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广东省广州市广州中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案)
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这是一份广东省广州市广州中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案)，共26页。试卷主要包含了细心选一选，耐心填一填，用心答一答等内容，欢迎下载使用。
广东省广州市广州中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题
一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．（3分）下列为负数的是（ ）
A．|﹣2| B． C．0 D．﹣5
2．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．3cm，4cm，9cm
C．5cm，6cm，10cm D．1cm，2cm，3cm
4．（3分）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用科学记数法可以表示为（ ）
A．14.126×108 B．1.4126×109
C．1.4126×108 D．0.14126×1010
5．（3分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（ ）
A．7 B．5 C．4 D．3
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（ ）
A．BF＝1 B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝9
7．（3分）下列命题为真命题的是（ ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．若a＝b，则a2＝b2
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．方程2x2+5x﹣1＝0的两个根的和为
8．（3分）若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（3分）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
10．（3分）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B．
C． D．
二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）已知∠α＝60°，则∠α的余角等于 度．
13．（3分）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买 支签字笔．
14．（3分）关于x的方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c可以是 ．（写一个符合要求的即可）
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为 ．
16．（3分）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 ．
三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。）
17．（4分）解方程组．
18．（4分）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC．求证：△AOD≌△OBC．
19．（6分）已知A＝（a+3）（a﹣2）+a（2﹣a）．
（1）化简A；
（2）若a的值是不等式组的最大整数解，求A的值．
20．（6分）为了解某校九年级学生的生物实验操作情况，随机调查了若干名学生的实验操作得分并制作了条形统计图（1）和扇形统计图（2）．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）由图（1）可知本次随机调查的学生人数为 ，众数为 ，图（2）中“①”部分的圆心角度数为 °；
（2）若该校九年级共有1200名学生，估计该校生物实验操作得10分的学生有多少人？
21．（8分）如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB'C'；
（2）连结CB'，CC'，求△CB'C′的周长．
22．（10分）某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元．
（1）求二月份的销售额；
（2）求三、四月份销售额的平均增长率．
23．（10分）已知直线y＝kx+b（k≠0）过点（1，2）．
（1）b＝ ；（用含k的代数式表示）
（2）将此直线向下平移2个单位长度，设平移后的直线交x轴于点A，交y轴于点B，x轴上另有点C（1+k，0），使得△ABC的面积为2，求k的值．
24．（12分）定义，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1≤x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若方程为x2﹣3x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+5m＝0的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
25．（12分）如图（1），正方形ABCD中，P为边BC上的一个动点，作等腰直角△APE，∠APE＝90°，连接CE．
（1）在点P的运动过程中，点E的运动是有规律的，试说明点E运动的方向路线，并证明你的结论；
（2）若AE交CD于点F，连接PF，小红在研究这个图形时，经过思考，发现这道题目里面包含有一个什么角模型，请你在她的基础上，证明∠FPE＝∠EPC；
（3）如图（2），连接PD，H为PD的中点，连接EH，若AB的长是方程x2﹣12x+36＝0的一个实数根，求线段EH的最小值．
广东省广州市广州中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题参考答案与试题解析
一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．（3分）下列为负数的是（ ）
A．|﹣2| B． C．0 D．﹣5
【分析】根据实数的定义判断即可．
【解答】解：A．|﹣2|＝2，是正数，故本选项不合题意；
B．是正数，故本选项不合题意；
C．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
D．﹣5是负数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数，绝对值以及算术平方根，掌握负数的定义是解答本题的关键．
