(新高考)高考数学一轮复习第46讲《圆的方程》达标检测(解析版)

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第46讲 圆的方程（达标检测）
[A组]—应知应会
1．（春•上饶期末）以点A（3，﹣1），B（﹣2，2）所连线段为直径的圆的方程是（　　）
A．x2+y2﹣x﹣y﹣9＝0 B．x2+y2﹣x﹣y﹣8＝0
C．x2+y2+x+y﹣9＝0 D．x2+y2+x+y﹣8＝0
【分析】先求出A，B两点间中点坐标即为圆心坐标，然后根据两点间的距离公式求出AB间的距离即为圆的直径，从而可得到圆的半径，确定圆的方程．
【解答】解：由题意可知A，B的中点为圆心，故圆心为（，），
AB之间的距离等于直径：＝，
圆的半径为，
所求圆的方程为：（x﹣）2+（y﹣）2＝．
即x2+y2﹣x﹣y﹣8＝0．
故选：B．
2．（•北京）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】结合题意画出满足条件的图象，结合图象求出答案即可．
【解答】解：如图示：
，
半径为1的圆经过点（3，4），可得该圆的圆心轨迹为（3，4）为圆心，1为半径的圆，
故当圆心到原点的距离的最小时，
连结OB，A在OB上且AB＝1，此时距离最小，
由OB＝5，得OA＝4，
即圆心到原点的距离的最小值是4，
故选：A．
3．（春•贵阳期末）已知P是圆x2+y2＝4上的动点，点A的坐标为（0，5），则|PA|的最小值为（　　）
A．9 B．7 C．5 D．3
【分析】用圆心到A的距离减去半径解得．
【解答】解：圆O：x2+y2＝4，∴圆心O为（0，0），
半径为2；
∴|AO|＝5，
∴|PA|的最小值为5﹣2＝3．
故选：D．
4．（春•昆山市期中）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣4，0），B（﹣4，2），C（0，2），则矩形OABC的外接圆方程是（　　）
A．x2+y2﹣4x+2y＝0 B．x2+y2+4x﹣2y＝0
C．x2+y2﹣8x+4y＝0 D．x2+y2+8x﹣4y＝0
【分析】根据矩形OABC的顶点坐标求出对角线中点M，再求出半径r，即可写出圆的方程．
【解答】解：矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣4，0），B（﹣4，2），C（0，2），
所以OB的中点为M（﹣2，1），r＝|OB|＝＝；
所以矩形OABC的外接圆方程是（x+2）2+（y﹣1）2＝5，
化为一般式方程为x2+y2+4x﹣2y＝0．
故选：B．
5．（•全国Ⅱ卷模拟）已知圆C过点（4，6），（﹣2，﹣2），（5，5），点M，N在圆C上，则△CMN面积的最大值为（　　）
A．100 B．25 C．50 D．
【分析】设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由题意利用待定系数法求出圆的方程．
【解答】解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
将（4，6），（﹣2，﹣2），（5，5）代入可得，，
解得D＝﹣2，E＝﹣4，F＝﹣20，
故圆C的一般方程为x2+y2﹣2x﹣4y﹣20＝0，
即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，
故△CMN的面积，
故选：D．
6．（春•兴庆区校级期末）已知圆C：x2+y2+2x﹣2my﹣4﹣4m＝0（m∈R），则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（　　）
A． B．6 C． D．
【分析】根据题意，将圆的方程变形为普通方程，分析其圆心半径，可得当圆C的面积最小时，必有m＝﹣2，此时r2＝1，即可得此时面积最小时圆的方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2+2x﹣2my﹣4﹣4m＝0（m∈R），变形可得（x+1）2+（y﹣m）2＝m2+4m+5，
其圆心为（﹣1，m），半径为r，则r2＝m2+4m+5＝（m+2）2+1，
当圆C的面积最小时，必有m＝﹣2，此时r2＝1，
圆C的方程为（x+1）2+（y+2）2＝1，
圆心C到原点为距离d＝＝，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r＝+1，
故选：D．
7．（2019秋•邵阳期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B，C的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），中线AD的长度是4，则顶点A的坐标满足的方程是（　　）
A．x2+y2＝16（y≠0） B．x2+y2＝16（x≠0）
C．x2+y2＝4（y≠0） D．x2+y2＝4（x≠0）
【分析】由题意求出中点的坐标，根据两点间的距离求出A的轨迹构成，注意三角形中A，B，C不能共线．
【解答】解：设A的坐标：（x，y），由题意可得B，C的中点坐标为：（0，0），y≠0
再由AD长度是4可得：x2+y2＝16，（y≠0）；
故选：A．
8．（多选）（春•金湖县校级期中）已知点A（2，0），圆C：（x﹣a﹣1）2+（y﹣a）2＝1上存在点P，满足PA2+PO2＝10，则a的取值可能是（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．0
