福建省宁德市部分达标中学2021-2022学年高三上学期期中数学试卷

这是一份福建省宁德市部分达标中学2021-2022学年高三上学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省宁德市部分达标中学高三（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x∈N|﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则A∩B等于（　　）
A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）若“∃x∈R，sinx＜a”为真命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣1 B．a＞1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1
3．（5分）三名学生报名参加校园文化活动，活动共有三个项目，每人限报其中一项，则恰有两名学生报同一项目的报名方法种数有（　　）
A．6种 B．9种 C．18种 D．36种
4．（5分）已知5a＝2，b＝ln2，c＝20.3，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b
5．（5分）对任意实数x，x4＝a0+a1•（x﹣2）+a2•（x﹣2）2+a3•（x﹣2）3+a4•（x﹣2）4，则a3＝（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
6．（5分）已知，则＝（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
7．（5分）某种水果失去的新鲜度y与其采摘后时间t（小时）近似满足函数关系式为y＝k•mt（k，m为非零常数）．若采摘后20小时，这种水果失去的新鲜度为20%，采摘后30小时，这种水果失去的新鲜度为40%．那么采摘下来的这种水果大约经过多长时间后失去50%新鲜度（　　）（lg2≈0.3）
A．33小时 B．35小时 C．38小时 D．43小时
8．（5分）当x＞1时，（4k﹣1﹣lnx）x＜lnx﹣x+3恒成立，则整数k的最大值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列四个命题中，真命题的有（　　）
A．若，则x＜y
B．若xy＞0，则≥2
C．若x＞y＞0，c＞0，则
D．若xy+1＞x+y，则x＞1，y＞1
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝excosx，则下列有关f（x）的叙述正确的是（　　）
A．在x＝0处的切线方程为y＝x+1
B．在上是单调递减函数
C．x＝是极大值点
D．在上的最小值为0
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+2，则下列说法中正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）在上单调递增
C．曲线f（x）关于对称
D．曲线f（x）关于x＝对称
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝esinx﹣ecosx，下列说法中正确的是（　　）
A．f（﹣x）＝f（x）
B．f（x）在区间上是增函数
C．是奇函数
D．f（x）在区间上有唯一极值点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）集合A＝{x|3x2+ax+2＝0}至多有一个元素，则a的取值范围是 　 　．
14．（5分）某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表：
产品数x个
10
20
30
40
50
产品总成本（元）
62
68
a
81
89
由最小二乘法得到回归方程＝0.67x+54.9，则a＝　 　．
15．（5分）已知函数f（x）＝，若a、b、c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是 　 　．
16．（5分）已知f（x）＝，若f（x）图象上存在关于原点对称的点，则m的取值范围是 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）请从下面两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①f（x）+f（﹣x）＝0；
②f（﹣x）＝f（x）．
已知函数f（x）＝ln（1+x）+aln（1﹣x）．
（1）选择____，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求f（x）的单调区间．
18．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）满足下列三个条件：
①最小正周期为π；
②最大值为1；
③f（+x）＝f（﹣x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝f（x）+f（x+），x∈[0，]的值域．
19．（12分）近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为我市的一大支柱产业．据统计，我市一家新能源企业近5个月的产值如表：
月份
5月
6月
7月
8月
9月
月份代码x
1
2
3
4
5
产值y亿元
16
20
27
30
37
（1）根据上表数据，计算y与x的线性相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱；
（0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性不强）．
（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测10月该企业的产值．
参考公式：r＝．
参考数据：≈52.3
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+cosC）＝3sinAcosC+cosAsinC且C≠．
（1）求证：b＝2a；
（2）若c＝2，求△ABC的面积的最大值．
21．（12分）新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题．多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分．在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD．甲、乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的．
（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；
（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为X，乙同学的两题得分为Y，求X，Y的期望并判断谁的方案更优．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣lnx，g（x）＝xex+．
（1）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（2）证明：当x＞0时，xf（x）＜g（x）．