2．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义进行求解是解决本题的关键．
3．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．3cm，4cm，9cm
C．5cm，6cm，10cm D．1cm，2cm，3cm
【分析】根据三角形两边之和大于第三边分别进行分析即可．
【解答】解：A、2+3＝5，不能组成三角形；
B、3+4＜9，不能组成三角形；
C、5+6＞10，能组成三角形；
D、1+2＝3，不能组成三角形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4．（3分）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用科学记数法可以表示为（ ）
A．14.126×108 B．1.4126×109
C．1.4126×108 D．0.14126×1010
【分析】根据科学记数法的规则，进行书写即可．
【解答】解：1412600000＝1.4126×109，
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法—表示较大的数，掌握科学记数法的规则是解决问题的关键．
5．（3分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（ ）
A．7 B．5 C．4 D．3
【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．
【解答】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，
∴＝4，
解得：x＝3，
则将数据重新排列为1、3、4、5、7，
所以这组数据的中位数为4，
故选：C．
【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（ ）
A．BF＝1 B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝9
【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE，
∵DE＝5，DF＝3，
∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；
∴CE＝＝4，
∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；
∵DE∥AB，∠DFB＝90°，
∴∠EDF＝∠DFB＝90°，
∴∠CDE+∠FDB＝90°，
∵∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠FDB，
∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，
∴，
解得BF＝，故选项A错误；
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（3分）下列命题为真命题的是（ ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．若a＝b，则a2＝b2
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．方程2x2+5x﹣1＝0的两个根的和为
【分析】根据正多边形的定义、正方形的判定定理等知识判断求解即可．
【解答】解：每个内角都相等的多边形不一定是正多边形，例如矩形，故A为假命题，不符合题意；
若a＝b，则a2＝b2，故B为真命题，符合题意；
有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故C为假命题，不符合题意；
方程2x2+5x﹣1＝0的两个根的和为﹣，故D为假命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．（3分）若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】通过解一元二次方程可得出k，b的值，再利用一次函数图象与系数的关系可得出函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，此题得解．
【解答】解：∵实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，
∴k＝﹣3，b＝1，
∴函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．
9．（3分）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，则四边形DHFE为平行四边形，可得HF＝DE，DH＝EF＝；设BF＝x，则CE＝2x，可得AH＝3x，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．
∵EF⊥AB，DH⊥AB，
∴DH∥EF，
∴四边形DHFE为平行四边形，
∴HF＝DE，DH＝EF＝．
∵点E是边CD的中点，
∴DE＝CD，
∴HF＝CD＝AB．
∵BF：CE＝1：2，
∴设BF＝x，则CE＝2x，
∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，
AD＝AB＝4x，
∴AF＝AB+BF＝5x．
∴AH＝AF﹣HF＝3x．
在Rt△ADH中，
∵DH2+AH2＝AD2，
∴．
解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），
∴x＝1．
∴AB＝4x＝4．
即菱形ABCD的边长是4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，灵活运用菱形的性质是解题的关键．
10．（3分）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据规定的运算法则分别计算出每个选项第一行的数即可作出判断．
【解答】解：A、第一行数字从左到右依次为1、0、1、0，序号为1×23+0×22+1×21+0×20＝10，不符合题意；
B、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为0×23+1×22+1×21+0×20＝6，符合题意；
C、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9，不符合题意；
D、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为0×23+1×22+1×21+1×20＝7，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是根据题意弄清题干规定的运算规则，并将图形的变化问题转化为数字问题．
二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠﹣1 ．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故答案是：x≠﹣1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12．（3分）已知∠α＝60°，则∠α的余角等于 30 度．
