B＋C)＝sin A，得sin A＝1，
即A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
(2)因为＝，所以＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以△ABC是等边三角形．
方法总结：　判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．
考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积
考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积
例3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC＋ccosB＝2acosA．
(1) 求角A的大小；
(2) 若·＝，求△ABC的面积．
【解析】
：(1) (解法1)在△ABC中，由正弦定理，及bcosC＋ccosB＝2acosA，
得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosA，
即sinA＝2sinAcosA．
因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，
所以cosA＝，所以A＝．
(解法2)在△ABC中，由余弦定理，及bcosC＋ccosB＝2acosA，
得b＋c＝2a，
所以a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝＝．
因为A∈(0，π)，所以A＝．
(2) 由·＝cbcosA＝，得bc＝2，
所以△ABC的面积为S＝bcsinA＝×2×sin60°＝
变式1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B．
(1) 求角C的大小；
(2) 若sin A＝，求△ABC的面积．
【解析】
：(1) 由题意得 －＝sin 2A－sin 2B，
即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B，sin＝sin．
由a≠b，得A≠B．又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝．
(2) 由c＝，sin A＝，＝，得a＝．
由a 故sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，
所以，△ABC的面积为S＝acsin B＝．
变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）在中，分别为内角的对边，若，且，则__________．
【答案】4
【解析】已知等式，利用正弦定理化简得：，可得，，可解得，余弦定理可得，，可解得，
故答案为.

变式3、【2020江苏溧阳上学期期中考试】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积是______．
【答案】
【解析】，，由正弦定理可得，又，
由余弦定理可得，，解得，又，．故答案为．

方法总结：1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
考向三 结构不良题型
例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角的对边分别为，，， .
求的面积.
【解析】
若选①：
由正弦定理得，
即，
所以，
因为，所以.
又，
，，所以，
所以.
若选②：
由正弦定理得.
因为，所以，，
化简得，
即，因为，所以.
又因为，
所以，即，
所以.
若选③：
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，又因为，
所以，
因为，，所以，
，，所以.
又，
，，所以，
所以.
变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
【解析】
（1）由①得，，
所以，
由②得，，
解得或（舍），所以，
因为，且，所以，所以，矛盾.
所以不能同时满足①，②.
故满足①，③，④或②，③，④；
（2）若满足①，③，④，
因为，所以，即.
解得.
所以的面积.
若满足②，③，④由正弦定理，即，解得，
所以，所以的面积.
变式2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积.
【答案】横线处任填一个都可以，面积为．
【解析】
由正弦定理，得.
由，
得.
由，得.
所以.
又（若，则这与矛盾），
所以.
又，得.
由余弦定理及，
得，
即.将代入，解得.
所以.
在横线上填写“”.
解：由及正弦定理，得
.
又，
所以有.
因为，所以.
从而有.又，
所以
由余弦定理及，
得
即.将代入，
解得.
所以.
在横线上填写“”
解：由正弦定理，得.
由，得，
所以
由二倍角公式，得.
由，得，所以.
所以，即.
由余弦定理及，
得.
即.将代入，
解得.
所以.

1、【2020年高考全国III卷理数】在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在中，，，，
根据余弦定理：，
，
可得 ，即，
由，
故.
故选：A．
2、【2018年高考全国Ⅱ理数】在中，，，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为
所以，故选A.
3、【2018年高考全国Ⅲ理数】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，所以，
由余弦定理，得，因为，所以，故选C.

4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），
所以，
5、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
【答案】，
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，
，，所以.
.

6、【2018年高考浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．
【答案】，3
【解析】由正弦定理得，所以
由余弦定理得（负值舍去）.
7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）的内角A，B，C的对边分别为，已知.
（I）求B；
（II）若的周长为的面积.
【解析】
（Ⅰ）,
，
,
，
.
,
.
(Ⅱ)由余弦定理得，
，
，
，
.
8、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求，的值：
（2）求的值．
【解析】
（1）由，得，
因为在中，，得，
由余弦定理，得，
因为，所以，
解得，所以.
（2）由，得
由正弦定理得.
9、【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】方案一：选条件①．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得．
由①，解得．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时．
方案二：选条件②．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得，，．
由②，所以．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时．
方案三：选条件③．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得．
由③，与矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．