2021-2022学年福建省宁德市部分达标中学高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x∈N|﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则A∩B等于（　　）
A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
【分析】先求出集合A，再由集合交集的定义求解即可．
【解答】解：因为集合A＝{x∈N|﹣1≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，
所以A∩B＝{0，1}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．
2．（5分）若“∃x∈R，sinx＜a”为真命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣1 B．a＞1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1
【分析】根据条件可得a＞（sinx）min，然后求出实数a的取值范围即可．
【解答】解：若“∃x∈R，sinx＜a”为真命题，
则a＞（sinx）min＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值域，命题真假的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3．（5分）三名学生报名参加校园文化活动，活动共有三个项目，每人限报其中一项，则恰有两名学生报同一项目的报名方法种数有（　　）
A．6种 B．9种 C．18种 D．36种
【分析】根据题意首先从三名学生中选2名选报同一项目，再从三个项目中选2项项目，全排即可．
【解答】解：由题意可得C＝18，
故选：C．
【点评】本题考查排列组合的知识，属于容易题．
4．（5分）已知5a＝2，b＝ln2，c＝20.3，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b
【分析】化5a＝2为a＝log52，从而比较a、b的大小，再利用特值法比较与c的大小即可．
【解答】解：∵5a＝2，∴a＝log52，
而b＝ln2，
故a＜b＜1，
又∵c＝20.3＞1，
∴a＜b＜c，
故选：B．
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化及特值法的应用，属于基础题．
5．（5分）对任意实数x，x4＝a0+a1•（x﹣2）+a2•（x﹣2）2+a3•（x﹣2）3+a4•（x﹣2）4，则a3＝（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
【分析】先把所给的式子变形，再根据二项式展开式的通项公式，求得a3的值．
【解答】解：∵对任意实数x，x4＝[2+（x﹣2）]4＝a0+a1•（x﹣2）+a2•（x﹣2）2+a3•（x﹣2）3+a4•（x﹣2）4，
则a3＝•2＝8，
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
6．（5分）已知，则＝（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据诱导公式，找出所求角与已知角之间的关系，结合二倍角公式运算．
【解答】解：cos（2α+）＝cos2（）＝1﹣2sin2（）＝1﹣2×＝，
又2＝（2）﹣π，
所以cos（2）＝cos[（2）﹣π]＝﹣cos（2）＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了二倍角公式，诱导公式等知识，属于基础题．
7．（5分）某种水果失去的新鲜度y与其采摘后时间t（小时）近似满足函数关系式为y＝k•mt（k，m为非零常数）．若采摘后20小时，这种水果失去的新鲜度为20%，采摘后30小时，这种水果失去的新鲜度为40%．那么采摘下来的这种水果大约经过多长时间后失去50%新鲜度（　　）（lg2≈0.3）
A．33小时 B．35小时 C．38小时 D．43小时
【分析】根据已知条件，利用待定系数法求出k，m的值，可得y＝0.05，令y＝0.5结合对数的运算性质，即可求出t的近似值．
【解答】解：由题意可得，解得，
∴y＝0.05，
当y＝0.5时，0.05＝0.5，
∴＝10，即t＝10log210，
又∵log210＝＝，
∴t＝≈33，
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，是中档题．
8．（5分）当x＞1时，（4k﹣1﹣lnx）x＜lnx﹣x+3恒成立，则整数k的最大值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】将参数4k﹣1分离出来，化为f（x）＝＞4k，然后利用导数研究函数f（x）的最值，其中需要判断导函数f′（x）的极值点时，需要再一次求导．
【解答】解：当x＞1时，原不等式可化为：＞4k……①恒成立，
令f（x）＝，（x＞1），f′（x）＝，x＞1，
令h（x）＝x﹣lnx﹣2，（x＞1），＝当x＞1时恒成立，
故h（x）在（1，+∞）上单调递增，而h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，
故存在x0∈（3，4），使得h（x0）＝x0﹣lnx0﹣2＝0……②，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，
即f（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以f（x）min＝f（x0）＝，x0∈（3，4），
由②式得lnx0＝x0﹣2代入上式得f（x0）＝，由对勾函数的性质可知，该函数在（3，4）上单调递增，
故，所以要使①式恒成立，只需，即成立即可，结合k∈Z，
