(新高考)高考数学一轮复习考点练习24《导数》章末检测四（解析版）

考点24 章末检测四

一、单选题

1、（2021·浙江高三其他模拟）函数在处的导数是（    ）

A． B． C．6 D．2

【答案】A

【解析】

的导函数为,

故当x=0时，.

故选：A

2、（2021·陕西西安市·长安一中高三月考（文））曲线在处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

时，，故切点为，

，当时，，

所以切线方程为，即.

故选：A

3、（2021·淮北市树人高级中学高二期末（文））已知直线与曲线相切，则（    ）

A．1 B． C．0 D．

【答案】B

【解析】

设切点坐标为，求导得，则，得，又，得.

故选：B.

4、（2018年高考全国Ⅲ卷理数）函数的图像大致为

【答案】D

【解析】函数图象过定点，排除A，B；

令，则，

由得，得或，此时函数单调递增，

由得，得或，此时函数单调递减，排除C.

故选D.

5、（2021·常州·一模）设函数，若函数的图象在点(1，)处的切线方程为y＝x，则函数的增区间为

   A．(0，1)          B．(0，)       C．(，)     D．(，1)

【答案】C

【解析】的定义域为，

∵函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，

∴解得：

∴

欲求的增区间

只需，解得：

即函数的增区间为(，)

故选：C

6、（2021·山东日照市·高三其他模拟）关于函数，的性质，以下说法正确的是（    ）

A．函数的周期是 B．函数在上有极值

C．函数在单调递减 D．函数在内有最小值

【答案】D

【解析】

对于A，因为，当时，，所以函数的周期不是，A错误；

对于B，因为，设，

，当时，，

所以，即，故函数在上单调递减，B错误；

对于C，，所以函数在上不单调，C错误；

对于D，因为当时，，当时，，当且仅当时取等号，而在上单调递增，所以当时，函数取得最小值，D正确．

故选：D.

7、（湖南省常德市2021届高三模拟）若则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

由函数，，

所以时，，函数 单调递增，时，，函数 单调递减，

又，与，所以将不等式两边取自然对数得，

故选：A．

8、（2021·江苏扬州市高三模拟）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且满足，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意，函数定义在上的奇函数，在单调减，

所以在单调减，且

若函数，

当时，，，此时无解；

当时，，可得，，此时无解；

当时，，可得，此时成立；

当时，可得，，所以，

所以当时，满足不等式，

令，可得函数的定义域为，

且，所以函数奇函数，

所以当时，满足不等式成立，

综上可得，不等式的解集为.

故选：B.

二、多选题

9、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是　　

A．函数的增区间是， 

B．函数的增区间是， 

C．是函数的极小值点 

D．是函数的极小值点

【答案】

【解析】：根据题意，由函数的图象可知：

当时，，，此时为增函数，

当时，，，此时为减函数，

当时，，，此时为减函数，

当时，，，此时为增函数；

据此分析选项：函数的增区间是，，则正确，错误；

是函数的极大值点，是函数的极小值点，则正确，错误；

故选：．

10、（2021·山东济南市·高三一模）已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．在处取得极大值

C．当时， D．的图象关于点中心对称

【答案】ABD

【解析】

A：，由题意，得，正确；

B：，由得：或，易知在，上，为增函数，在上，为减函数，所以在处取得极大值，正确；

C：由B知：，，，故在上的值域为，错误；

D：令且为奇函数，则，而图象关于中心对称，所以关于中心对称，正确；

故选：ABD.

11、（2021·山东潍坊市·高三三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的周期为 B．的图象关于对称

C．的最大值为 D．在区间在上单调递减

【答案】ACD

【解析】

由于，故A正确；

由于，

即的图象不关于对称，故B错误；

当时，，函数单调递增；

当或时，，函数单调递减；

所以，故C正确；

由C项分析可知，在上单调递减，故D正确；

故选：ACD.

12、（江苏省连云港市2021届高三调研）已知函数，则（    ）.

