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数学九年级下册第27章 圆综合与测试复习课件ppt
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这是一份数学九年级下册第27章 圆综合与测试复习课件ppt，共50页。PPT课件主要包含了与圆有关的概念，点P在圆内，d＜r，点P在圆上，点P在圆外，d＞r，圆的基本性质，圆的对称性，有关定理，两条弧等内容，欢迎下载使用。
1. 圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2. 弦:连接圆上任意两点的线段.
3. 直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.
4. 劣弧:小于半圆周的圆弧.
5. 优弧:大于半圆周的圆弧.
6. 等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
7. 圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.
8. 圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交.
[注意] (1) 确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小；(2) 不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
9. 圆内接正多边形、外接圆：把圆 n (n＞2) 等分，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正 n边形，这个圆是这个正 n 边形的外接圆.
10. 三角形的外接圆
外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
[注意] (1) 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点；(2) 一个三角形的外接圆是唯一的.
11. 三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
[注意] (1) 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；(2) 一个三角形的内切圆是唯一的.
12. 正多边形的相关概念
(1) 中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称 其为正多边形的中心.
(2) 半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3) 边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形 的边心距.
(4) 中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角 都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 比较得到.设☉O 的半径是 r，点 P 到圆心的距离为 d ，则有
[注意]点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的大小关系；反过来，也可以通过这种大小关系判断点与圆的位置关系．
2. 直线与圆的位置关系
设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离
圆是轴对称图形，它的任意一条_____所在的直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心即为对称中心.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质
(1) 在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等；
(2) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
1. 垂径定理及其推论(1) 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的 .
[注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
2. 圆周角定理及其推论
(1) 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对弧相等.
(2) 推论1：90° 的圆周角所对的弦是直径.
[注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
(3) 推论2：圆内接四边形的对角互补.
3. 与切线相关的定理
(1) 判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2) 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3) 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角
半径为 r 的圆中，n° 圆心角所对的弧长 l =_____.
半径为 r，圆心角为 n° 的扇形面积 S = ___________.
弓形的面积 = 扇形的面积±三角形的面积
(3) 圆锥的侧面积为 ；
(4) 圆锥的全面积为 .
(1) 圆锥的侧面展开图是一个 ；(2) 如果圆锥的母线长为 l，底面圆半径为 r，那么这个扇形的半径为 ，扇形的弧长为 ；
5. 圆内接正多边形的计算
(1) 正 n 边形的中心角为
(2) 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距 r 之间的关系为
(3) 边长为 a，边心距 r 的正 n 边形的面积为
例1 在图中，BC 是☉O 的直径，AD⊥BC，若∠D = 36°，则∠BAD 的度数是（ ）A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
1.如图 ，四边形 ABCD 为 ☉O 的内接正方形，点 P 为劣弧 BC 上的任意一点 (不与 B，C 重合)，则∠BPC 的度数是 .
2.如图 b，线段 AB 是直径，点 D 是☉O 上一点， ∠CDB = 20°，过点 C 作☉O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则∠E 等于 .
考点二 垂径定理
例2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
解析：设圆心为 O，连接 AO，作出过点 O 的弓形高 CD，垂足为 D，可知AO = 5 mm，OD = 3 mm，利用勾股定理进行计算，AD = 4 mm，所以 AB = 8 mm.
3.如图，点 C 是扇形 OAB 上的 的任意一点， OA = 2，连接 AC，BC，过点 O 作 OE ⊥AC，OF ⊥BC，垂足分别为 E，F，连接 EF，则 EF 的长度等于 .
解析：作 D 点关于 AB 的对称点 D′，连接 CD′，与 AB 交于点 P，此时 PC + PD 的最小值即为 CD′ 的长度. 先求出∠COD′ 的度数，再求 CD′.
解析：灯塔 A 的周围 7 海里都是暗礁，即表示以 A 为圆心，7 海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心 A 之间的距离 d 的大小关系.
解：如图，作 AD 垂直于 BC 于D，根据题意，得 BC = 8. 设 AD 为 x.∵∠ABC = 30°，∴ AB = 2x. BD = x.∵∠ACD = 90° - 30° = 60°，∴ AD = CD×tan60°，CD = .∴ BC = BD - CD = = 8.解得 x =
即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.
