高中数学高考第27讲 解三角形应用举例（达标检测）（教师版）

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A．B．C．D．
【分析】利用余弦定理，不难求出的长，即隧道的长．
【解答】解：在中，
由已知得，，且，
故
，故．
故选：．
2．（2020•邯郸二模）如图，在中，．是边上的高，若，则的面积为
A．4B．6C．8D．12
【分析】直接利用三角形的面积公式以及余弦定理，勾股定理化简求解即可．
【解答】解：
．
故选：．
3．（2020春•梅州期末）如图，要测量底部不能到达的某铁塔的高度，在塔的同一侧选择、两观测点，且在、两点测得塔顶的仰角分别为、．在水平面上测得，、两地相距，则铁塔的高度是
A．B．C．D．
【分析】设出，则，均可用表达，进而在中，由余弦定理和，的值列方程求得，即的长．
【解答】解：设，则，，
在中，由余弦定理知，
求得米，
故铁塔的高度为600米．
故选：．
4．（2020春•河南期末）在中，，是的平分线，交于，，，则
A．2B．C．D．
【分析】先由二倍角公式求得，进而由平方关系得到，再在中，运用正弦定理即可求得的值．
【解答】解：是的平分线，，
，
由题意知，为锐角，
，
，
在中，由正弦定理可得，，
．
故选：．
5．（2020•长春二模）在中，，，，则边上的高为
A．B．2C．D．
【分析】先利用平方关系求得，再由及正弦定理可求得，最后由等面积法求得边长的高．
【解答】解：，
，
，
由正弦定理有，，即，解得，
，即，
，即边上的高为．
故选：．
6．（2020•长春四模）如图，为测量某公园内湖岸边，两处的距离，一无人机在空中点处测得，的俯角分别为，，此时无人机的高度为，则的距离为
A．
B．
C．
D．
【分析】利用正弦定理求出，再结合选项化简即可得出答案．
【解答】解：如图所示，
由题意作，可得，，，则，，
在中，，
在中，，，
由正弦定理，
解得；
又
，
又，且、，
所以，
所以．
故选：．
7．（2020•湖北模拟）平面四边形为凸四边形，且，，，，则的取值范围为
A．B．C．D．
【分析】做出图形，可知，当时，最小；延长与，相交于，此时最大（但取不到）；利用解三角形的知识求解即可．
【解答】解：做出图形：如图所示，点在边上移动，当时，最小为；将与延长后交于点，易知，．
在中，，，，故，．
，．
．．
在中，由余弦定理得，
即，解得（舍，
所以，故．
故的取值范围是．
故选：．
8．（2020•湖北模拟）平面四边形中，，，，，，则四边形的面积为
A．B．C．D．
【分析】由已知利用余弦定理可得：，，可求，在中，由余弦定理可得，解得的值，根据三角形的面积公式可求四边形的面积的值．
【解答】解：如图，，，，，
，
在中，由余弦定理，
可得：，
整理解得：，可得：，
可得：，
由于
在中，由余弦定理，
可得：，可得：，
解得：，或舍去，
则四边形的面积
．
故选：．
9．（多选）（2020•烟台模拟）在中，在线段上，且，，若，，则
A．B．的面积为8
C．的周长为D．为钝角三角形
【分析】由已知结合余弦定理余弦定理，同角平方关系及三角形的面积公式分别判断各选项即可．
【解答】解：由可得，故错误；
设，，
在中由余弦定理可得，，
整理可得，，
解可得，，即，，
所以，故正确；
由余弦定理可知，，
即，解可得，，故周长，故正确；
由余弦定理可得，，
故为钝角，正确，
故选：．
10．（多选）（2020春•福州期中）如图，设的内角、、所对的边分别为、、，若、、成等比数列，、、成等差数列，是外一点，，，下列说法中，正确的是
A．
B．是等边三角形
C．若、、、四点共圆，则
D．四边形面积无最大值
【分析】对于，因为、、成等差数列，所以，，故正确；
对于，因为、、成等比数列，利用及余弦定理计算可知，进而可知，故正确；
对于，若、、、四点共圆，则，根据余弦定理可得，代入计算可得，故正确；
对于，等边中，设，，在中，由余弦定理可得：，利用四边形面积表达式得到最值，故错误．
【解答】解：对于，因为、、成等差数列，
所以，则．解得，故正确；
对于，因为、、成等比数列，则，