【分析】设P（x，y），由PA2+PO2＝10得到P的轨迹为（x﹣1）2+y2＝4，圆C：（x﹣a﹣1）2+（y﹣a）2＝1上存在点P，满足PA2+PO2＝10，即两圆（x﹣1）2+y2＝4与（x﹣a﹣1）2+（y﹣a）2＝1有交点，再由圆心距与两圆半径间的关系列不等式组求解．
【解答】解：设P（x，y），A（2，0），
由PA2+PO2＝10，得（x﹣2）2+y2+x2+y2＝10，
整理得：（x﹣1）2+y2＝4．
圆C：（x﹣a﹣1）2+（y﹣a）2＝1上存在点P，满足PA2+PO2＝10，
即两圆（x﹣1）2+y2＝4与（x﹣a﹣1）2+（y﹣a）2＝1有交点，
则1＝2﹣1≤≤2+1＝3，
解得|a|．
∴a的取值可能是1，﹣1，．
故选：ABC．
9．（多选）（2019秋•丹东期末）圆x2+y2﹣4x﹣1＝0（　　）
A．关于点（2，0）对称 B．关于直线y＝0对称
C．关于直线x+3y﹣2＝0对称 D．关于直线x﹣y+2＝0对称
【分析】把圆的一般方程华为标准方程，可得结论．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0，即圆（x﹣2）2+y2＝5，它的圆心为（2，0），半径等于，
故圆关于点（2，0）对称，且关于经过（2，0）的直线对称，
故选：ABC．
10．（春•上饶期末）若点M（m，m﹣1）在圆C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0内，则实数m的取值范围为　 　 ．
【分析】由题意，把M的坐标代入圆的方程的左边，可得m2+（m﹣1）2﹣2m+4（m﹣1）+1＜0，求解得答案．
【解答】解：∵点M（m，m﹣1）在圆C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0内，
∴m2+（m﹣1）2﹣2m+4（m﹣1）+1＜0，
即m2＜1，则﹣1＜m＜1．
∴m的取值范围是（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
11．（春•镇江期末）圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4关于直线x＝1对称的圆的标准方程为　 　．
【分析】两圆关于直线对称 等价于圆心关于直线对称，半径不变．
【解答】解：∵圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圆心（﹣1，2）关于直线x＝1对称的点为（3，2）；
∴对称圆的圆心为（3，2），半径为2，
故对称圆的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4，
故答案为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4．
12．（春•天河区期末）已知圆C：x2+y2+6x﹣8y+16＝0，则圆心C的坐标为　 　；设A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点Q，使得AQ⊥QB，则m的取值范围是　 ．
【分析】把圆的方程化为标准形式，可得圆心坐标；再根据以AB为直径的圆和圆C有交点，求得m的范围．
【解答】解：圆C：x2+y2+6x﹣8y+16＝0，即：（x+3）2+（y﹣4）2＝9，则圆心C的坐标为（﹣3，4）；
设A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点Q，使得AQ⊥QB，
则以AB为直径的圆和圆C有交点，
故故两圆的圆心距大于或等于半径之差小于或等于半径之和．
而以AB为直径的圆的圆心为原点，半径为m，
∴|3﹣m|≤≤m+3，即|3﹣m|≤5≤m+3，
求得2≤m≤8，
故答案为：（﹣3，4）；[2，8]．
13．（•河东区一模）已知圆O过点A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），点D（3，4）到圆O上的点最小距离为　　 ．
【分析】由题意利用用待定系数法求出圆的方程，再根据点和圆的位置关系，得出结论．
【解答】解：设圆O的方程为x2+y2+dx+ey+f＝0，∵圆O过点A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），
∴，求得，故圆的方程为 x2+y2+2x﹣4y＝0，
即 （x+1）2+（y﹣2）2＝5，表示圆心为（﹣1，2）、半径为的圆．
∵|DO|＝＝2，
故点D（3，4）到圆O上的点最小距离为2﹣＝，
故答案为：．
14．（•锡山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，A和B是圆C：（x﹣1）2+y2＝1上两点，且AB＝，点P的坐标为（2，1），则|2﹣|的取值范围为　 　．
【分析】设，则有，所以A为BE的中点，AE＝BE＝，过C作CF⊥AB，垂足为F，可以计算出CE长度为定值，得点E的轨迹方程为：（x﹣1）2+y2＝5，再求取值范围，即可．
【解答】解：设，则有，
所以A为BE的中点，AE＝AB＝，
过C作CF⊥AB，垂足为F，
因为AB＝，所以AF＝BF＝，CF＝＝
EF＝AE+AF＝+＝，
CE＝＝＝，
所以点E的轨迹方程为：（x﹣1）2+y2＝5，
所以CP＝，
所以|2﹣|的取值范围为：[﹣，+]，
故答案为：[﹣，+]．

15．（春•淮安期中）已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，0），B（0，2），C（2，﹣2），求：