故k≤0，所以k的最大值为0．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，进而解决不等式恒成立问题，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列四个命题中，真命题的有（　　）
A．若，则x＜y
B．若xy＞0，则≥2
C．若x＞y＞0，c＞0，则
D．若xy+1＞x+y，则x＞1，y＞1
【分析】根据不等式的性质，结合基本不等式、比较法、特例法逐一判断即可．
【解答】解：A，显然，但是1＜﹣1不成立，故A错误；
B，因为xy＞0，
所以，
因此，
当且仅当即x＝y时等号成立，故B是真命题；
C，因为x＞y＞0，c＞0，
所以，
故C是真命题；
D，由xy+1＞x+y⇒xy+1﹣x﹣y＞0⇒x（y﹣1）﹣（y﹣1）＞0⇒（y﹣1）（x﹣1）＞0，
于是有或，
即x＞1，y＞1或x＜1，y＜1，
所以D是假命题；
故选：BC．
【点评】本题考查了命题的真假判断，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝excosx，则下列有关f（x）的叙述正确的是（　　）
A．在x＝0处的切线方程为y＝x+1
B．在上是单调递减函数
C．x＝是极大值点
D．在上的最小值为0
【分析】求出导函数f'（x），利用导数的几何意义可判断A，利用导数与函数的单调性之间的关系可判断B，利用极大值点的定义可判断C，利用极值以及端点值可判断D．
【解答】解：f（x）＝excosx，则f'（x）＝excosx﹣exsinx＝ex（cosx﹣sinx），
对于选项A：f（0）＝1，f'（0）＝1，
∴函数在x＝0处的切线方程为y﹣1＝x﹣0，即y＝x+1，故选项A正确，
对于选项B：当时，cosx＞sinx，∴cosx﹣sinx＞0，
∴f'（x）＞0，∴f（x）在上是单调递增函数，故选项B错误，
对于选项C：f'（x）＝ex（cosx﹣sinx），
当x∈[0，]时，cosx＞sinx，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈[，]时，sinx＞cosx，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴x＝是极大值点，故选项C正确，
对于选项D：由B，C可知当x时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈[，]时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
又∵f（﹣）＝0，f（）＝0，
∴f（x）在上的最小值为0，故选项D正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+2，则下列说法中正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）在上单调递增
C．曲线f（x）关于对称
D．曲线f（x）关于x＝对称
【分析】将f（x）解析式进行化简得f（x）＝2sin（2x+），对选项逐一进行判断即可．
【解答】解：因为f（x）＝sin2x+2cos2x﹣＝sin2x+（2cos2x﹣1）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），
对于A，函数的最小正周期为＝π，故A正确；
对于B，当x∈[﹣，0]时，2x+∈[﹣，]，
此时正弦函数为单调增函数，故B正确；
对于C，令2x+＝kπ，（k∈Z），
解得x＝﹣，（k∈Z），
所以f（x）的对称中心（﹣，0），
当k＝1时，对称中心为（，0），故C正确；
对于D，令2x+＝k（k∈Z），
解得x＝（k∈Z），
所以f（x）的对称轴为x＝（k∈Z），
显然D错误；
故选：ABC．
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，图象与性质，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝esinx﹣ecosx，下列说法中正确的是（　　）
A．f（﹣x）＝f（x）
B．f（x）在区间上是增函数
C．是奇函数
D．f（x）在区间上有唯一极值点
【分析】直接判断f（﹣x）与f（x），即可判断选项A，利用导数的正负判断函数的单调性，即可判断选项B，利用奇函数的定义，即可判断选项C，利用函数的单调性以及极值的定义，即可判断选项D．
【解答】解：函数f（x）＝esinx﹣ecosx，
对于A，f（﹣x）≠f（x），故选项A错误；
对于B，f'（x）＝cosxesinx+sinxecosx，
当x∈时，f'（x）＞0，则f（x）在区间上是增函数，故选项B正确；
对于C，令g（x）＝，
则g（﹣x）＝＝﹣[]＝﹣g（x），
所以g（x）为奇函数，
则是奇函数，故选项C正确；
对于D，由选项B可知，f'（x）＝cosxesinx+sinxecosx，
令g'（x）＝0，可得cosxesinx＝﹣sinxecosx，
方程f'（x）＝0的根，即为函数h（x）＝cosxesinx与m（x）＝﹣sinxecosx图象交点的横坐标，
h'（x）＝﹣sinxesinx+cos2xesinx＝（﹣sin2x﹣sinx+1）esinx，
对于函数y＝﹣sin2x﹣sinx+1，x∈，
由复合函数的性质可知，函数为增函数，且y∈（﹣1，1），
则函数在内存在唯一的零点a，
所以当x∈（，a）时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，
当x∈（π，a）时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，
又m'（x）＝﹣cosxecosx+sin2xecosx＝（﹣cos2x﹣cosx+1）ecosx，
当x∈时，m'（x）＞0恒成立，则m（x）单调递增，
作出函数h（x）与m（x）的图象如图所示，