A．是奇函数 B．

C．在单调递增 D．在上存在一个极值点

【答案】BCD

【解析】

对于选项A：因为为奇函数，若是奇函数，则为偶函数，令则显然不是偶函数，故A错误；

对于选项B： ，且 故B正确；

对于选项C：

令，

令

当时，，，在递增，

所以在单调递增，故C正确；

对于选项D：

令，

令，递减

故在递减 故在递减

使在递增，递减．

故在上存在一个极值点，故D正确．

故选：BCD

三、填空题

13、（2021·山东德州市·高三期末）已知直线是曲线的一条切线，则_________．

【答案】．

【解析】

对，，由，得时， ，

所以，．

故答案为：．

14、（2021·江苏省新海高级中学高三期末）在平面直角坐标系中，是曲线（）上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是________．

【答案】6

【解析】

：当直线平移到与曲线相切位置时，

切点即为点到直线的距离最小.

由，得（负值舍去），，

即切点，

则切点Q到直线的距离为，

故答案为：．

15、（2021·山东青岛市·高三期末）设函数的图象在点处的切线为，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

由可得，

在点处的切线斜率为，所以，

将点代入可得，

所以方程即有两个不等实根，

等价于与图象有两个不同的交点，

作的图象如图所示：

由图知：若与图象有两个不同的交点则吗，

故答案为：

16、（湖北省九师联盟2021届高三联考）已知函数，若且，则的最大值是___________.

【答案】

【解析】

因为，作出函数的图象如下图所示：

设，则，

由，可得，由，可得.

令，其中，，可得.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减.

所以，.

因此，的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17、（2021·山东济南市·高三一模）已知函数.若，求的最小值；

【解析】

时，.

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

此时的极小值为；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

此时的极小值为；

因为，所以的最小值为；

18、已知函数f (x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．

(1)求a的值；

(2)若g(x)＝f (x)ex，讨论g(x)的单调性．

【解析】

　(1)对f (x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，

因为f (x)在x＝－处取得极值，

所以f′＝0，

即3a×＋2×＝－＝0，解得a＝.

(2)由(1)得g(x)＝ex，

故g′(x)＝ex＋ex

＝ex

＝x(x＋1)(x＋4)ex，

令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4，

当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，－4)上为减函数，

当－4<x<－1时，g′(x)>0，故g(x)在(－4，－1)上为增函数，

当－1<x<0时， g′(x)<0，故g(x)在(－1,0)上为减函数，

当x>0时，g′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上为增函数，

综上所述，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)上单调递减，在(－4，－1)和(0，＋∞)上单调递增．

19、（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数在处的切线斜率为．

（1）确定的值，并讨论函数的单调性；

【解析】

（1）的定义域为且，

∴，解得，则，

令，，

①当，即时，，，在上单调递增；

②当，即或，

当时，由有，，即，在上单调递增；

当时，，，

，，单调递增，

，，单调递减．

，，单调递增．

综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．

20、（2021·河北张家口市·高三期末）已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

：（1）当时，，

∴，，

∴切线方程为，

即

（2）∵，

∴原条件等价于：在上，恒成立.

化为

令，

则

令，则

在上，，

∴在上，

故在上，；在上，

∴的最小值为，∴

21、（2021·山东威海市·高三期末）已知函数.

（1）当时，求过点且与曲线相切的直线方程;

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）当时，点不在函数图象上，，

设切点为，

则切线方程为，

因为过点，所以，

解得，因此所求的直线方程为.

（2），

当时，，

所以在上单调递增，

其中，，符合题意，

当时，取，，不符合题意；

当时，，

所以在上单调递减，

，

所以在上单调递增，

所以，

要使，只需，，

解得；

综上所述，.

22、（2021·河北唐山市高三三模）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设，证明：.

【解析】（1）由题意，函数的定义域为，且，

设，可得，所以为增函数，

因为，所以当时，，当时，，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．       

（2）令，．

则，

因为，所以，

由（1）知，，即，

因此可得，在上单调递增，从而，

于是，故.