浙江省宁波外国语学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省宁波外国语学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省宁波外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）若（a﹣b）：a＝1：15，则a：b＝（　　）
A．1：15 B．4：5 C．15：14 D．14：15
2．（4分）下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（　　）

A． B．
C． D．
3．（4分）如图，AD∥BE∥CF，点B，E分别在AC，DF上，DE＝2，EF＝AB＝3，则BC长为（　　）

A． B．2 C． D．4
4．（4分）在正方形网格中，∠BAC如图放置，点A，B，C都在格点上，则sin∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．
5．（4分）两个相似三角形的一组对应边分别为6cm和8cm，如果较小三角形的周长为27cm，那么较大三角形的周长为（　　）
A．30cm B．36cm C．45cm D．54cm
6．（4分）菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，∠ABD＝α，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C．tanα＝ D．sinα＝
7．（4分）如图，取一张长为a、宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　）

A． B．a＝2b C． D．
8．（4分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（　　）

A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
9．（4分）如图，正方形ABCD中，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、CD上，则tan∠DEH＝（　　）

A． B． C． D．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，BF与CE相交于点H，直线EN交CB的延长线于点N，作CM⊥EN于点M，交BF于点G，且CM＝CD，有以下结论：①BF⊥CE；②ED＝EN；③tan∠ENC＝；④S四边形DEHF＝4S△CHF，其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝　 　．

12．（5分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝　 　．
13．（5分）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0，那么∠C＝　 　．
14．（5分）已知△ABC中，AB＝4，AC＝6，D是AB的中点，E为AC边上的点，△ADE与△ABC相似，则AE＝　 　．
15．（5分）晚上，小亮（GH）走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯（AB和CD）之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为　 　米．

16．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，则BD的长为　 　．

三、解答题（本题有8小题，第17、18、19、20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）计算：
（1）+tan60°
（2）2cos45°•sin45°﹣2sin30°•tan45°+•tan60°．
18．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，∠A＝30°，求∠B和AC，AB的长．
19．（8分）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
（1）在图1中画出一个格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似，周长之比为2：1；
（2）在图2中画出一个格点△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC相似，面积之比为2：1．

20．（8分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为　 　米；
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG＝27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？

21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点E、F分别是AC、AB边上的一动点，连接EF，将纸片的一角AEF沿EF折叠．
（1）若折叠后点A落在AB边上的点D处（如图1），且S四边形ECBD＝3S△EDF，求AE的长；
（2）若AE＝AF，折叠后点A的对应点为点M（如图2），连结BM．
①若点M恰好在BC边上（如图3），求EF的长．
②求BM的最小值．

23．（12分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，边BC、CD的垂直平分线交于四边形内部一点O，连接BO、DO，已知BO∥AD．

（1）判断四边形ABOD的形状？并证明你的结论；
（2）连接AO并延长，交BC于点E，若CE＝2，BE＝6，∠ODC＝45°．
①求AB的长．
②若∠BAD＝135°，求AO•AE的值．
24．（14分）类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整，
（1）尝试探究
如图（1），在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC边上一点，AE与BD交于点G，过点E作EF⊥AE交AC于点F，若，则的值是 　 　；
（2）拓展迁移
如图（2），在矩形ABCD中，过点B作BH⊥AC于点O，交AD于点H，点E是BC边上一点，AE与BH相交于点G，过点E作EF⊥AE交AC于点F．
①若∠BAE＝∠ACB，sin∠EAF＝，求tan∠ACB；
②若，＝b（a＞0，b＞0），求的值（用含a，b的代数式表示）．



2022-2023学年浙江省宁波外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）若（a﹣b）：a＝1：15，则a：b＝（　　）
A．1：15 B．4：5 C．15：14 D．14：15
【分析】根据比例式的分比性质，可得：，通过整理可知：，即可推出a：b＝15：14．
【解答】解：∵（a﹣b）：a＝1：15，
∴，
∴，
∴a：b＝15：14．
故选：C．
【点评】本题主要考查比例式的性质，关键在于熟练运用比例式的分比性质，认真的进行计算．
2．（4分）下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．
【解答】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为 ，2，，所以三边之比为1：2：．
A、三角形的三边分别为2，，3，三边之比为 ：：3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，2，三边之比为1：2：，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．
3．（4分）如图，AD∥BE∥CF，点B，E分别在AC，DF上，DE＝2，EF＝AB＝3，则BC长为（　　）