5. ☉O 的半径为 R，圆心到点 A 的距离为 d，且 R、d 分别是方程 x2－6x＋8＝0 的两根，则点 A 与☉O 的位置关系是（ ）A．点 A 在☉O 内部 B．点 A 在☉O 上C．点 A 在☉O 外部 D．点 A 不在☉O 上
解析：此题需先计算出一元二次方程 x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据 R 与 d 的之间的关系判断出点 A 与 ☉O 的关系.
(1)证明：过点 O 作 ON⊥CD 于 N.连接 OM ∵ BC 与☉O 相切于点M，∴ ∠OMC = 90°，∵ 四边形 ABCD 是正方形，点 O 在 AC 上.∴ AC 是∠BCD 的角平分线，∴ ON = OM.∴ CD 与 ☉O 相切.
例4 如图， O 为正方形对角线上一点，以点 O 为圆心，OA 长为半径的 ☉O 与 BC 相切于点 M. (1) 求证：CD 与 ☉O 相切；
(2) 解：∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，AC = . 设 ☉O 的半径为 r ，则 OC = .又易知 △OMC 是等腰直角三角形， ∴OC = 因此有 ，解得 .
(2) 若正方形 ABCD 的边长为 1，求 ☉O 的半径.
（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直；（2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
6 (多解题) 如图，直线 AB，CD 相交于点 O， ∠AOD = 30°，半径为 1 cm 的 ☉P 的圆心在射线 OA 上，且与点 O 的距离为 6 cm，如果 ☉P 以 1 cm/s 的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么 秒钟后 ☉P 与直线 CD 相切.
解析： 根本题应分为两种情况：(1)☉P 在直线 CD 下面与直线 CD 相切；(2)☉P 在直线 CD 上面与直线 CD 相切.
解：(1) 连接 OA、OB、OC， ∵⊙O 分别切 PA、PB、DE 于点 A、B、C，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD＝CD，BE＝CE，∴OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC.∴∠DOE＝ ∠AOB.∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，∴∠DOE＝55°.
例5 已知：如图，PA，PB是 ⊙O 的切线，A、B 为切点，过 上的一点 C 作 ⊙O 的切线，交 PA 于D，交PB于E.(1) 若∠P＝70°，求 ∠DOE 的度数；
(2)∵⊙O 分别切 PA、PB、DE 于 A、B、C， ∴ AD＝CD，BE＝CE. ∴△PDE 的周长＝PD＋PE＋DE ＝ PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8 (cm)
(2) 若 PA＝4 cm，求 △PDE 的周长．
例6 如图，四边形 OABC 为菱形，点 B、C 在以点 O 为圆心的圆上，OA = 1，∠1 = ∠2，求扇形 OEF 的面积.
在菱形 OABC 中，OC = OA = BC = 1.
∴∠AOC = 120°.
又∠1 =∠2，∴∠FOE =∠AOC = 120°.
又∵ OC = OB，
∴△BOC 为等边三角形.
∴∠OCB = 60°.
7. 一条弧所对的圆心角为 135° ，弧长等于半径为 5 cm的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 cm.
8. 如图，已知 C，D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径 OA = 2，∠COD = 120°，则图中阴影部分的面积等于_______．
例7 如图，在正方形 ABCD 内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知 AE = 6，EF = 8，FC = 10，求图中阴影部分的面积.
解：将线段 FC 平移到直线 AE 上，此时点 F 与点 E 重合， 点 C 到达点 C' 的位置. 连接 AC，如图所示.
根据平移的方法可知，四边形 EFCC' 是矩形.
∴ AC' = AE + EC' = AE + FC = 16，CC' = EF = 8.
在 Rt△AC'C 中，得
∴正方形 ABCD 外接圆的半径为
∴正方形 ABCD 的边长为
当图中出现圆的直径时，一般方法是作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于 90° ”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.
9. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 5 的⊙O，四边形 EFGH 是正方形．(1)求正方形 EFGH 的面积；
解：(1)∵ 正六边形的边长与其半径相等， ∴ EF = OF = 5. ∵ 四边形 EFGH 是正方形， ∴ FG = EF = 5， ∴ 正方形 EFGH 的面积是 25.
(2) ∵ 正六边形的边长与其半径相等，∴∠OFE = 60°.∵ 正方形的内角是 90°，∴ ∠OFG = ∠OFE +∠EFG = 60°+ 90° = 150°.由 (1) 得 OF = FG，∴∠OGF = （ 180° - ∠OFG ） = （ 180° - 150° ）= 15°.