由余弦定理可得，带入得，即，所以，故正确；
对于，若、、、四点共圆，则，故，
根据余弦定理可得，代入计算可得，解得，故正确；
对于，等边中，设，，
在中，由余弦定理可得：，由于，，
代入上式可得：，
所以，
所以四边形面积的最大值为，故错误．
故选：．
11．（2020春•宜宾期末）一渔船在处望见正北方向有一灯塔，在北偏东方向的处有一小岛，渔船向正东方向行驶2海里后到达处，这时灯塔和小岛分别在北偏西和北偏东的方向，则灯塔和小岛之间的距离为 海里．
【分析】根据条件求出题中所涉及到的角，再根据正弦定理分别求出，，即可得出结论．
【解答】解：由题意画出图形，如图所示；
在中，，，所以；
在中，，，所以，
由正弦定理得，所以；
在中，，，，
所以，
所以，
即、两岛之间的距离是海里．
故答案为：．
12．（2020春•绍兴期末）在中，，，，则 ， ．
【分析】由已知利用正弦定理即可解得的值，根据余弦定理可得，解得的值，由正弦定理可得的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求的值．
【解答】解：在中，，，，
由正弦定理，可得，
在中，由余弦定理，可得，
整理可得：，解得，负值舍去，
由正弦定理，可得，
．
故答案为：，．
13．（2020•厦门模拟）一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点，处各放一个目标球，表演者先将母球放在点处，通过击打母球，使其依次撞击点，处的目标球，最后停在点处，若，，，，则该正方形的边长为 ．
【分析】连接、，利用余弦定理求出，由正弦定理求出，从而求出，再求和边长的值．
【解答】解：连接、，如图所示，
中，由余弦定理得，，
解得；
由正弦定理得，，解得，
所以，
所以，
中，由余弦定理得，，
解得，
所以该正方形的边长为．
故答案为：．
14．（2020•宁波模拟）在中，，以为边在平面内向外作正方形，使，在的两侧．
（1）当时， ；
（2）的最大值为 ．
【分析】（1）当时，由正弦定理可得的正弦值为1，可得，可得为等腰直角三角形，在中由余弦定理可得的值；
（2）设，在中，由余弦定理可得的表达式，在中，设，由余弦定理可得的表达式，在中，由正弦定理可得，进而可得，进而可得当时最大，求出最大值．
【解答】解：（1）当时，在中，根据正弦定理可得，
所以，则，所以，，
由余弦定理得，
则；
（2）在中，设，
由余弦定理，
在中，设，，，所以，
所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
所以，
所以当，即时最大为8，即，
所以的最大值为，
故答案分别为：，
15．（2020春•石家庄期末）已知是底部不可到达的建筑物，是建筑物的最高点，为测量建筑物的高度，先把高度为1.5米的测角仪放置在位置，测得的仰角为，再把测角仪放置在位置，测得的仰角为，已知米，，，在同一水平线上，求建筑物的高度．
【分析】利用正弦定理求得，再求出，即可求得的值．
【解答】解：中，由正弦定理得，
（米；
在中，；
；
所以，
即建筑物的高度为米．
故答案为：．
16．（2020春•湖北期末）中，、、分别是角、、的对边，已知，，是边的中点且．
（1）求的值；
（2）求的面积．
【分析】（1）由正弦定理求出，再利用三角恒等变换求出的值；
（2）由（1）知，求出，利用求出的值，再求的面积．
【解答】解：（1）中，，，
所以，
即，解得；
由，得；
所以；
；
（2）由（1）知，所以，
所以；
又，
所以，
即，
解得，所以舍去）；
所以，
所以的面积为．
17．（2020春•苏州期末）在①，②，③这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．
在中，角，，的对边分别为，，，已知，，满足____．
（1）请写出你的选择，并求出角的值；
（2）在（1）的结论下，已知点在线段上，且，求长．
【分析】（1）依次代入条件①②③，可得①②不成立，故只能选③；
（2）由（1）结论再结合余弦定理可得，进而得到，结合两角和差公式得到，利用正弦定理得到．