【分析】根据两个角的和为90°，则这两个角互余解答．
【解答】解：∠α的余角＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是余角和补角，两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
13．（3分）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买 5 支签字笔．
【分析】设还能买x支签字笔，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过30元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：设还能买x支签字笔，
依题意得：2×2+5x≤30，
解得：x≤，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为5，
∴最多还能买5支签字笔．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
14．（3分）关于x的方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c可以是 0 ．（写一个符合要求的即可）
【分析】直接利用根的判别式，得出Δ＞0，进而求出c的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4﹣4c＞0，
解得：c＜1，
故c的值可以是0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出Δ符号是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为 5 ．
【分析】利用勾股定理求得AB＝20；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB＝＝20．
∵CD为中线，
∴CD＝AB＝10．
∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
则BF＝CD＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，解决问题的关键是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．
16．（3分）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 1.2或者1.5 ．
【分析】本题中的x与（2﹣x）不知那个大，因此需要分类讨论，从而列方程求解．
【解答】解：第一次操作后的两边长分别是x和（2﹣x），第二次操作后的两边长分别是（2x﹣2）和（2﹣x）．
当2x﹣2＞2﹣x时，有2x﹣2＝2（2﹣x），解得x＝1.5，
当2x﹣2＜2﹣x时，有2（2x﹣2）＝2﹣x，解得x＝1.2．
故答案为：1.2或者1.5．
【点评】主要考查了含有字母的代数式的比较，关键是第二次操作后的边长，不知哪个是长，哪个是宽，所以分两种情况，不要丢掉任何一种．
三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。）
17．（4分）解方程组．
【分析】把（1）代入（2）得出6y﹣2y＝8，求出y，再把y＝2代入（1）求出x即可．
【解答】解：，
把（1）代入（2）得：6y﹣2y＝8，
解得：y＝2，
把y＝2代入（1）得：x＝4，
所以原方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
18．（4分）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC．求证：△AOD≌△OBC．
【分析】根据线段中点的定义得到AO＝BO，根据平行线的性质得到∠AOD＝∠OBC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵点O是线段AB的中点，
∴AO＝BO，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠OBC．
在△AOD与△OBC中，
，
∴△AOD≌△OBC（SAS）．
【点评】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．也考查了线段中点的定义，平行线的性质．
19．（6分）已知A＝（a+3）（a﹣2）+a（2﹣a）．
（1）化简A；
（2）若a的值是不等式组的最大整数解，求A的值．
【分析】（1）去括号合并同类项；
（2）求出不等式组的解，根据a的值是不等式组的最大整数解，确定a的值，再代入（1）的结果计算．
【解答】解：（1）A＝（a+3）（a﹣2）+a（2﹣a）
＝a2+a﹣6+2a﹣a2
＝3a﹣6；
（2）解每一个不等式，得，
∴此不等式组的解集：2≤a＜4，
∵a的值是不等式组的最大整数解，
∴a＝2，
∴A＝3×2﹣6＝﹣1．
【点评】本题考查多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘、一元一次不等式组的整数解，掌握多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘的运算法则，求出一元一次不等式组的整数解是解题关键．
20．（6分）为了解某校九年级学生的生物实验操作情况，随机调查了若干名学生的实验操作得分并制作了条形统计图（1）和扇形统计图（2）．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）由图（1）可知本次随机调查的学生人数为 40人 ，众数为 12 ，图（2）中“①”部分的圆心角度数为 36 °；
（2）若该校九年级共有1200名学生，估计该校生物实验操作得10分的学生有多少人？
【分析】（1）认真读题，根据条形数据图表示的意义来做即可；
（2）计算①所占学生总数量百分之几，再乘以360°，求出圆心角的度数．
【解答】解：（1）由图（1）可知本次随机调查的学生人数为：
4+6+11+12+7＝40人，
众数为 12；
图（2）中“①”部分占总数量的百分数为：
1﹣（17.5%+30%+27.5%+15%）
＝1﹣90%
＝10%，
图（2）中“①”部分的圆心角度数为：
360×10%＝36°，
故答案为：40人，12，36；
（2）该校生物实验操作得10分的学生有：
1200×17.5%＝210（人），
该校生物实验操作得10分的学生有210人．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，做题的关键是掌握条形统计图和扇形统计图表示的意义．
21．（8分）如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB'C'；