(2) 连接 OF、OG，求∠OGF 的度数．
例8 如何解决“破镜重圆”的问题：
作图方法：首先，在碎片 a 的圆弧上找 A、B、C 三点，连接 AB、BC；然后分别作 AB 和 BC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点 O. 即为原来圆镜的圆心，原来的镜子是以 O 为圆心，OA 为半径的圆镜.
例9 如何作圆内接正五边形怎么作？
(1) 用量角器作 72° 的中心角，得圆的五等分点；(2) 依次连接各等分点，得圆的内接正五边形.
【解析】 连接BD，则在Rt△BCD中，BE ＝ DE，利用角的互余证明 ∠C ＝ ∠EDC.
例10 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于 E.(1) 求证：BC = 2DE.
解：(1) 证明：连接 BD，
∵ AB 为直径，∠ABC = 90°，∴ BE 切 ☉O 于点 B.
又∵ DE 切 ☉O 于点 D，∴ DE = BE，∴∠EBD =∠EDB.
∵∠ADB = 90°，∴∠EBD +∠C = 90°，∠BDE +∠CDE = 90°.∴∠C = ∠CDE，DE = CE.∴ BC = BE + CE = 2DE.
(2) ∵ DE = 2，∴ BC = 2DE = 4.
在 Rt△ABC 中，
又∵△ABD∽△ACB，
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，连接 BD.
解：(1) ∵AB 是直径，∴∠ADB=90°.
∵AD = 3，BD = 4，∴AB = 5.
∵∠CDB =∠ABC，∠A = ∠A，∴△ADB∽△ABC.
(1) 若 AD =3 ，BD = 4，求边 BC 的长.
又∵∠OBD +∠DBC = 90°，∠C +∠DBC = 90°，
∴∠C = ∠OBD，∴∠BDO = ∠CDE.
∵ AB 是直径，∴∠ADB = 90°，
∴∠BDC = 90°，即∠BDE +∠CDE= 90°.
∴∠BDE +∠BDO = 90°，即∠ODE = 90°.∴ ED 与☉O 相切.
(2) 证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中，
∵ E 是 BC 的中点，∴CE = DE，∴∠C = ∠CDE.
又OD = OB，∴∠ODB = ∠OBD.
(2) 取 BC 的中点 E，连接 ED，试证明 ED 与 ☉O 相切.
圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴
1. 圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2. 弦:连接圆上任意两点的线段.
3. 直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.
4. 劣弧:小于半圆周的圆弧.
5. 优弧:大于半圆周的圆弧.
6. 等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
7. 圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.
8. 圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交.
[注意] (1) 确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小；(2) 不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
9. 圆内接正多边形、外接圆：把圆 n (n＞2) 等分，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正 n边形，这个圆是这个正 n 边形的外接圆.
10. 三角形的外接圆
外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
[注意] (1) 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点；(2) 一个三角形的外接圆是唯一的.
11. 三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
[注意] (1) 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；(2) 一个三角形的内切圆是唯一的.
12. 正多边形的相关概念
(1) 中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称 其为正多边形的中心.
(2) 半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3) 边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形 的边心距.
(4) 中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角 都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 比较得到.设☉O 的半径是 r，点 P 到圆心的距离为 d ，则有
[注意]点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的大小关系；反过来，也可以通过这种大小关系判断点与圆的位置关系．
2. 直线与圆的位置关系
设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离
圆是轴对称图形，它的任意一条_____所在的直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心即为对称中心.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质
(1) 在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等；
(2) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
1. 垂径定理及其推论(1) 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的 .
[注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
2. 圆周角定理及其推论
(1) 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对弧相等.
(2) 推论1：90° 的圆周角所对的弦是直径.
[注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
(3) 推论2：圆内接四边形的对角互补.
3. 与切线相关的定理
(1) 判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2) 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3) 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角
半径为 r 的圆中，n° 圆心角所对的弧长 l =_____.
半径为 r，圆心角为 n° 的扇形面积 S = ___________.
弓形的面积 = 扇形的面积±三角形的面积
(3) 圆锥的侧面积为 ；
(4) 圆锥的全面积为 .