（1）AB边上的高所在直线的方程；
（2）△ABC的外接圆的方程．
【分析】（1）求出直线AB的斜率和AB边上的高所在直线斜率，由点斜式写出AB边上的高所在直线方程；
（2）设出△ABC外接圆的方程，代入三点坐标即可求得对应系数．
【解答】解：（1）直线AB的斜率为k＝＝1，
所以AB边上的高所在直线斜率为k′＝﹣1，
则AB边上的高所在直线的方程为y+2＝﹣（x﹣2），
即x+y＝0；
（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
由题意得，
解得；
所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣x+y﹣＝0．
16．（2019秋•台州期末）已知点A（0，﹣1），B（2，0），C（a，0）（a∈R）．
（1）求以A为圆心，AB为半径的圆的标准方程；
（2）若直线AC的斜率是直线AB斜率的2倍，求实数a的值．

【分析】（1）根据圆心坐标和半径的长度书写圆的标准方程；
（2）利用直线AC的斜率是直线BC的斜率的2倍，建立方程，求实数a的值．
【解答】解：（1）|AB|2＝5，则所求圆的标准方程为x2+（y+1）2＝5．
（2）由A，C两点坐标的斜率公式得，
由A，B两点坐标的斜率公式得，
由已知kAC＝2kAB，知 ＝2×．
解得a＝1．
17．（2019秋•长宁区期末）河北省赵县的赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥之一，赵州桥的跨度约为37.4m，圆拱高约为7.2m．如图建立直角坐标系，求该圆拱所在圆的标准方程（数值精确到0.1m）．

【分析】根据题意，设圆的圆心为O，圆的半径为R，以O为坐标原点，圆拱高所在直线为y轴建立坐标系；利用勾股定理求出圆的半径，即可求出圆拱所在圆的方程．
【解答】解：根据题意，设圆的圆心为O，圆的半径为R；
如图：以圆心O为原点，以圆拱高所在直线为y轴建立坐标系；
由题意，|AB|＝37.4m，|CD|＝7.2m，|AC|＝|AB|＝18.7m
在Rt△ACO中，R2＝18.72+（R﹣7.2）2，解得R＝27.9m
所求圆的方程为x2+y2＝27.92

18．（2019秋•黄浦区期末）已知M（1，﹣1）、N（2，2）、P（3，1），圆C经过M、N、P三点．
（1）求圆C的方程，并写出圆心坐标和半径的值；
（2）若过点Q（1，1）的直线l与圆C交于A、B两点，求弦AB的长度|AB|的取值范围．
【分析】（1）设圆C得一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0．M、N、P三点，坐标代入得，解得D，E，F，进而得出圆的方程．进而得出圆心坐标，半径．
（2）结合图形，可知0≤d≤|O1Q|＝＝＜．|AB|＝2．进而得出|AB|的取值范围．
【解答】解：（1）设圆C：x2+y2+Dx+Ey+F＝0．
∵圆C过M、N、P三点，
∴，
解得，
∴圆C：x2+y2﹣3x﹣y＝0，圆心O1（，），半径r＝．
（2）设圆心到直线l的距离为d，
点Q（1，1）到圆心的距离为|OQ|＝＝＜．
∴点Q在圆内，
∴|AB|＝2．
结合图形，可知0≤d≤|OQ|＝（l过圆心时，d＝0；l⊥OQ时，d＝）．
∴2|AB|．
19．（2019秋•安庆期末）已知圆C过点A（﹣1，0）和点B（﹣3，2），且圆心C在直线2x﹣y+6＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆上异于A，B两点的任意点，求△PAB面积的最大值．
【分析】（1）由题意设圆心的坐标，根据到圆上的距离相等求出圆心的坐标，进而求出半径，写出圆的方程；
（2）由（1）求出弦长AB，圆上大直线AB最大距离为圆心大圆的距离加半径，即可求出面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意设圆心C（a，2a+6），因为|AC|＝|BC|，
所以＝，解得：a＝﹣3，
所以圆心C坐标（﹣3，0），半径r＝|AC|＝2
所以圆的方程：（x+3）2+y2＝4；
（2）由题意知kAB＝＝﹣1，
所以直线AB的方程：y＝﹣（x+1），即：x+y+1＝0，
所以圆心C到直线AB的距离d＝＝，|AB|＝2＝2＝2
所以P到直线的最大距离h＝r+d＝2+，
所以△PAB面积的最大值S＝•|AB|•h＝（2+）＝2+2．
20．（2019秋•绍兴期末）在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（2，1），C（3，4），D（0，a）四点在同一个圆E上．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若点P（x，y）在圆E上，求x2+2x+y2的取值范围．
【分析】（Ⅰ）设过A、B、C的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0．将点A、B、C的坐标分别代入圆的方程，求得D、E、F的值，可得圆的方程，把D点坐标代入，即可求得a值；
（Ⅱ）点P（x，y）在圆E：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5上，由x2+2x+y2＝（x+1）2+y2﹣1，其几何意义为圆E上的点到M（﹣1，0）距离的平方减1，求出|EM|，则答案可求．
【解答】解：（Ⅰ）设过A、B、C的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0．