（2）连结CB'，CC'，求△CB'C′的周长．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）利用勾股定理求出B'C和B'C'的长即可．
【解答】解：（1）如图，△AB'C'即为所求；
（2）由勾股定理得，CB'＝，B'C'＝，
∴△CB'C′的周长为++4．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
22．（10分）某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元．
（1）求二月份的销售额；
（2）求三、四月份销售额的平均增长率．
【分析】（1）利用二月份的销售额＝一月份的销售额×（1﹣20%），即可求出结论；
（2）设三、四月份销售额的平均增长率为x，利用四月份的销售额＝二月份的销售额×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）125×（1﹣20%）＝125×80%＝100（万元）．
答：二月份的销售额为100万元．
（2）设三、四月份销售额的平均增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝144，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：三、四月份销售额的平均增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（10分）已知直线y＝kx+b（k≠0）过点（1，2）．
（1）b＝ 2﹣k ；（用含k的代数式表示）
（2）将此直线向下平移2个单位长度，设平移后的直线交x轴于点A，交y轴于点B，x轴上另有点C（1+k，0），使得△ABC的面积为2，求k的值．
【分析】（1）把点（1，2）代入y＝kx+b（k≠0），得出k+b＝2，即b＝2﹣k；
（2）把b＝2﹣k代入y＝kx+b，得y＝kx+2﹣k，根据上加下减的平移规律得出向下平移2个单位所得直线的解析式为y＝kx﹣k，求出A（1，0），B（0，﹣k），根据△ABC的面积为2列出方程k2＝2，解方程即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b（k≠0）过点（1，2），
∴k+b＝2，
∴b＝2﹣k．
故答案为：2﹣k；
（2）由（1）可得y＝kx+2﹣k，
向下平移2个单位所得直线的解析式为y＝kx﹣k，
令x＝0，得y＝﹣k，令y＝0，得x＝1，
∴A（1，0），B（0，﹣k），
∵C（1+k，0），
∴AC＝|1+k﹣1|＝|k|，
∴S△ABC＝AC•|yB|＝|k|•|﹣k|＝k2，
∴k2＝2，
解得k＝±2．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数的性质．难度适中．
24．（12分）定义，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1≤x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若方程为x2﹣3x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+5m＝0的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
【分析】（1）解方程x2﹣3x＝0后，根据定义即可求M点坐标；
（2）求出方程的解为x＝1或x＝5m，再分情况讨论：当5m≥1时，此时M（1，5m）；当0≤5m≤1时，此时M（5m，1），当5m＜0时，M（5m，1）；再由题意分别求出m的值即可；
（3）由直线经过定点（﹣2，6），则方程x2+bx+c＝0的衍生点M为（﹣2，6），即可求b＝﹣4，c＝﹣12．
【解答】解：（1）x2﹣3x＝0的解为x＝0或x＝3，
∴x1＝0，x2＝3，
∴M（0，3），
∴该方程的衍生点M的坐标（0，3）；
（2）x2﹣（5m+1）x+5m＝0的解为x＝1或x＝5m，
当5m≥1时，m≥，
此时M（1，5m），
由题意可得1＝5m，
解得m＝；
当0≤5m≤1时，0≤m≤，
此时M（5m，1），
∴5m＝1，
∴m＝；
当5m＜0时，M（5m，1），
此时1＝﹣5m，
解得m＝﹣；
综上所述：m的值为或﹣；
（3）存在b，c满足条件，理由如下：
∵y＝kx+2（k+3）＝kx+2k+6＝k（x+2）+6，
∴直线经过定点（﹣2，6），
∴方程x2+bx+c＝0的衍生点M为（﹣2，6），
∴b＝﹣4，c＝﹣12．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，根据题意分情况讨论是解题的关键．
25．（12分）如图（1），正方形ABCD中，P为边BC上的一个动点，作等腰直角△APE，∠APE＝90°，连接CE．
（1）在点P的运动过程中，点E的运动是有规律的，试说明点E运动的方向路线，并证明你的结论；
（2）若AE交CD于点F，连接PF，小红在研究这个图形时，经过思考，发现这道题目里面包含有一个什么角模型，请你在她的基础上，证明∠FPE＝∠EPC；
（3）如图（2），连接PD，H为PD的中点，连接EH，若AB的长是方程x2﹣12x+36＝0的一个实数根，求线段EH的最小值．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABP≌△PGE，可得EG＝BP，AB＝PG，可证BP＝CG＝EG，可得∠ECG＝45°，可得EC平分∠DCG，即可求解；
（2）由“SAS”可证△APH≌△APF，可得∠APH＝∠APF，由余角的性质可得结论；
（3）建立平面直角坐标系，求出点E，点H坐标，即可求解．
【解答】（1）解：点E在∠DCQ的平分线上沿CE方向运动，理由如下：
如图（1），作EG⊥BC交BC的延长线于G，
∵∠APE＝90°，∠B＝90°，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠EPG，
∴∠BAP＝∠GPE，
在△ABP和△PGE中，
，
∴△ABP≌△PGE（AAS），
∴EG＝BP，AB＝PG，
∴BC＝PG＝AB，
∴BP＝CG＝EG，
∴∠ECG＝45°，
∴EC平分∠DCG，
∴点E在∠DCG的平分线上运动；
（2）题目包含半角模型，
证明：如图（1﹣1），延长CB至H，使BH＝DF，连接AH，
∵PA＝PE，∠APE＝90°，
∴∠PAE＝45°，
∴∠BAP+∠DAF＝45°，
在△ABH和△ADF中，
，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠HAP＝∠FAP＝45°，
在△APH和△APF中，
，
∴△APH≌△APF（SAS），
∴∠APH＝∠APF，
∵∠APE＝90°，
∴∠APB+∠CPE＝90°＝∠APF+∠EPF，
∴∠FPE＝∠EPC；
（3）∵AB的长是方程x2﹣12x+36＝0的一个实数根，
∴AB＝6，
如图（2），以点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
∴点A（0，6），点D（6，6），
设点P（a，0），
∴BP＝a，
∵△ABP≌△PGE，
∴BP＝EG＝CG＝a，
∴点E（6+a，a），
∵H为PD的中点，