由图象可知，函数h（x）于m（x）的图象只有一个交点，
即存在唯一的x0∈，使得f'（x0）＝0，
所以f（x）只有一个极值点x0，
故选项D正确．
故选：BCD．

【点评】本题考查了导数的综合应用，函数奇偶性与单调性的判断，函数极值的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）集合A＝{x|3x2+ax+2＝0}至多有一个元素，则a的取值范围是 　[﹣2，2]　．
【分析】因集合A是方程3x2+ax+2＝0的解集，欲使集合A＝{x|3x2+ax+2＝0}至多有一个元素，只须此方程有两个相等的实数根或没有实数根，得到a的关系式进行求解即可．
【解答】解：∵集合A＝{x|3x2+ax+2＝0}至多有一个元素，
则必须方程：3x2+ax+2＝0有两个相等的实数根或没有实数根，
∴△≤0，得：a2﹣24≤0，∴﹣2≤a≤2，
综上所述：a的取值范围是[﹣2，2]．
故答案为：[﹣2，2]．
【点评】本小题主要元素与集合关系的判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论、化归与转化思想．属于基础题．
14．（5分）某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表：
产品数x个
10
20
30
40
50
产品总成本（元）
62
68
a
81
89
由最小二乘法得到回归方程＝0.67x+54.9，则a＝　75　．
【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得a值．
【解答】解：由表格可得，，
，
∴样本点的中心的坐标为（30，），
代入＝0.67x+54.9，得，解得a＝75．
故答案为：75．
【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
15．（5分）已知函数f（x）＝，若a、b、c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是 　[3，10）　．
【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，由f（a）＝f（b）＝f（c），确定a+b的值及c的范围，即可得出a+b+c的取值范围．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，
由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）
关于直线x＝对称，因此a+b＝1．
当直线y＝m＝1时，由log8（x﹣1）＝1，
解得x﹣1＝8，即x＝9，
由f（a）＝f（b）＝f（c），（a、b、c互不相等），
且a＜b＜c，可得2≤c＜9，
因此可得3≤a+b+c＜10，
即a+b+c∈[3，10）．
故答案为：[3，10）．