将点A、B、C的坐标分别代入圆的方程，
得，
解得：D＝﹣2，E＝﹣6，F＝5，
得圆的方程为x2+y2﹣2x﹣6y+5＝0．
将点D的坐标代入上述所得圆的方程，
得a2﹣6a+5＝0，解得a＝1或5；
（Ⅱ）点P（x，y）在圆E：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5上，
x2+2x+y2＝（x+1）2+y2﹣1，
其几何意义为圆E上的点到M（﹣1，0）距离的平方减1．
如图：|EM|＝，
∴x2+2x+y2的最小值为＝；
x2+2x+y2的最大值为．
∴x2+2x+y2的取值范围是[，]．


[B组]—强基必备
1．（春•洛阳期末）已知的△OMN三个顶点为O（0，0），M（6，0），N（8，4），过点（3，5）作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC，BD，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
【分析】设出三角形外接圆的方程，代入已知点的坐标求得待定系数，可得圆的方程，根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．
【解答】解：设△OMN的外接圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
由O（0，0），M（6，0），N（8，4），得
，解得．
∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝52，
点（3，5）在圆内部，
由题意得最长的弦|AC|＝2×5＝10，
点（3，5）到圆心（3，4）的距离为1．
根据勾股定理得最短的弦|BD|＝2＝4，且AC⊥BD，
四边形ABCD的面积S＝|AC|•|BD|＝×10×4＝20．
故选：B．
2．（•南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的半径为，圆心在直线l：y＝2x﹣1上，若圆C上存在一点P，使得直线l1：ax﹣y﹣2＝0与直线l2：x+ay﹣2＝0交于点P，则当实数a变化时，圆心C的横坐标x的取值范围是　 　．
【分析】先判断出点P所在运动轨迹，利用P点在圆C上，表示出圆心距d的范围即可求出圆心C的横坐标取值范围
【解答】解：因为直线l1：ax﹣y﹣2＝0与直线l2：x+ay﹣2＝0互相垂直，且分别过定点A（0，﹣2），B（2，0），
故点P在以AB为直径的圆上运动，直径AB＝＝2，即半径为，圆心坐标为（1，﹣1），
又因为点P在圆C上，故两圆有公共点，所以两圆的圆心距d满足0≤d≤2，
即0≤≤2，解得﹣1≤x≤，
故答案为[﹣1，]．
3．（2019春•南京期末）已知△ABC的三个顶点A（﹣1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆H．
（1）求圆H的方程；
（2）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程．
（3）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．
【分析】（1）求出圆心坐标与半径，即可求出圆H的方程；
（2）根据直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，设出直线方程，利用勾股定理，即可求直线l的方程；
（3）设P的坐标，可得M的坐标，代入圆的方程，可得以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6﹣m，4﹣n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，由此求得⊙C的半径r的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，A（﹣1，0），B（1，0），C（3，2），∴AB的垂直平分线是x＝0，
∵BC：y＝x﹣1，BC中点是（2，1），
∴BC的垂直平分线是y＝﹣x+3，
由，得到圆心是（0，3），∴r＝，
∴圆H的方程是x2+（y﹣3）2＝10；
（2）∵弦长为2，∴圆心到l的距离d＝3．
设l：y＝k（x﹣3）+2，则d＝＝3，∴k＝，∴l的方程y＝x﹣2；
当直线的斜率不存在时，x＝3，也满足题意．
综上，直线l的方程是x＝3或y＝x﹣2；
（3）直线BH的方程为3x+y﹣3＝0，设P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）．
因为点M是点P，N的中点，所以M（，），
又M，N都在半径为r的圆C上，所以，
即，
因为该关于x，y的方程组有解，
即以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6﹣m，4﹣n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，
所以（2r﹣r）2≤（3﹣6+m）2+（2﹣4+n）2≤（r+2r）2，
又3m+n﹣3＝0，
所以r2≤10m2﹣12m+10≤9r2对任意m∈[0，1]成立．
而f（m）＝10m2﹣12m+10在[0，1]上的值域为[，10]，
又线段BH与圆C无公共点，所以（m﹣3）2+（3﹣3m﹣2）2＞r2对任意m∈[0，1]成立，即r2＜．
故圆C的半径r的取值范围为[，）．