(1) 圆锥的侧面展开图是一个 ；(2) 如果圆锥的母线长为 l，底面圆半径为 r，那么这个扇形的半径为 ，扇形的弧长为 ；
5. 圆内接正多边形的计算
(1) 正 n 边形的中心角为
(2) 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距 r 之间的关系为
(3) 边长为 a，边心距 r 的正 n 边形的面积为
例1 在图中，BC 是☉O 的直径，AD⊥BC，若∠D = 36°，则∠BAD 的度数是（ ）A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
1.如图 ，四边形 ABCD 为 ☉O 的内接正方形，点 P 为劣弧 BC 上的任意一点 (不与 B，C 重合)，则∠BPC 的度数是 .
2.如图 b，线段 AB 是直径，点 D 是☉O 上一点， ∠CDB = 20°，过点 C 作☉O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则∠E 等于 .
考点二 垂径定理
例2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
解析：设圆心为 O，连接 AO，作出过点 O 的弓形高 CD，垂足为 D，可知AO = 5 mm，OD = 3 mm，利用勾股定理进行计算，AD = 4 mm，所以 AB = 8 mm.
3.如图，点 C 是扇形 OAB 上的 的任意一点， OA = 2，连接 AC，BC，过点 O 作 OE ⊥AC，OF ⊥BC，垂足分别为 E，F，连接 EF，则 EF 的长度等于 .
解析：作 D 点关于 AB 的对称点 D′，连接 CD′，与 AB 交于点 P，此时 PC + PD 的最小值即为 CD′ 的长度. 先求出∠COD′ 的度数，再求 CD′.
解析：灯塔 A 的周围 7 海里都是暗礁，即表示以 A 为圆心，7 海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心 A 之间的距离 d 的大小关系.
解：如图，作 AD 垂直于 BC 于D，根据题意，得 BC = 8. 设 AD 为 x.∵∠ABC = 30°，∴ AB = 2x. BD = x.∵∠ACD = 90° - 30° = 60°，∴ AD = CD×tan60°，CD = .∴ BC = BD - CD = = 8.解得 x =
即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.
5. ☉O 的半径为 R，圆心到点 A 的距离为 d，且 R、d 分别是方程 x2－6x＋8＝0 的两根，则点 A 与☉O 的位置关系是（ ）A．点 A 在☉O 内部 B．点 A 在☉O 上C．点 A 在☉O 外部 D．点 A 不在☉O 上
解析：此题需先计算出一元二次方程 x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据 R 与 d 的之间的关系判断出点 A 与 ☉O 的关系.
(1)证明：过点 O 作 ON⊥CD 于 N.连接 OM ∵ BC 与☉O 相切于点M，∴ ∠OMC = 90°，∵ 四边形 ABCD 是正方形，点 O 在 AC 上.∴ AC 是∠BCD 的角平分线，∴ ON = OM.∴ CD 与 ☉O 相切.
例4 如图， O 为正方形对角线上一点，以点 O 为圆心，OA 长为半径的 ☉O 与 BC 相切于点 M. (1) 求证：CD 与 ☉O 相切；
(2) 解：∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，AC = . 设 ☉O 的半径为 r ，则 OC = .又易知 △OMC 是等腰直角三角形， ∴OC = 因此有 ，解得 .
(2) 若正方形 ABCD 的边长为 1，求 ☉O 的半径.
（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直；（2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
6 (多解题) 如图，直线 AB，CD 相交于点 O， ∠AOD = 30°，半径为 1 cm 的 ☉P 的圆心在射线 OA 上，且与点 O 的距离为 6 cm，如果 ☉P 以 1 cm/s 的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么 秒钟后 ☉P 与直线 CD 相切.
解析： 根本题应分为两种情况：(1)☉P 在直线 CD 下面与直线 CD 相切；(2)☉P 在直线 CD 上面与直线 CD 相切.
解：(1) 连接 OA、OB、OC， ∵⊙O 分别切 PA、PB、DE 于点 A、B、C，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD＝CD，BE＝CE，∴OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC.∴∠DOE＝ ∠AOB.∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，∴∠DOE＝55°.
例5 已知：如图，PA，PB是 ⊙O 的切线，A、B 为切点，过 上的一点 C 作 ⊙O 的切线，交 PA 于D，交PB于E.(1) 若∠P＝70°，求 ∠DOE 的度数；
(2)∵⊙O 分别切 PA、PB、DE 于 A、B、C， ∴ AD＝CD，BE＝CE. ∴△PDE 的周长＝PD＋PE＋DE ＝ PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8 (cm)
(2) 若 PA＝4 cm，求 △PDE 的周长．
例6 如图，四边形 OABC 为菱形，点 B、C 在以点 O 为圆心的圆上，OA = 1，∠1 = ∠2，求扇形 OEF 的面积.