【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的零点与方程根的关系，利用数形结合，观察图象的变化，从而得出变量的取值范围是解决本题的关键，是中档题．
16．（5分）已知f（x）＝，若f（x）图象上存在关于原点对称的点，则m的取值范围是 　[e﹣1，+∞）　．
【分析】函数f（x）的图象上存在关于原点对称的点，等价于＝x﹣lnx+m在（0，+∞）上有解，即m＝在（0，+∞）上有解，h（x）＝（x＞0），利用导数得到h（x）min，即可求得m的取值范围．
【解答】解：令g（x）＝，x＜0，则﹣g（﹣x）＝，
函数f（x）的图象上存在关于原点对称的点，即﹣g（﹣x）＝的图象与函数f（x）＝x﹣lnx+m，x＞0的图象有交点，
即＝x﹣lnx+m在（0，+∞）上有解，则m＝在（0，+∞）上有解，
设h（x）＝，x＞0，则h′（x）＝＝，
令φ（x）＝ex﹣x，则φ′（x）＝ex﹣1＞0，∴φ（x）＝ex﹣x＞φ（0）＝1＞0，
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，
∴h（x）的最小值为h（1）＝e﹣1．
∴若m＝在（0，+∞）上有解，则m≥e﹣1．
∴m的取值范围是[e﹣1，+∞）．
故答案为：[e﹣1，+∞）．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，考查了函数与方程的关系，考查推理论证及运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）请从下面两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①f（x）+f（﹣x）＝0；
②f（﹣x）＝f（x）．
已知函数f（x）＝ln（1+x）+aln（1﹣x）．
（1）选择____，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求f（x）的单调区间．
【分析】在选择①②的情况下分别求出a的值，再判断单调区间即可．
【解答】解：选择①，
（1）f（x）的定义域为x＝（﹣1，1），
由f（x）+f（﹣x）＝0，
得ln（1+x）+aln（1﹣x）+ln（1﹣x）+aln（1+x）＝0，
得（1+a）[ln（1+x）+ln（1﹣x）]＝0恒成立，
所以a＝﹣1，
（2）当a＝﹣1时，f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）＝（﹣1＜x＜1），
f（x）＝ln（﹣1+），
因为y＝在（﹣1，1）上单调递增，
所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），无单调递减区间．
解：选择②
（1）f（x）的定义域为x∈（﹣1，1），
由f（﹣x）＝f（x），
得ln（1﹣x）+aln（1+x）＝ln（1+x）+aln（1﹣x）恒成立，
得（a﹣1）（ln（1+x）﹣ln（1﹣x））＝0恒成立，
所以a＝1．
（2）当a＝1时，f（x）＝ln（1+x）+ln（1﹣x）＝ln（1﹣x2）（﹣1＜x＜1），
因为y＝1﹣x2在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减；
所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，1）．
【点评】本题考查函数的性质，及函数的单调性，属于中档题．
18．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）满足下列三个条件：
①最小正周期为π；
②最大值为1；
③f（+x）＝f（﹣x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝f（x）+f（x+），x∈[0，]的值域．
【分析】（1）利用最值求A，利用周期求ω，利用特殊值求解φ，从而得到答案；
（2）先利用三角恒等变换将函数g（x）的解析式化简变形，然后由正弦函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）因为f（x）的最小正周期为π，
所以，
又f（x）的最大值为1，
所以A＝1，
则f（x）＝sin（2x+φ），
因为，
则函数f（x）关于直线对称，
所以φ＝，
解得φ＝，
又0＜φ，
所以φ＝，
故；
（2）函数g（x）＝f（x）+f（x+），x∈[0，]，
则g（x）＝＝＝，
因为x∈[0，]，
则，
故，
所以，
故g（x）的值域为．
【点评】本题考查了三角函数模型解析式的求解，三角恒等变换的应用，三角函数值域的求解，在求解函数y＝Asin（ωx+φ）的解析式时，利用最值求A，利用周期求ω，利用特殊值求解φ，属于中档题．
19．（12分）近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为我市的一大支柱产业．据统计，我市一家新能源企业近5个月的产值如表：
月份
5月
6月
7月
8月
9月
月份代码x
1
2
3
4
5
产值y亿元
16
20
27
30
37
（1）根据上表数据，计算y与x的线性相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱；
（0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性不强）．
（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测10月该企业的产值．
参考公式：r＝．
参考数据：≈52.3
【分析】（1）利用表中的数据求出样本中心，再由相关系数的计算公式求解即可．
（2）利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程，将10月份的代码代入回归方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，，，
所以r＝≈0.993，
因为|r|∈[0.75，1]，
故y与x的线性相关性较强；
（2）由题意可得，，
所以，
所以线性回归方程为，
因为10月份对应的代码为6，
则，
故10月份该企业的产值约为41.6亿元．
【点评】本题考查了相关系数的求解以及线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+cosC）＝3sinAcosC+cosAsinC且C≠．
（1）求证：b＝2a；
（2）若c＝2，求△ABC的面积的最大值．
【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用展开化简可求得sinB＝2sinA，由正弦定理化角为边即可求证；
（2）由余弦定理求得cosC＝，再由三角形面积公式计算S2＝a2b2sin2C转化为关于a的函数，再利用二次函数的性质可求得最大值，开方即可求解．
【解答】解：（1）证明：因为sinB（1+cosC）＝sinB+sinBcosC＝3sinAcosC+cosAsinC，
可得sinB+sinBcosC＝2sinAcosC+sin（A+C）＝2sinAcosC+sinB，可得sinBcosC＝2sinAcosC，
因为C≠，cosC≠0，
所以sinB＝2sinA，由正弦定理可得b＝2a．
（2）在△ABC中，由余弦定理可得cosC＝＝＝，
设△ABC的面积为S，可得S2＝a2b2sin2C＝a2•4a2[1﹣（）2]＝＝，
所以当a2＝时，S2取得最大值为＝，
所以△ABC的面积的最大值为．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
21．（12分）新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题．多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分．在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD．甲、乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的．
（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；
（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为X，乙同学的两题得分为Y，求X，Y的期望并判断谁的方案更优．
【分析】（1）甲同学每题均随机选取一项，甲同学两题得分合计为4分，则两题均部分选对，记为事件A，再求A的概率即可，
（2）甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，分别求出甲乙的概率，分布列及期望，再进行比较即可．
【解答】解：（1）甲同学每题均随机选取一项，甲同学两题得分合计为4分，则两题均部分选对，记为事件A，
，
故甲得4分的概率为，
（2）甲得分X的所有可能的取值为0，2，4，