A． B．2 C． D．4
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出答案．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵DE＝2，EF＝AB＝3，
∴＝，
∴BC＝，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容是解题的关键．
4．（4分）在正方形网格中，∠BAC如图放置，点A，B，C都在格点上，则sin∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接BC，则利用勾股定理可得AC＝，BC＝，AB＝，从而可得∠ACB＝90°，在RT△ABC中求解sin∠BAC的值即可．
【解答】解：连接BC，

则可得AC＝，BC＝，AB＝，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
在RT△ABC中，sin∠BAC＝＝＝．
故选：C．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是求出AB、AC、BC的长度，判断出△ABC是直角三角形．
5．（4分）两个相似三角形的一组对应边分别为6cm和8cm，如果较小三角形的周长为27cm，那么较大三角形的周长为（　　）
A．30cm B．36cm C．45cm D．54cm
【分析】由两个相似三角形的一组对应边分别为6cm和8cm，可求得相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，较小三角形的周长为27cm，即可求得答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的一组对应边分别为6cm和8cm，
∴相似比为：6：8＝3：4，
∴周长比为：3：4，
∵较小三角形的周长为27cm，
∴较大三角形的周长为：27×＝36（cm）．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的周长比等于相似比定理的应用是解此题的关键．
6．（4分）菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，∠ABD＝α，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C．tanα＝ D．sinα＝
【分析】首先根据菱形的性质可得AC⊥DB，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，再利用勾股定理计算出AB长，然后根据锐角三角函数定义分别进行计算可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥DB，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AC＝6，BD＝8，
∴AO＝3．BO＝4，
∴AB＝＝5，
∴sinα＝，cosα＝，tanα＝，
故选：D．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及锐角三角函数，关键是掌握菱形的对角线互相垂直、平分．
7．（4分）如图，取一张长为a、宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　）

A． B．a＝2b C． D．
【分析】根据题意可得：对折两次后得到的小长方形纸片的长为b，宽为a，然后利用相似多边形的性质可得＝，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
对折两次后得到的小长方形纸片的长为b，宽为a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴＝，
∴b2＝a2，
∴a2＝4b2，
∴a＝2b，
故选：B．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
8．（4分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（　　）

A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
【分析】根据垂径定理得出AB的长，进而利用中位线定理得出OF即可．
【解答】解：连接AB，OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即AB＝，
∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，
∴BF＝FC，
∴OF＝．
故选：D．
【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．
9．（4分）如图，正方形ABCD中，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、CD上，则tan∠DEH＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】设大正方形的边长为25，如图，过点G作GP⊥AD，垂足为P，可以得到△BGF∽△PGE，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到DE和BG，根据勾股定理可求EG的长，进而求出每个小正方形的边长．进而求出tan∠DEH的值．
【解答】解：如图所示：
设正方形ABCD边长为25，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝25，
过点G作GP⊥AD，垂足为P，则∠4＝∠5＝90°，
∴四边形APGB是矩形，
∴∠2+∠3＝90°，PG＝AB＝25，
∵六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠FGB，
∴△BGF∽△PGE，
∴，
∴，
∴GB＝5．
∴AP＝5．
同理DE＝5．
∴PE＝AD﹣DE﹣AP＝25﹣5﹣5＝15，PG＝25，
∴tan∠DEH＝tan∠1＝PE：PG＝3：5
故选：A．

【点评】本题主要考查了利用相似三角形的判定和相似三角形对应边成比例的性质和勾股定理，综合性较强，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，BF与CE相交于点H，直线EN交CB的延长线于点N，作CM⊥EN于点M，交BF于点G，且CM＝CD，有以下结论：①BF⊥CE；②ED＝EN；③tan∠ENC＝；④S四边形DEHF＝4S△CHF，其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①正确．由△CDE≌△BCF，推出∠CBF＝∠ECD，由∠ECD+∠ECB＝90°，推出∠CBF+∠BCE＝90°，推出∠BHC＝90°，推出BF⊥CE；
②错误．利用HL证明Rt△CEM≌Rt△CED，根据全等三角形的性质得出ED＝EM；
③正确．首先证明NE＝NC，设NE＝CN＝x，EM＝DE＝AE＝a，则CM＝CD＝2a，在Rt△CNM中，可得（x﹣a）2+（2a）2＝x2，推出x＝a，由tan∠ENC＝计算即可；
④正确．易知△CHF∽△CDE，可得＝＝（）2＝＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD，∠BCF＝∠CDE＝90°，
∵E，F分别为AD，CD的中点，
∴DE＝AD，CF＝CD，
∴DE＝CF，
∴△CDE≌△BCF（SAS），
∴∠CBF＝∠ECD，
∵∠ECD+∠ECB＝90°，
∴∠CBF+∠BCE＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∴BF⊥CE，故①正确，