∴点H（，3），
∴HE＝＝，
∴当a＝时，HE的最小值为．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，建立平面直角坐标系求出点E，点H坐标是解题的关键．
广东省广州市广州中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题
一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．（3分）下列为负数的是（ ）
A．|﹣2| B． C．0 D．﹣5
2．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．3cm，4cm，9cm
C．5cm，6cm，10cm D．1cm，2cm，3cm
4．（3分）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用科学记数法可以表示为（ ）
A．14.126×108 B．1.4126×109
C．1.4126×108 D．0.14126×1010
5．（3分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（ ）
A．7 B．5 C．4 D．3
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（ ）
A．BF＝1 B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝9
7．（3分）下列命题为真命题的是（ ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．若a＝b，则a2＝b2
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．方程2x2+5x﹣1＝0的两个根的和为
8．（3分）若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（3分）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
10．（3分）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B．
C． D．
二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）已知∠α＝60°，则∠α的余角等于 度．
13．（3分）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买 支签字笔．
14．（3分）关于x的方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c可以是 ．（写一个符合要求的即可）
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为 ．
16．（3分）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 ．
三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。）
17．（4分）解方程组．
18．（4分）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC．求证：△AOD≌△OBC．
19．（6分）已知A＝（a+3）（a﹣2）+a（2﹣a）．
（1）化简A；
（2）若a的值是不等式组的最大整数解，求A的值．
20．（6分）为了解某校九年级学生的生物实验操作情况，随机调查了若干名学生的实验操作得分并制作了条形统计图（1）和扇形统计图（2）．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）由图（1）可知本次随机调查的学生人数为 ，众数为 ，图（2）中“①”部分的圆心角度数为 °；
（2）若该校九年级共有1200名学生，估计该校生物实验操作得10分的学生有多少人？
21．（8分）如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB'C'；
（2）连结CB'，CC'，求△CB'C′的周长．
22．（10分）某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元．
（1）求二月份的销售额；
（2）求三、四月份销售额的平均增长率．
23．（10分）已知直线y＝kx+b（k≠0）过点（1，2）．
（1）b＝ ；（用含k的代数式表示）
（2）将此直线向下平移2个单位长度，设平移后的直线交x轴于点A，交y轴于点B，x轴上另有点C（1+k，0），使得△ABC的面积为2，求k的值．
24．（12分）定义，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1≤x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若方程为x2﹣3x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+5m＝0的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
25．（12分）如图（1），正方形ABCD中，P为边BC上的一个动点，作等腰直角△APE，∠APE＝90°，连接CE．
（1）在点P的运动过程中，点E的运动是有规律的，试说明点E运动的方向路线，并证明你的结论；
（2）若AE交CD于点F，连接PF，小红在研究这个图形时，经过思考，发现这道题目里面包含有一个什么角模型，请你在她的基础上，证明∠FPE＝∠EPC；
（3）如图（2），连接PD，H为PD的中点，连接EH，若AB的长是方程x2﹣12x+36＝0的一个实数根，求线段EH的最小值．
广东省广州市广州中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题参考答案与试题解析
一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．（3分）下列为负数的是（ ）
A．|﹣2| B． C．0 D．﹣5
【分析】根据实数的定义判断即可．
【解答】解：A．|﹣2|＝2，是正数，故本选项不合题意；
B．是正数，故本选项不合题意；
C．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
D．﹣5是负数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数，绝对值以及算术平方根，掌握负数的定义是解答本题的关键．
2．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义进行求解是解决本题的关键．
3．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．3cm，4cm，9cm
C．5cm，6cm，10cm D．1cm，2cm，3cm
【分析】根据三角形两边之和大于第三边分别进行分析即可．
