2023宁波余姚高风中学高二上学期10月月考数学试题PDF版含答案

参考答案：

1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．A 8．B 9．AC 10．ACD 11．CD 12．ABD

13．或

14.

15．9

16．

17．(1)；

(2)．或

18．(1)；

(2)，直线的方程为.

【分析】(1)将直线方程化为斜截式，再利用数形结合求出k的取值范围.

(2)先求直线在轴和轴上的截距，表示的面积，利用基本不等式求其最小值.

（1）

方程可化为，

要使直线不经过第四象限，则，

解得，

所以k的取值范围为.

（2）

由题意可得，

由取得，

取得，

所以，

当且仅当时，即时取等号，

此时，直线的方程为.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；

（2）利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.

（1）

证明：因为底面，，

不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如上图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，

，，，

所以，，则，

，，

，、平面，平面.

（2）

解：设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

设平面的法向量为，，

则，取，可得，

所以，，则.

因此，二面角的正弦值为.

20．(1)或

(2)且

【分析】（1）讨论直线l斜率不存在易得直线l为，再根据两条切线关于CP对称，结合倾斜角的关系､二倍角正切公式求得另一条切线的斜率为，即可写出切线方程.

（2）设，根据，应用两点距离公式化简得到M的轨迹方程，注意x､y的范围.

（1）

当直线l斜率不存在时，显然直线l与圆C相切且切点为，

所以，对于另一条切线，若切点为D，则，又

所以，由图知，直线DP的倾斜角的补角与互余，

所以直线DP的斜率为，故另一条切线方程为，即，

综上，直线l的方程为或.

（2）

由（1）知直线与圆相交于､两点，则斜率必存在，

设，则，

所以，整理得，

当直线与圆相切于点时，直线的斜率为，其方程为：

，由，得，即切点，

对于的轨迹方程，当时，，

所以，且，

综上，的轨迹方程为且，

21．(1)证明见解析

(2)

(3)存在，

【分析】（1）利用三角形中位线证明，即可根据线面平行的判定定理证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求得平面SCD的一个法向量，即可根据向量的夹角公式求得答案;

（3）假设存在点H，设，表示出的坐标，根据BH与平面SCD所成角的大小为,利用向量的夹角公式计算，可得答案.

（1）

证明：连接FG，在中，F，G分别为SD，SB的中点，

所以，

又因为平面AEG，平面AEG，

所以平面AEG.

（2）

因为平面ABCD，AB，平面ABCD，

所以，，又，所以，

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,，

，，

设平面SCD的法向量为，

则 ,即

令，得，，

所以平面SCD的一个法向量为，

又平面ESD的一个法向量为，

所以，

由图形可知，二面角的余弦值为.

（3）

存在，理由如下：

假设存在点H，设，

则,

由（2）知，平面SCD的一个法向量为，

则，

即，所以，则，

故存在满足题意的点H，此时.

22．(1)

(2)（i）7；（ii）在定直线上

【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出，即可得解；

（2）（i）设直线的方程为，分和两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，再根据即可得出答案；

（ii）设，联立，利用韦达定理求得，求出直线OP，BQ的方程，联立求出交点坐标即可得出结论.

（1）

解：设圆M的方程为，

则，解得，

所以圆M的标准方程为；

（2）

解：设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

（i）若，则直线斜率不存在，

则，，

则，

若，则直线得方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

则

，

当且仅当，即时，取等号，

综上所述，因为，

所以S的最大值为7；

（ii）设，

联立，消得，

则，

直线的方程为，

直线的方程为，

联立，解得，

则

，

所以，

所以点N在定直线上.

【点睛】本题考查了利用待定系数法求圆的标准方程，考查了圆的弦长问题及圆中四边形的面积的最值问题，还考查了圆中的定直线问题，有一定的计算量.