∵CM＝CD，∠CME＝∠D＝90°，CE＝CE，
∴Rt△CEM≌Rt△CED（HL），
∴ED＝EM，故②错误，
∴∠CED＝∠CEM＝∠ECN，
∴NE＝NC，设NE＝CN＝x，EM＝DE＝AE＝a，则CM＝CD＝2a，
在Rt△CNM中，（x﹣a）2+（2a）2＝x2，
解得x＝a，
tan∠ENC＝＝＝，故③正确，
在Rt△CDE中，CE＝＝a，
∵∠CHF＝∠D＝90°，∠HCF＝∠DCE，
∴△CHF∽△CDE，
∴＝（）2＝＝，
∴S四边形DEHF＝4S△CHF，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝　　．

【分析】根据三角函数的定义即可得到cosB＝sinA＝．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵sinA＝＝，
∴cosB＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB．熟知相关定义是解题关键．
12．（5分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝　2﹣2　．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【解答】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝AB＝×4＝2﹣2．
故答案为2﹣2．
【点评】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．
13．（5分）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0，那么∠C＝　75°　．
【分析】先根据△ABC中，tanA＝1，cosB＝，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0
∴tanA＝1，cosB＝
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
14．（5分）已知△ABC中，AB＝4，AC＝6，D是AB的中点，E为AC边上的点，△ADE与△ABC相似，则AE＝　3或　．
【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC时，＝，即＝；当△ADE∽△ACB时，＝，即＝，然后根据比例性质分别计算出对应的AE的值．
【解答】解：当△ADE∽△ABC时，＝，即＝，则AE＝3；
当△ADE∽△ACB时，＝，即＝，则AE＝，
所以AE的长为3或．
故答案为：3或．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
15．（5分）晚上，小亮（GH）走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯（AB和CD）之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为　6.6　米．

【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高即可．
【解答】解：设路灯的高为x米，
∵GH⊥BD，AB⊥BD，
∴GH∥AB．
∴△EGH∽△EAB．
∴＝①．
同理△FGH∽△FCD，＝②．
∴＝＝．
∴＝．
解得：EB＝11，代入①得＝，
解得x＝6.6．
答：路灯的高6.6米．
故答案为：6.6．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高，体现了转化的思想．
16．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，则BD的长为　2　．

【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，得出BM＝BC+CM＝10，再由勾股定理求出BD即可．
【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：
则∠M＝90°，
∴∠DCM+∠CDM＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2＝AB2+BC2＝25，
∵CD＝10，AD＝5，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，
∴∠ACB＝∠CDM，
∵∠ABC＝∠M＝90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴＝，
∴CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，
∴BM＝BC+CM＝10，
∴BD＝＝＝2，
故答案为：2．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．
三、解答题（本题有8小题，第17、18、19、20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）计算：
（1）+tan60°
（2）2cos45°•sin45°﹣2sin30°•tan45°+•tan60°．
【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入后进行化简求值即可；
（2）将特殊角的三角函数值代入，然后化简二次根式，最后合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝+＝+；
（2）原式＝2××﹣2××1+×＝1﹣1+3＝3．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
18．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，∠A＝30°，求∠B和AC，AB的长．
【分析】在Rt△ABC中，利用直角三角形的两个锐角互余求出∠B＝60°，然后利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝6，
∴AC＝BC＝3，
∴∠B＝60°，AB＝6，AC＝3．
【点评】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
19．（8分）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
（1）在图1中画出一个格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似，周长之比为2：1；
（2）在图2中画出一个格点△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC相似，面积之比为2：1．

【分析】（1）根据相似三角形的性质，把△ABC的边长扩大2倍即可．
（2）根据相似三角形的性质，把△ABC的边长扩大倍即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．

【点评】本题考查作图﹣相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（8分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为　10.9　米；
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG＝27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？

【分析】（1）根据题意得出，∠BEF最大为45°，当∠BEF＝45°时，EF最短，此时ED最长，进而得出EF的长，即可得出答案；
（2）利用在Rt△DPA中，DP＝AD，以及PA＝AD•cos30°进而得出DM的长，利用HM＝DM•tan30°得出即可．
【解答】解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，
∴∠BEF最大为45°，
当∠BEF＝45°时，EF最短，此时ED最长，
∵∠DAC＝∠BDF＝30°，AD＝BD＝30，
∴BF＝EF＝BD＝15，
DF＝15，
故：DE＝DF﹣EF＝15（﹣1）≈10.9（米）；
若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为10.9m；