【解答】解：A、2+3＝5，不能组成三角形；
B、3+4＜9，不能组成三角形；
C、5+6＞10，能组成三角形；
D、1+2＝3，不能组成三角形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4．（3分）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用科学记数法可以表示为（ ）
A．14.126×108 B．1.4126×109
C．1.4126×108 D．0.14126×1010
【分析】根据科学记数法的规则，进行书写即可．
【解答】解：1412600000＝1.4126×109，
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法—表示较大的数，掌握科学记数法的规则是解决问题的关键．
5．（3分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（ ）
A．7 B．5 C．4 D．3
【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．
【解答】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，
∴＝4，
解得：x＝3，
则将数据重新排列为1、3、4、5、7，
所以这组数据的中位数为4，
故选：C．
【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（ ）
A．BF＝1 B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝9
【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE，
∵DE＝5，DF＝3，
∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；
∴CE＝＝4，
∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；
∵DE∥AB，∠DFB＝90°，
∴∠EDF＝∠DFB＝90°，
∴∠CDE+∠FDB＝90°，
∵∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠FDB，
∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，
∴，
解得BF＝，故选项A错误；
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（3分）下列命题为真命题的是（ ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．若a＝b，则a2＝b2
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．方程2x2+5x﹣1＝0的两个根的和为
【分析】根据正多边形的定义、正方形的判定定理等知识判断求解即可．
【解答】解：每个内角都相等的多边形不一定是正多边形，例如矩形，故A为假命题，不符合题意；
若a＝b，则a2＝b2，故B为真命题，符合题意；
有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故C为假命题，不符合题意；
方程2x2+5x﹣1＝0的两个根的和为﹣，故D为假命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．（3分）若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】通过解一元二次方程可得出k，b的值，再利用一次函数图象与系数的关系可得出函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，此题得解．
【解答】解：∵实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，
∴k＝﹣3，b＝1，
∴函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．
9．（3分）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，则四边形DHFE为平行四边形，可得HF＝DE，DH＝EF＝；设BF＝x，则CE＝2x，可得AH＝3x，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．
∵EF⊥AB，DH⊥AB，
∴DH∥EF，
∴四边形DHFE为平行四边形，
∴HF＝DE，DH＝EF＝．
∵点E是边CD的中点，
∴DE＝CD，
∴HF＝CD＝AB．
∵BF：CE＝1：2，
∴设BF＝x，则CE＝2x，
∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，
AD＝AB＝4x，
∴AF＝AB+BF＝5x．
∴AH＝AF﹣HF＝3x．
在Rt△ADH中，
∵DH2+AH2＝AD2，
∴．
解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），
∴x＝1．
∴AB＝4x＝4．
即菱形ABCD的边长是4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，灵活运用菱形的性质是解题的关键．
10．（3分）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据规定的运算法则分别计算出每个选项第一行的数即可作出判断．
【解答】解：A、第一行数字从左到右依次为1、0、1、0，序号为1×23+0×22+1×21+0×20＝10，不符合题意；
B、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为0×23+1×22+1×21+0×20＝6，符合题意；
C、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9，不符合题意；
D、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为0×23+1×22+1×21+1×20＝7，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是根据题意弄清题干规定的运算规则，并将图形的变化问题转化为数字问题．
二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠﹣1 ．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故答案是：x≠﹣1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12．（3分）已知∠α＝60°，则∠α的余角等于 30 度．
【分析】根据两个角的和为90°，则这两个角互余解答．