【解答】解：（1）若选条件①，则有，不合题意；
若选条件②，由余弦定理可得，整理得，
又因为此时，不符合题意；
若选条件③，由余弦定理可得，即，
所以，
则，
因为，所以；
故（1）答案选：③；
（2）由（1）的，
因为，则，
，
在中，因为，
则．
18．（2020•泉州一模）在平面四边形中，．
（1）若，求；
（2）若，求．
【分析】（1）解直角三角形求得，，由题意可得为边长为2的等边三角形，在中，运用余弦定理计算可得所求值；
（2）设，则，，则，在直角三角形中．求得，在中，运用正弦定理，结合二倍角公式，计算可得所求值．
【解答】解：（1）如右图，，，
可得，
在直角三角形中，，，
可得为边长为2的等边三角形，
在中，，可得；
（2）如右图，设，则，，则，
在直角三角形中，，
在中，由正弦定理可得，
即，
化简可得，
即．
19．（2019秋•济宁期末）如图，某市三地，，有直道互通．现甲交警沿路线、乙交警沿路线同时从地出发，匀速前往地进行巡逻，并在地会合后再去执行其他任务．已知，，，甲的巡逻速度为，乙的巡逻速度为．
（Ⅰ）求乙到达地这一时刻的甲、乙两交警之间的距离；
（Ⅱ）已知交警的对讲机的有效通话距离不大于，从乙到达地这一时刻算起，求经过多长时间，甲、乙方可通过对讲机取得联系．
【分析】由题意设当乙到达地时甲处在点，利用余弦定理求得的值即可；
设乙到达地后，经过小时，甲、乙两交警之间的距离为，根据题意求出的解析式，利用求得的取值范围，从而求得结果．
【解答】解：由，，，知，．
设当乙到达地时，甲处在点，则；
所以在中，由余弦定理得：
，
解得；
即此时甲、乙两交警之间的距离为．
设乙到达地后，经过小时，甲、乙两交警之间的距离为，
在，
乙从地到达地，用时小时，甲从处到达地，用时小时，
所以当乙从地到达地，此时，甲从处行进到点处，且，
所以当；
令，即，；
解得或（舍去）；
又当时，甲、乙两交警间的距离为，
因为甲、乙间的距离不大于时方可通过对讲机取得联系；
所以从乙到达地这一时刻算起，经过小时，甲、乙可通过对讲机取得联系．
[B组]—强基必备
1．（2019•西湖区校级模拟）设锐角的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的取值范围为
A．B．C．，D．，
【分析】由锐角三角形求得，由正弦定理可得，求出，关于的函数，运用余弦函数的大小，可得所求范围．
【解答】解：锐角可得，即，
，而，
可得，
由正弦定理可得，
可得，
，
则
，
由，可得，
即有时，可得，
时，可得，
则的范围是，．
故选：．
2．（多选）（2020春•宿迁期末）已知中，，，，在上，为的角平分线，为中点下列结论正确的是
A．
B． 的面积为
C．
D．在的外接圆上，则的最大值为
【分析】利用余弦定理计算，利用余弦定理计算，根据面积公式计算三角形的面积，利用正弦定理计算，设，用表示出，，得出关于的三角函数，从而得到的最大值．
【解答】解：在三角形中，由余弦定理，
，故，故错误；
在中，由余弦定理得：，
，故正确；
由余弦定理可知：，，
平分，，
，
在三角形中，由正弦定理可得：，故，故正确；
，，，，
，
为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1，
显然当取得最大值时，在优弧上．
故，设，则，，
，
，，
，其中，，
当时，取得最大值，故正确．
故选：．
3．（2020春•温江区期末）已知的角，，所对的边分别是，，，且满足．
（1）证明：，，成等差数列；
（2）如图，若，点是外一点，设，，求平面四边形面积的最大值．
【分析】（1）利用和与差化简，结合正弦定理边化角，即可证明．
（2）利用任意三角形面积公式，结合表示平面四边形面积，利用三角函数的有界限求解最大值．
【解答】（1）证明：由．
可得：
即
由正弦定理：，
故得，，成等差数列；
（2）解：由（1）可知，，则．
是等边三角形．
由题意，，
则．
余弦定理可得：
则．
故四边形面积．
，
，
当时，取得最大值为
故平面四边形面积的最大值为．