（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．
在Rt△DPA中，DP＝AD＝×30＝15，
PA＝AD•cos30°＝×30＝15．
在矩形DPGM中，MG＝DP＝15，DM＝PG＝15+27，
在Rt△DMH中，
HM＝DM•tan30°＝×（15+27）＝15+9．
GH＝HM+MG＝15+15+9≈45.6．
答：建筑物GH高约为45.6米．

【点评】此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】根据勾股定理求得AB＝5cm．
（1）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；
（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S＝S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式S＝（t﹣）2+（0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．
【解答】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．
∴根据勾股定理，得＝5cm．
（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，＝，即＝，
解得t＝；
②当△APM∽△ABC时，＝，即＝，
解得t＝0（不合题意，舍去）；
综上所述，当t＝时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；

（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，
∴＝，即＝，
∴PH＝t，
∴S＝S△ABC﹣S△BPN，
＝×3×4﹣×（3﹣t）•t，
＝（t﹣）2+（0＜t＜2.5）．
∵＞0，
∴S有最小值．
当t＝时，S最小值＝．
答：当t＝时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．

【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边．
22．（12分）已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点E、F分别是AC、AB边上的一动点，连接EF，将纸片的一角AEF沿EF折叠．
（1）若折叠后点A落在AB边上的点D处（如图1），且S四边形ECBD＝3S△EDF，求AE的长；
（2）若AE＝AF，折叠后点A的对应点为点M（如图2），连结BM．
①若点M恰好在BC边上（如图3），求EF的长．
②求BM的最小值．

【分析】（1）由折叠的性质得出EF⊥AB，△AEF≌△DEF，得出S△AEF≌S△DEF，由已知得出S△ABC＝4S△AEF，证明△AEF∽△ABC，得出＝（）2，即可求出AE的长；
（2）①如图3中，漏解AM交EF于点O．证明四边形AEMF是菱形，求出菱形的边长，再利用相似三角形的性质求解即可；
②由①可知，四边形AEMF是菱形，推出∠CAM＝∠BAM，推出点M的运动轨迹是∠CAB的角平分线，推出当BM⊥AM时，BM的值最小．
【解答】解：（1）如图1中，

∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF＝S△DEF，
∵S四边形ECBF＝3S△EDF，
∴S△ABC＝4S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝（）2，即（）2＝，
∴AE＝；

（2）①如图3中，连接AM交EF于点O．

∵AE＝AF，AE＝EM，FA＝FM，
∴AE＝E＝MF＝AF，
∴四边形AEMF是菱形，
∴FM∥AC，EF⊥AM，OE＝OF，
∴∠FMB＝∠C＝90°，
设AF＝FM＝AE＝EM＝x，则BF＝x，BM＝x，
∵AB＝5，
∴x+x＝5，
∴x＝，
∴AE＝，BM＝，CM＝，
∴AM＝＝＝，
∵∠EAO＝∠CAM，∠AOE＝∠C＝90°，
∴△AOE∽△ACM，
∴＝，
∴＝，
∴OE＝，
∴EF＝2OE＝；

②由①可知，四边形AEMF是菱形，
∴∠CAM＝∠BAM，
∴点M的运动轨迹是∠CAB的角平分线，
∴当BM⊥AM时，BM的值最小，此时BM＝AB•sin∠MAN＝5×＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的判定和性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
23．（12分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，边BC、CD的垂直平分线交于四边形内部一点O，连接BO、DO，已知BO∥AD．

（1）判断四边形ABOD的形状？并证明你的结论；
（2）连接AO并延长，交BC于点E，若CE＝2，BE＝6，∠ODC＝45°．
①求AB的长．
②若∠BAD＝135°，求AO•AE的值．
【分析】（1）连接AO、CO，根据中垂线知OB＝OC＝OD，证△ABO≌△ADO得∠BAO＝∠DAO，由BO∥AD知∠BOA＝∠DAO，从而得∠BAO＝∠BOA，据此知AB＝BO，继而得证；
（2）连接CO、DE，设DE交OC于点P，先证△BOE≌△DOE得BE＝DE、∠OBE＝∠ODE，结合∠OBC＝∠OCB知∠OCE＝∠ODE，由∠EPC＝∠OPD知∠CEP＝∠DOP＝90°，根据CE2+DE2＝DC2知CE2+BE2＝2AB2，代入计算可得；
（3）由△BOE≌△DOE，∠DEB＝90°知∠OEB＝∠OED＝45°，结合四边形ABOD是菱形，∠BAD＝135°知∠ABO＝45°，从而得∠ABO＝∠AEB，证△ABO∽△AEB得AO•AE＝AB2，代入计算可得．
【解答】解：（1）四边形ABOD是菱形，理由如下：
如图1，连接AO、CO，

