2021-2022学年福建省龙岩市非一级达标校高一下学期期中联考数学试卷含答案

龙岩市非一级达标校2021-2022学年高一下学期期中联考

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知向量，，且，则m＝（    ）

A．2 B．－2 C．1 D．－1

2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c＝（    ）

A．8 B．4 C．     D．

3．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．在空间中，直线l∥平面，则“直线”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知圆锥的底面积为，高为4，则该圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C．   D．

6．在△ABC中，边AB的中点为D，若O为△ABC的重心，则（    ）

A． B． C．   D．

7．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3，c＝2，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭ABCD－EFHG，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高h＝EF，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为（    ）

A．24 B． C． D．16

二、选择题：本题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知平面内三点，，，则（    ）

A．  B．

C．  D．与的夹角为

10．在长方体中，AB＝BC＝2，，点P为线段上的一动点，则（    ）

A．所在的直线与所在的直线为异面直线

B．AC平行于平面内的任意一条直线

C．的最小值为

D．三棱锥的体积为定值

11．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下面说法正确的是（    ）

A．若A＝60°，a＝20，b＝30，则△ABC无解

B．若A＝150°，a＝3，b＝4，则△ABC有一解

C．若A＝45°，，，则△ABC有两解

D．若A＝60°，a＝12，b＝8，则△ABC有两解

12．若正四面体外接球的表面积为，则（    ）

A．该正四面体的体积

B．该正四面体的表面积为

C．该正四面体内切球的半径为

D．该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．水平放置的平面四边形ABCD的斜二测直观图为一个边长为4，其中一个夹角为45°的菱形，则四边形ABCD的实际周长为______，实际面积为______．（本题第一空2分，第二空3分）

14．已知复数z的实部和虚部均不等于0，写出一个满足的复数：z＝______．

15．甲、乙两艘渔船从点A处同时出海去捕鱼，乙渔船往正东方向航行，速度为15公里每小时，甲渔船往北偏东30°方向航行，速度为20公里每小时，两小时后，甲渔船出现故障停在了B处，乙渔船接到消息后，立刻从所在地C处开往B处进行救援，则乙渔船到达甲渔船所在位置至少需要______小时．（参考数据：取）

16．已知正方形ABCD的边长为2，正方形ABCD的内切圆圆上有一动点E，平面内有一动点P，则的最大值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知复数．

（1）若z为实数，求m的值；

（2）若z为纯虚数，求m的值．

18．（12分）

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A的大小；

（2）若a＝4，b＋c＝8，求的值．

19．（12分）

如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．

（1）证明：E，F，D，B四点共面．

（2）证明：BE，DF，三线共点．

20．（12分）

已知向量，，．

（1）若在上的投影向量的模为1，求x的值；

（2）若，求k的值．

21．（12分）

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，AD为边BC上的中线，A的角平分线AE交BC于点E．

（1）若a＝7，c＝3，求AD的值；

（2）若AE＝6，求△ABC面积的最小值．

22．（12分）

如图，在正三棱柱中，O为与的交点，M为的中点，．

（1）证明：OM∥平面．

（2）若G为线段FC上一动点，在平面上是否存在一点N，使得NG∥平面恒成立？若存在，请找出点N位置并证明NG∥平面；若不存在，请说明理由．

龙岩市非一级达标校2021-2022学年高一下学期期中联考

数学试卷参考答案

1．B

2．A 

3．B

4．D

5．B

6．D

7．B

8．C

9．BCD

10．ACD 

11．AC．

12．ACD

13．24；32 

14．（答案不唯一）

15．2.4

16．3 

17．解：（1）由题意得，得m＝2或

（2）由题意得得．

18．解：（1）由题意得，

得，

得，

所以，

即A＝60°．

（2）由余弦定理，

得．

因为b＋c＝8，所以bc＝16，

由正弦定理，得，，

所以．

19．证明：（1）如图，连接EF，BD，．

∵EF是的中位线，∴．

∵与平行且相等，∴四边形是平行四边形，

∴，∴EF∥BD，∴E，F，D，B四点共面．

（2）∵EF∥BD，∴直线BE和DF相交．

延长BE，DF相交于点P，

∵直线BE，直线平面，

∴平面，

∵直线DF，直线平面，

∴平面，

∵平面平面，

∴，

∴BE，DF，三线共点．

20．解：（1）由题意得，

所以，即．

又因为，所以．

所以或，

即或．

（2）因为，所以，

得，即．

21．解：（1）由余弦定理，

得，即b＝5．

由题意得，

两边平方得

．

（2）因为，

所以．

因为，所以，

当且仅当b＝c＝12时，等号成立，

所以，故△ABC面积的最小值为．

22．解：（1）由题意得，O为的中点，

∵M为的中点；∴OM为的中位线，

∴．

∵平面，平面，∴OM∥平面．

（2）存在点N．

理由如下：

如图，延长，使得．

∵∴，

∴，∴，∴．

∵平面，∴CF∥平面．

∵，∴△AEO∽△AFN，∴EO∥FN．

∵平面，∴FN∥平面．

又∵FN，平面FCN且，∴平面平面FCN．

∵平面FCN，∴NG∥平面．