在菱形 OABC 中，OC = OA = BC = 1.
∴∠AOC = 120°.
又∠1 =∠2，∴∠FOE =∠AOC = 120°.
又∵ OC = OB，
∴△BOC 为等边三角形.
∴∠OCB = 60°.
7. 一条弧所对的圆心角为 135° ，弧长等于半径为 5 cm的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 cm.
8. 如图，已知 C，D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径 OA = 2，∠COD = 120°，则图中阴影部分的面积等于_______．
例7 如图，在正方形 ABCD 内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知 AE = 6，EF = 8，FC = 10，求图中阴影部分的面积.
解：将线段 FC 平移到直线 AE 上，此时点 F 与点 E 重合， 点 C 到达点 C' 的位置. 连接 AC，如图所示.
根据平移的方法可知，四边形 EFCC' 是矩形.
∴ AC' = AE + EC' = AE + FC = 16，CC' = EF = 8.
在 Rt△AC'C 中，得
∴正方形 ABCD 外接圆的半径为
∴正方形 ABCD 的边长为
当图中出现圆的直径时，一般方法是作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于 90° ”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.
9. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 5 的⊙O，四边形 EFGH 是正方形．(1)求正方形 EFGH 的面积；
解：(1)∵ 正六边形的边长与其半径相等， ∴ EF = OF = 5. ∵ 四边形 EFGH 是正方形， ∴ FG = EF = 5， ∴ 正方形 EFGH 的面积是 25.
(2) ∵ 正六边形的边长与其半径相等，∴∠OFE = 60°.∵ 正方形的内角是 90°，∴ ∠OFG = ∠OFE +∠EFG = 60°+ 90° = 150°.由 (1) 得 OF = FG，∴∠OGF = （ 180° - ∠OFG ） = （ 180° - 150° ）= 15°.
(2) 连接 OF、OG，求∠OGF 的度数．
例8 如何解决“破镜重圆”的问题：
作图方法：首先，在碎片 a 的圆弧上找 A、B、C 三点，连接 AB、BC；然后分别作 AB 和 BC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点 O. 即为原来圆镜的圆心，原来的镜子是以 O 为圆心，OA 为半径的圆镜.
例9 如何作圆内接正五边形怎么作？
(1) 用量角器作 72° 的中心角，得圆的五等分点；(2) 依次连接各等分点，得圆的内接正五边形.
【解析】 连接BD，则在Rt△BCD中，BE ＝ DE，利用角的互余证明 ∠C ＝ ∠EDC.
例10 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于 E.(1) 求证：BC = 2DE.
解：(1) 证明：连接 BD，
∵ AB 为直径，∠ABC = 90°，∴ BE 切 ☉O 于点 B.
又∵ DE 切 ☉O 于点 D，∴ DE = BE，∴∠EBD =∠EDB.
∵∠ADB = 90°，∴∠EBD +∠C = 90°，∠BDE +∠CDE = 90°.∴∠C = ∠CDE，DE = CE.∴ BC = BE + CE = 2DE.
(2) ∵ DE = 2，∴ BC = 2DE = 4.
在 Rt△ABC 中，
又∵△ABD∽△ACB，
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，连接 BD.
解：(1) ∵AB 是直径，∴∠ADB=90°.
∵AD = 3，BD = 4，∴AB = 5.
∵∠CDB =∠ABC，∠A = ∠A，∴△ADB∽△ABC.
(1) 若 AD =3 ，BD = 4，求边 BC 的长.
又∵∠OBD +∠DBC = 90°，∠C +∠DBC = 90°，
∴∠C = ∠OBD，∴∠BDO = ∠CDE.
∵ AB 是直径，∴∠ADB = 90°，
∴∠BDC = 90°，即∠BDE +∠CDE= 90°.
∴∠BDE +∠BDO = 90°，即∠ODE = 90°.∴ ED 与☉O 相切.
(2) 证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中，
∵ E 是 BC 的中点，∴CE = DE，∴∠C = ∠CDE.
又OD = OB，∴∠ODB = ∠OBD.
(2) 取 BC 的中点 E，连接 ED，试证明 ED 与 ☉O 相切.
圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴
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