(新高考)高考数学一轮 数学单元复习 过关检测卷第02章《函数概念与基本初等函数》(解析版)

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01卷 第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ《过关检测卷》
－2022年高考一轮数学单元复习
第I卷（选择题）

一、单选题
1．已知函数，若对一切，都成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
将，成立，转化为，对一切成立，由求解即可.
【详解】
解：因为函数，若对一切，都成立，
所以，对一切成立，
令，
所以，
故选：C
【点睛】
方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
2．对于定义在上的函数，若存在正常数、，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①；②；③；④.是“控制增长函数”的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
对于①，即对一切恒成立，不存在满足条件的正常数、，所以，函数不是“控制增长函数”；
对于②，对一切恒成立，当时，不等式恒成立，所以，函数为“控制增长函数”；
对于③，当且为任意正实数时，恒成立，所以，函数是“控制增长函数”；
对于④，恒成立，即，所以，函数是“控制增长函数”.
【详解】
对于①，可化为，
即对一切恒成立，
由函数的定义域为可知，不存在满足条件的正常数、，
所以，函数不是“控制增长函数”；
对于②，若函数为“控制增长函数”，
则可化为，
∴对一切恒成立，
又，若成立，则，显然，当时，不等式恒成立，所以，函数为“控制增长函数”；
对于③，∵，∴，
当且为任意正实数时，恒成立，
所以，函数是“控制增长函数”；
对于④，若函数是“控制增长函数”，则恒成立，
∵，若，即，
所以，函数是“控制增长函数”.
因此，是“控制增长函数”的序号是②③④.
故选：C
【点睛】
方法点睛：类似这种存在性问题的判断，常用的方法有：（1）特例说明存在性；（2）证明它不存在；（3）证明它存在.要根据已知条件灵活选择方法解答.
3．函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，解得答案．
【详解】
解：由函数为奇函数，得，
不等式即为，
又在单调递减，所以得，即，
故选：D.
4．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据具有奇偶性的定义域关于原点对称，求得的值，把不等式转化为，根据单调性和定义域，得出相应的不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，定义在上的偶函数，可得，解得，
即函数的定义域为，
又由函数当时，单调递减，
则不等式可化为，
可得不等式组，解得，即不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】
求解函数不等式的方法：
1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.
2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
5．已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求得的值域，根据题意可得的值域为[1,2]是在上值域的子集，分两种情况讨论，根据的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.
【详解】
因为，
所以，即的值域为[1,2]，
因为对于任意，总存在，使得成立，
所以的值域为[1,2]是在上值域的子集，
当时，在上为增函数，所以，所以，
所以，解得，
当时，在上为减函数，所以，所以
所以，解得，
综上实数a的取值范围是，
故选：C
【点睛】
解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.
6．已知函数的定义域为，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由计算出的取值范围，由此可计算出函数的定义域.
【详解】
对于函数，，可得，
因此，函数的定义域是.
故选：C.
7．已知，则的值为（　　）
A．15 B．7 C．31 D．17
【答案】C
【分析】
利用换元法求得，代入即可得解.
【详解】
令，则，所以即，
所以.
故选：C．
8．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过3000元的部分
3%
超过3000元至12000元的部分
10%
超过12000元至25000元的部分
20%
有一职工八月份收入12000元，该职工八月份应缴纳个税为（ ）元
A．1200 B．1040 C．490 D．400
【答案】C
【分析】
根据表格中的数据，分别计算12000中的每部分的纳税额，再求八月份应缴纳的个税.
【详解】
元，其中有3000元应纳税3%，元应纳税10%，所以一共纳税元.
故选：C
【点睛】
本题考查分段函数的应用，重点考查读懂题意，属于基础题型.
9．函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式的解集为（ ）

A．或

B．或

C．或
D．
【答案】A
【分析】
根据函数的图象得到函数是奇函数，然后将不等式转化为，利用数形结合法求解.
【详解】
由函数的图象知：函数是奇函数，
所以不等式等价于，
如图所示：

