2023龙岩一中高二上学期第二次月考数学试题含答案

龙岩一中2022-2023学年第一学期高二第二次月考

数学试题

（考试时间：120分钟   满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．直线的倾斜角为

A．  B．  C．  D．

2．已知是等差数列的前项和，若，则

A．24  B．36  C．48  D．72

3．直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为

A．  B．  C．  D．

4．数列1，，， ，的前n项和为

A．  B．  C．  D．

5．直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是

A．       B．       C．            D．

6．数列

A．既有最大项，又有最小项  B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项  D．既无最大项，又无最小项

7．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标是

A．1  B．-7  C．1或-1  D．2或-7

8．已知数列满足，，且，若表示不超过x的最大整数（例如，）.则

A．2018  B．2019  C．2020  D．2021

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．若两平行线分别经过点A（5，0），B（0，12），则它们之间的距离d可能等于

A．14  B．5  C．12  D．13

10．等差数列中，，公差，为其前n项和，对任意正整数n，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线不可能是

A．       B．          C．                  D．

11．下列说法正确的是

A．过点且在、轴截距相等的直线方程为

B．过点且垂直于直线的直线方程为

C．圆的一般方程为

D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围

12．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2020年底全县的绿地占全县总面积的70%.从2021年起，市政府决定加大植树造林､开辟绿地的力度，预计每年能将前一年沙漠的18%变成绿地，同时，前一年绿地的2%又被侵蚀变成沙漠.则下列说法正确的是

A．2021年底，该县的绿地面积占全县总面积的74%

B．2023年底，该县的绿地面积将超过全县总面积的80%

C．在这种政策之下，将来的任意一年，全县绿地面积都不能超过90%

D．在这种政策之下，将来的某一年，绿地面积将达到100%全覆盖

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．数列中，则_____________．

14．设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则的值是_______．

15．在直角坐标系中，已知直线，当变化时，动直线始终没有经过点，定点的坐标，则的取值范围为          ．

16．已知动点在圆上，则的取值范围是____________，若点，点，则的最小值为____________．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）

已知等比数列    的首项，公比，数列．

(1)证明：数列    为等差数列；

(2)设数列前项和为，求使        的所有正整数  的值的和．

18. （12分）

已知圆的方程为：.

（1）试求的值，使圆的周长最小；

（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点的直线方程．

19．（12分）

记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)记                    ，试判断与2的大小并证明．

20. （12分）

已知圆，直线.

(1)求证：对 ，直线与圆总有两个不同的交点；

(2)若直线与圆交于两点，当时，求直线的倾斜角．

21．（12分）

已知数列满足，．

（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）记数列的前项中最大值为，最小值为，令，称数列是数列的“中程数数列”．

（i）求“中程数数列”的前项和；

（ii）若（且），求所有满足条件的实数对．

22．（12分）

平面直角坐标系中，圆M经过点，，．

(1)求圆M的标准方程；

(2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上．

（i）过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；

（ii）设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．

龙岩一中2022-2023学年第一学期高二第二次月考

数学试题参考答案

13．   14．4   15．   16．    

17.(1)证明：因为等比数列的首项，公比，

所以，...................2分

所以，............................3分

所以，，

所以是首项为，公差为的等差数列；.................5分

(2)

解：由（1）可得，所以，....................6分

令，解得，........................8分

又，所以、、、、5、6、7、8，.........................9分

∴1+2+3+4+5+6+7+8=36

∴所有正整数的值的和为36..............................10分

18.（1），

配方得：，................2分

当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小...................4分

（2）由（1）得，，圆的方程为：.

当直线与轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；..............6分

当直线与轴不垂直时，设，............7分

由直线与圆相切得：，解得，..............10分

所以切线方程为，即..................................11分

综上，直线方程为或......................12分

19.(1)∵，∴,∴,

又∵是公差为的等差数列，

∴,∴,...............3分

∴当时，，........................4分

∴,......................5分

整理得：,

即,..........................6分

∴

，

显然对于也成立，

∴的通项公式；...........................8分

(2)

....................10分

∴

∴...................12分

20.（1）证明：直线 的方程可化为，

令，解得．

∴直线恒过定点．..............3分

∵，

∴点在圆内，

∴直线与圆总有两个不同的交点. ...............6分

（2）由消去整理得

，

显然． ....................8分

设，

是一元二次方程的两个实根，

∴，....................9分

∵，....................10分

∴，

解得

∴，即直线的斜率为....................12分

∴直线的倾斜角为或....................12分

21.解：（1）证明：依题意，，即，

故，故数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列，

故，即；....................4分

（2）因为，即，

故时，即，时，，即，

故，故，，

所以.......................6分

①设数列的前n项和为，则，

，

两式作差得，，

即，

故；....................8分

②因为，，，

所以，即，

又因为，，，且，

可知且，即，由知，

时，，故，即，但，故符合题意；

时，，故，即，但，故无解；

时，，故，即，又，故符合题意；

综上，所有满足条件的实数对有．...................12分

22.(1)

解：设圆M的方程为，

则，解得，

所以圆M的标准方程为；....................4分

(2)

解：设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

（i）若，则直线斜率不存在，

则，，

则，

若，则直线得方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

则

，

当且仅当，即时，取等号，

综上所述，因为，

所以S的最大值为7；.................8分

（ii）设，

联立，消得，

则，

直线的方程为，

直线的方程为，

联立，解得，

则

，

所以，

所以点N在定直线上...................12分