X的分布列为：
X
0
2
4
P



E（X）＝（分），
乙同学11题得分情况为Y1，

12题可能得分Y2，

乙得分Y的所有可能的取值0，2，5，7，

Y的分布列为：
X
0
2
5
7
P




E（Y）＝（分），
E（X）＞E（Y），
故甲同学更优．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣lnx，g（x）＝xex+．
（1）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（2）证明：当x＞0时，xf（x）＜g（x）．
【分析】（1）先求出函数f（x）的极值点，然后通过讨论极值点与[t，t+1]的关系，确定函数的单调性，进而求出最小值；
（2）可先证明ex≥ex在（0，+∞）上恒成立，将不等式的证明转化为证明xlnx在（0，+∞）恒成立即可．
【解答】解：（1）当x＞0时，令得x＝，当x时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，故：
①当时，显然t+1，故f（x）在（t，）上单调递减，在（]上单调递增，故此时f＝2；
②当时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，故f（x）min＝f（t）＝et﹣lnt；
综上可知：当时，f＝2；当时，f（x）min＝f（t）＝et﹣lnt．
（2）证明：先证x＞0时，ex≥ex，令h（x）＝ex﹣ex（x＞0），h′（x）＝ex﹣e，h′（x）＞0得x＞1；h′（x）＜0得0＜x＜1，
故h（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，故h（x）min＝h（1）＝0，
所以x＞0时，h（x）≥0，即ex≥ex……③恒成立，
当x＞0时，要证xf（x）＜g（x），即ex2﹣xlnx＜，结合③式，
即证即ex2﹣xlnx＜成立，即证在（0，+∞）上恒成立，
令m（x）＝xlnx，x＞0，由m′（x）＝1+lnx＝0得x＝，当时，m′（x）＜0，时，m′（x）＞0，
故m（x）在（0，）单调递减，在（）单调递增，故m（x）min＝＝﹣，即xlnx……④恒成立，
因为③④两式取等号的条件不一致，故ex2﹣xlnx＜当x＞0时恒成立，
即当x＞0时，xf（x）＜g（x）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，进而求出最值解决不等式恒成立问题的解题思路，同时考查分论讨论思想的应用，属于中档题．