【解答】解：∠α的余角＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是余角和补角，两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
13．（3分）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买 5 支签字笔．
【分析】设还能买x支签字笔，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过30元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：设还能买x支签字笔，
依题意得：2×2+5x≤30，
解得：x≤，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为5，
∴最多还能买5支签字笔．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
14．（3分）关于x的方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c可以是 0 ．（写一个符合要求的即可）
【分析】直接利用根的判别式，得出Δ＞0，进而求出c的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4﹣4c＞0，
解得：c＜1，
故c的值可以是0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出Δ符号是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为 5 ．
【分析】利用勾股定理求得AB＝20；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB＝＝20．
∵CD为中线，
∴CD＝AB＝10．
∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
则BF＝CD＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，解决问题的关键是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．
16．（3分）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 1.2或者1.5 ．
【分析】本题中的x与（2﹣x）不知那个大，因此需要分类讨论，从而列方程求解．
【解答】解：第一次操作后的两边长分别是x和（2﹣x），第二次操作后的两边长分别是（2x﹣2）和（2﹣x）．
当2x﹣2＞2﹣x时，有2x﹣2＝2（2﹣x），解得x＝1.5，
当2x﹣2＜2﹣x时，有2（2x﹣2）＝2﹣x，解得x＝1.2．
故答案为：1.2或者1.5．
【点评】主要考查了含有字母的代数式的比较，关键是第二次操作后的边长，不知哪个是长，哪个是宽，所以分两种情况，不要丢掉任何一种．
三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。）
17．（4分）解方程组．
【分析】把（1）代入（2）得出6y﹣2y＝8，求出y，再把y＝2代入（1）求出x即可．
【解答】解：，
把（1）代入（2）得：6y﹣2y＝8，
解得：y＝2，
把y＝2代入（1）得：x＝4，
所以原方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
18．（4分）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC．求证：△AOD≌△OBC．
【分析】根据线段中点的定义得到AO＝BO，根据平行线的性质得到∠AOD＝∠OBC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵点O是线段AB的中点，
∴AO＝BO，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠OBC．
在△AOD与△OBC中，
，
∴△AOD≌△OBC（SAS）．
【点评】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．也考查了线段中点的定义，平行线的性质．
19．（6分）已知A＝（a+3）（a﹣2）+a（2﹣a）．
（1）化简A；
（2）若a的值是不等式组的最大整数解，求A的值．
【分析】（1）去括号合并同类项；
（2）求出不等式组的解，根据a的值是不等式组的最大整数解，确定a的值，再代入（1）的结果计算．
【解答】解：（1）A＝（a+3）（a﹣2）+a（2﹣a）
＝a2+a﹣6+2a﹣a2
＝3a﹣6；
（2）解每一个不等式，得，
∴此不等式组的解集：2≤a＜4，
∵a的值是不等式组的最大整数解，
∴a＝2，
∴A＝3×2﹣6＝﹣1．
【点评】本题考查多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘、一元一次不等式组的整数解，掌握多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘的运算法则，求出一元一次不等式组的整数解是解题关键．
20．（6分）为了解某校九年级学生的生物实验操作情况，随机调查了若干名学生的实验操作得分并制作了条形统计图（1）和扇形统计图（2）．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）由图（1）可知本次随机调查的学生人数为 40人 ，众数为 12 ，图（2）中“①”部分的圆心角度数为 36 °；
（2）若该校九年级共有1200名学生，估计该校生物实验操作得10分的学生有多少人？
【分析】（1）认真读题，根据条形数据图表示的意义来做即可；
（2）计算①所占学生总数量百分之几，再乘以360°，求出圆心角的度数．
【解答】解：（1）由图（1）可知本次随机调查的学生人数为：
4+6+11+12+7＝40人，
众数为 12；
图（2）中“①”部分占总数量的百分数为：
1﹣（17.5%+30%+27.5%+15%）
＝1﹣90%
＝10%，
图（2）中“①”部分的圆心角度数为：
360×10%＝36°，
故答案为：40人，12，36；
（2）该校生物实验操作得10分的学生有：
1200×17.5%＝210（人），
该校生物实验操作得10分的学生有210人．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，做题的关键是掌握条形统计图和扇形统计图表示的意义．
21．（8分）如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB'C'；
（2）连结CB'，CC'，求△CB'C′的周长．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）利用勾股定理求出B'C和B'C'的长即可．
【解答】解：（1）如图，△AB'C'即为所求；
（2）由勾股定理得，CB'＝，B'C'＝，
∴△CB'C′的周长为++4．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