∵边BC、CD的垂直平分线交于点O，
∴OB＝OC＝OD，
又AB＝AD，AO＝AO，
∴△ABO≌△ADO（SSS），
∴∠BAO＝∠DAO，
∵BO∥AD，
∴∠BOA＝∠DAO，
∴∠BAO＝∠BOA，
∴AB＝BO，
∴AB＝BO＝OD＝AD，
∴四边形ABOD是菱形；
（2）如图2，连接CO、DE，设DE交OC于点P，

∵∠ODC＝45°，OC＝OD，
∴∠COD＝90°，△OCD是等腰直角三角形，
∴CD＝OD＝AB，
∵四边形ABOD是菱形，
∴∠DOA＝∠BOA，
∴∠BOE＝∠DOE，
在△BOE和△DOE中，
∵，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴BE＝DE、∠OBE＝∠ODE，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCE＝∠ODE，
又∵∠EPC＝∠OPD，
∴∠CEP＝∠DOP＝90°，
在Rt△DCE中，CE2+DE2＝DC2，即CE2+BE2＝2AB2，
∵CE＝2，BE＝6，
∴2AB2＝（2）2+（6）2＝200，
∴AB＝10；
（3）由（2）知△BOE≌△DOE，∠DEB＝90°，
∴∠OEB＝∠OED＝45°，
∵四边形ABOD是菱形，∠BAD＝135°，
∴∠ABO＝45°，
∴∠ABO＝∠AEB，
又∵∠BAO＝∠EAB，
∴△ABO∽△AEB，
∴＝，
∴AO•AE＝AB2，
∵AB＝10，
∴AO•AE＝100．
【点评】本题是相似形的综合问题，解题的关键是掌握菱形的判定与性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质等知识点．
24．（14分）类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整，
（1）尝试探究
如图（1），在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC边上一点，AE与BD交于点G，过点E作EF⊥AE交AC于点F，若，则的值是 　　；
（2）拓展迁移
如图（2），在矩形ABCD中，过点B作BH⊥AC于点O，交AD于点H，点E是BC边上一点，AE与BH相交于点G，过点E作EF⊥AE交AC于点F．
①若∠BAE＝∠ACB，sin∠EAF＝，求tan∠ACB；
②若，＝b（a＞0，b＞0），求的值（用含a，b的代数式表示）．


【分析】（1）过E作EN⊥AC于N，EM⊥BD于M，由四边形ABCD是正方形，得到AC⊥BD，∠ACB＝∠DBC＝45°，于是得到四边形OMEN是矩形，△BEM与△CEN是等腰直角三角形，求得＝2，然后根据△EMG∽△ENF，即可得到结论；
（2）①证出GA＝GB，设GO＝2a，则GA＝3a，由勾股定理求出OA＝a，由锐角三角函数的定义可得出答案；
②过E作EN⊥AC于N，EM⊥BH于M，得到四边形OMEN是矩形，由△MEG∽△NEF，得到，由于△ABC∽△CNE，求出EN＝，由于△BEM∽△BCO，得到，求出EM＝a•CN，即可得到结论．
【解答】解：（1）过E作EN⊥AC于N，EM⊥BD于M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠ACB＝∠DBC＝45°，
∴四边形OMEN是矩形，△BEM与△CEN是等腰直角三角形，
∴∠MEN＝90°，EM＝BE，EN＝CE，
∵＝2，
∴＝2，
∵EF⊥AE，
∴∠MEG＝∠NEF，
∴△EMG∽△ENF，
∴，
故答案为：．
（2）①∵BH⊥AC，
∴∠BOC＝∠AOB＝90°，
∴∠ACB+∠OBC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝90°，
∴∠ABO+∠OBC＝90°，
∴∠ACB＝∠ABO，
∵∠BAE＝∠ACB，
∴∠BAE＝∠ABO，
∴GA＝GB，
设GO＝2a，
∵sin∠EAF＝＝，
∴GA＝3a，
∴OA＝＝＝a，
∵OB＝GB+OG＝3a+2a＝5a，
∴tan∠ABO＝，
∴tan∠ACB＝；
②如图3中，过E作EN⊥AC于N，EM⊥BH于M，

∵BH⊥AC，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MEN＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠MEG＝∠NEF，
∴△MEG∽△NEF，
∴，
∵∠ABC＝∠CNE＝90°，∠ACB＝∠ECN，
∴△ABC∽△ENC，
∴＝b，
∴EN＝，
∵EM⊥BH，AC⊥BH，
∴EM∥AC，
∴△BEM∽△BCO，
∴，
∵＝a，
∴，
∴，
∵ON＝EM，
∴＝a，
∴EM＝a•CN，
∴＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了相似形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．