函数与的图象的交点是，
所以的解集为：或，
故选：A
【点睛】
本题主要考查不等式的解法以及函数奇偶性的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
10．已知函数在上满足：对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，得到在上单调递减，进而可求出结果.
【详解】
由题意，得到在上单调递减，
因此只需，解得.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由分段函数单调性求参数，属于基础题型.
11．设为定义在上的奇函数，且满足，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】
先利用奇偶性和周期性求出和，即得结果.
【详解】
解：是定义在上的奇函数，，满足，
，又，.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用奇偶性和周期性求函数值，属于基础题.
12．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数的定义域为R，得到不等式恒成立，分和两种情况讨论，结合二次函数图象的特征得到不等关系求得结果.
【详解】
由题意可知：当时，不等式恒成立.
当时，显然成立，故符合题意；
当时，要想当时，不等式恒成立，
只需满足且成立即可，解得：，
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：D
【点睛】
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有根据函数的定义域为R，求参数的取值范围，在解题的过程中，一定不要忘记的情况，属于简单题目.
13．已知函数，其中表示不超过x的最大整数.设，定义函数，则下列说法正确的有（ ）个.
①的定义域为；
②设，，则；
③；
④，则M中至少含有8个元素.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
先对分两段和化简，再对各项分析判断正误：
对①，由，分段解不等式，求得函数的定义域，判断正误；
对②，由题中的对应法则，求出集合，判断正误；
对③，计算得到其周期性，计算得到，判断正误；
对④，综合①②③的分析，判断正误.
【详解】
当时，；当时，，
则
对①，有，则或，得，
即定义域为，故①正确；
对②，当时，成立；
当时， 成立；
当时， 成立，
所以 故②项正确。
对③，，，
，

一般地
即有
故③正确。
对④，由①可知, 所以 则 所以 ，
由②知, 对 恒有 所以 则，
由③知 ，对 恒有 所以
综上所述, ，所以中至少含有8个元素，故④正确。
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的概念及性质的应用，考查了新定义函数的理解与应用，考查了学生分析理解能力，逻辑推理能力，难度较大.
14．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
在原等式中把与互换后用解方程组的方法求得．
【详解】
∵，①，
∴，②
①②联立方程组可解得（）．
故选：B．
【点睛】
本题考查求函数解析式，解题方法是方程组法．
15．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】B
【分析】
根据函数为幂函数以及函数在的单调性，可得，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.
【详解】
由题可知：函数是幂函数
则或
又对任意的且，满足
所以函数为的增函数，故
所以，又，
所以为单调递增的奇函数
由，则，所以
则
故选：B
【点睛】
本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如，属中档题.

二、多选题
16．若函数满足：对任意一个三角形，只要它的三边长都在函数的定义域内，就有函数值，，也是某个三角形的三边长，则称函数为“保三角形函数”，下面四个函数中保三角形函数有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
欲判断函数是不是“保三角形函数”，只需要任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨设，，判断，，是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可.
【详解】
解：任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，，
对于，可作为一个三角形的三边长，但，
所以不存在三角形以为三边长，故A不是“保三角形函数”；
对于，由于所以B是“保三角形函数”；
对于，，，所以C是“保三角形函数”；
对于，若,
由，
所以D不是“保三角形函数”.
故选：BC.
17．设y=f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x+1)=﹣f(x)，且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于函数y=f(x)的判断正确的是（ ）
A．y=f(x)是周期为2的函数
B．y=f(x)的图象关于直线x=1对称
C．y=f(x)在[0，1]上是增函数
D．
【答案】ABD
【分析】
利用周期性判断A选项的正确性，利用对称性判断B选项的正确性，利用偶函数的性质判断C选项的正确性，通过计算判断D选项的正确性.
【详解】
因为y=f(x)是定义在R上的偶函数，满足，