22．（10分）某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元．
（1）求二月份的销售额；
（2）求三、四月份销售额的平均增长率．
【分析】（1）利用二月份的销售额＝一月份的销售额×（1﹣20%），即可求出结论；
（2）设三、四月份销售额的平均增长率为x，利用四月份的销售额＝二月份的销售额×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）125×（1﹣20%）＝125×80%＝100（万元）．
答：二月份的销售额为100万元．
（2）设三、四月份销售额的平均增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝144，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：三、四月份销售额的平均增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（10分）已知直线y＝kx+b（k≠0）过点（1，2）．
（1）b＝ 2﹣k ；（用含k的代数式表示）
（2）将此直线向下平移2个单位长度，设平移后的直线交x轴于点A，交y轴于点B，x轴上另有点C（1+k，0），使得△ABC的面积为2，求k的值．
【分析】（1）把点（1，2）代入y＝kx+b（k≠0），得出k+b＝2，即b＝2﹣k；
（2）把b＝2﹣k代入y＝kx+b，得y＝kx+2﹣k，根据上加下减的平移规律得出向下平移2个单位所得直线的解析式为y＝kx﹣k，求出A（1，0），B（0，﹣k），根据△ABC的面积为2列出方程k2＝2，解方程即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b（k≠0）过点（1，2），
∴k+b＝2，
∴b＝2﹣k．
故答案为：2﹣k；
（2）由（1）可得y＝kx+2﹣k，
向下平移2个单位所得直线的解析式为y＝kx﹣k，
令x＝0，得y＝﹣k，令y＝0，得x＝1，
∴A（1，0），B（0，﹣k），
∵C（1+k，0），
∴AC＝|1+k﹣1|＝|k|，
∴S△ABC＝AC•|yB|＝|k|•|﹣k|＝k2，
∴k2＝2，
解得k＝±2．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数的性质．难度适中．
24．（12分）定义，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1≤x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若方程为x2﹣3x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+5m＝0的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
【分析】（1）解方程x2﹣3x＝0后，根据定义即可求M点坐标；
（2）求出方程的解为x＝1或x＝5m，再分情况讨论：当5m≥1时，此时M（1，5m）；当0≤5m≤1时，此时M（5m，1），当5m＜0时，M（5m，1）；再由题意分别求出m的值即可；
（3）由直线经过定点（﹣2，6），则方程x2+bx+c＝0的衍生点M为（﹣2，6），即可求b＝﹣4，c＝﹣12．
【解答】解：（1）x2﹣3x＝0的解为x＝0或x＝3，
∴x1＝0，x2＝3，
∴M（0，3），
∴该方程的衍生点M的坐标（0，3）；
（2）x2﹣（5m+1）x+5m＝0的解为x＝1或x＝5m，
当5m≥1时，m≥，
此时M（1，5m），
由题意可得1＝5m，
解得m＝；
当0≤5m≤1时，0≤m≤，
此时M（5m，1），
∴5m＝1，
∴m＝；
当5m＜0时，M（5m，1），
此时1＝﹣5m，
解得m＝﹣；
综上所述：m的值为或﹣；
（3）存在b，c满足条件，理由如下：
∵y＝kx+2（k+3）＝kx+2k+6＝k（x+2）+6，
∴直线经过定点（﹣2，6），
∴方程x2+bx+c＝0的衍生点M为（﹣2，6），
∴b＝﹣4，c＝﹣12．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，根据题意分情况讨论是解题的关键．
25．（12分）如图（1），正方形ABCD中，P为边BC上的一个动点，作等腰直角△APE，∠APE＝90°，连接CE．
（1）在点P的运动过程中，点E的运动是有规律的，试说明点E运动的方向路线，并证明你的结论；
（2）若AE交CD于点F，连接PF，小红在研究这个图形时，经过思考，发现这道题目里面包含有一个什么角模型，请你在她的基础上，证明∠FPE＝∠EPC；
（3）如图（2），连接PD，H为PD的中点，连接EH，若AB的长是方程x2﹣12x+36＝0的一个实数根，求线段EH的最小值．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABP≌△PGE，可得EG＝BP，AB＝PG，可证BP＝CG＝EG，可得∠ECG＝45°，可得EC平分∠DCG，即可求解；
（2）由“SAS”可证△APH≌△APF，可得∠APH＝∠APF，由余角的性质可得结论；
（3）建立平面直角坐标系，求出点E，点H坐标，即可求解．
【解答】（1）解：点E在∠DCQ的平分线上沿CE方向运动，理由如下：
如图（1），作EG⊥BC交BC的延长线于G，
∵∠APE＝90°，∠B＝90°，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠EPG，
∴∠BAP＝∠GPE，
在△ABP和△PGE中，
，
∴△ABP≌△PGE（AAS），
∴EG＝BP，AB＝PG，
∴BC＝PG＝AB，
∴BP＝CG＝EG，
∴∠ECG＝45°，
∴EC平分∠DCG，
∴点E在∠DCG的平分线上运动；
（2）题目包含半角模型，
证明：如图（1﹣1），延长CB至H，使BH＝DF，连接AH，
∵PA＝PE，∠APE＝90°，
∴∠PAE＝45°，
∴∠BAP+∠DAF＝45°，
在△ABH和△ADF中，
，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠HAP＝∠FAP＝45°，
在△APH和△APF中，
，
∴△APH≌△APF（SAS），
∴∠APH＝∠APF，
∵∠APE＝90°，
∴∠APB+∠CPE＝90°＝∠APF+∠EPF，
∴∠FPE＝∠EPC；
（3）∵AB的长是方程x2﹣12x+36＝0的一个实数根，
∴AB＝6，
如图（2），以点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
∴点A（0，6），点D（6，6），
设点P（a，0），
∴BP＝a，
∵△ABP≌△PGE，
∴BP＝EG＝CG＝a，
∴点E（6+a，a），
∵H为PD的中点，
∴点H（，3），
∴HE＝＝，
∴当a＝时，HE的最小值为．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，建立平面直角坐标系求出点E，点H坐标是解题的关键．
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