所以函数的周期T=2，所以A正确，
因为f(﹣x)=f(x)，所以f(﹣x)=f(x+2)，所以对称轴x1，即关于x=1对称，所以B正确；
由函数f(x)为偶函数关于y轴对称，又在[﹣1，0]上是增函数，所以在[0，1]上单调递减，故C不正确；
因为f(x+1)=﹣f(x)，令x可得f()=﹣f()可得f()=﹣f()，所以f()=0，所以D正确.
故选：ABD
18．已知是定义在上的奇函数，且满足.若，记，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABCD
【分析】
根据函数奇偶性，以及，判断函数以为周期，求出，，，利用周期性，逐项求解，即可得出结果.
【详解】
因为是定义在上的奇函数，且满足，，
所以，，则，，
所以，，
则是以为周期的函数；则，
所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ABCD.
【点睛】
思路点睛：
利用函数的基本性质求解函数值（或函数值之和时），一般需要根据题中所给条件，判断函数的奇偶性、对称性、周期性等，再由所得性质，即可求解.
19．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上单调递增，则在上单调递减
D．若时，，则时，
【答案】ABD
【分析】
根据奇函数定义判断A正确；根据奇函数对称性判断B正确；根据奇函数单调性判断C不正确；根据奇函数定义求解析式，即得D正确，
【详解】
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，所以A正确；
奇函数关于原点对称，所以由在上有最小值，得在上有最大值1，所以B正确；
奇函数在对称区间的单调性相同，所以由在上为增函数得在上为增函数；所以C不正确；
当时，，根据奇函数的性质，所以D正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题考查奇函数定义、对称性、单调性以及解析式，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.
20．已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）．
A．是偶函数 B．的周期
C． D．在单调递减
【答案】ABC
【分析】
由的图象关于直线对称，则，即，故是偶函数，可判断A的正误；由，令，可得，则，得到的周期，可判断B的正误；又在递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD是否正确.
【详解】
由的图象关于直线对称，则，
即，故是偶函数，A正确；
由，令，可得，则，
则的周期，B正确；
，故C正确；
又在递增，则递减，由周期，则在单调递增，
故D错误.
故答案为：ABC
【点睛】
本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题.
21．给出定义：若 （其中为整数），叫做实数最近的整数，记作，即.给出下列关于函数的四个命题，其中真命题为（ ）
A．函数的定义域是，值域是
B．函数的图像关于直线对称
C．函数是周期函数，最小正周期是1
D．函数在上单调递增
【答案】BC
【分析】
根据函数新定义，作出函数图象，然后判断各选项．
【详解】
由新定义时，不存在，定义域不可能是，A错；
由题意时，，
时，，，
时，，，
时，，，
时，，，
由此作出函数的图象，如图，

由图可知，函数图象的对称轴是，B正确；
是周期函数，周期是1，C正确，
由图象知函数图象关于对称，在上不是单调函数，D错．
故选：BC．
【点睛】
本题考查新定义函数，解题关键是理解新定义，把定义函数转化为分段函数，作出函数图象后可得其性质．
22．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式正确的是（ ）
A．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)
B．f(b)－f(－a)g(b)－g(－a)
D．f(a)－f(－b)b>0，
∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，g(a)>g(b)>0，
且f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，
f(b)－f(－a)＝f(b)＋f(a)＝g(b)＋g(a)>g(a)－g(b)＝g(a)－g(－b)，
∴A正确，B不正确．
又g(b)－g(－a)＝g(b)－g(a)0，
∴C正确，D不正确．
故选：.
【点睛】
本题考查函数单调性和奇偶性的应用，属综合基础题..
23．有下列几个命题，其中正确的是（ ）
A．函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数
B．函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数
C．函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)
D．已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3
【答案】AD
【分析】
根据简单函数的单调性，复合函数的单调性，以及由函数奇偶性求函数解析式，即可容易判断和选择.
【详解】
由y＝2x2＋x＋1＝2在上递增知，
函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A正确；
y＝在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数，
但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是减函数，
如－20时，f(x)max＝f（2）＝4，解得a＝；
当a