豫北名校大联考2022-2023学年高三上学期阶段性测试（二）理科数学试题（含答案）

豫北名校大联考

2022-2023学年高中毕业班阶段性测试（二）

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的

1．已知集合，，则（    ）

A．   B．    C．   D．

2．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（    ）

A．   B．   C．   D．

3．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ）

A．   B．   C．    D．

4．在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追测到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知的正弦值为0．0384，的正弦值为0.5135，等等。则根据该表，416．5°的余弦值为（    ）

A．0.5461    B．0.5519    C．0.5505    D．0.5736

5．一种恒温大棚里种植的蔬菜株高y（单位：cm）与温度x（单位：℃，）满足关系式，市场中一顿这种蔬菜的利润z（单位：百元）与x，y的关系为，则z的最大值为（    ）

A．1095.4    B．995.4    C．990.4    D．895.4

6．已知函数在定义域上单调递增，则实数a的取值范围为（    ）

A．    B．    C．   D．

7．下列条件是“过点可以作两条与曲线相切的直线”的充分条件是（    ）

A．    B．    C．    D．

8．已知函数的一个极大值点为，若在区间（）上单调递增，则a的最大值为（    ）

A．    B．    C．    D．

9．已知函数与的图象交于点P，过点P作y轴的平行线，该直线与函数的图象交于点Q，则（     ）

A．    B．   C．   D．

10．若函数满足：对任意非零实数x，均有，则我们称函数为“倒数偶函数”．若是倒数偶函数，则的所有极值点的乘积为（    ）

A．    B．4     C．    D．1

11．已知函数则方程在区间上的实根个数为（    ）

A．9     B．10     C．11     D．12

12．已知，，，则（    ）

A．   B．   C．   D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数的定义域为______．

14．已知，则______．

15．已知函数及其导函数的定义域均为R，若，，且当时，单调递减，则的解集为______．

16．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，则的最小值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若函数，求在区间上的所有最大值点。

18．（12分）

如图所示，A，B，C是相隔不远的三座山峰的峰顶，地理测绘员要在A，B，C三点进行测量．在C点测得B点的仰角为30°，B与C的海拔高度相差180m；在B点测得A点的仰角为45°．设A，B，C在同一水平面上的射影为，，，且．

（Ⅰ）求A与C两点的海拔高度差．

（Ⅱ）已知该地大气压强p（Pa）随海拔高度h（m）的变化规律是，是海平面大气压强．设A，C两处测得的大气压强分别为，，估计的值．

参考数据：，．

19．（12分）

已知函数的图象关于原点对称．

（Ⅰ）求的单调区间和最值；

（Ⅱ）若存在实数满足，求实数m的取值范围．

20．（12分）

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，D为边AC上一点，且，求的值．

21．（12分）

已知函数．

（Ⅰ）设曲线在点处的切线为l，求l与坐标轴围成的三角形的面积；

（Ⅱ）若，证明：曲线与直线仅有一个交点．

22．（12分）

已知的最小值为0．

（Ⅰ）求实数b的值；

（Ⅱ）当且时，证明：．

2022—2023学年高中毕业班阶段性测试（二）

理科数学·答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．

1．答案 C

命题意图 本题考查集合的表示与运算．

解析 ∵，∴，，则

2．答案 D

命题意图 本题考查函数奇偶性与单调性的判定．

解析 对于A，是奇函数，但在定义域上不单调；同理B也不符合；对于C，不是奇函数；D符合．

3．答案 D

命题意图 本题考查三角函数的概念，三角恒等变换．

解析 由题意知，，所以．

4．答案 B

命题意图 本题考查诱导公式及其应用．

解析 由题意，，查表可得．

5．答案 A

命题意图 本题考查函数模型，已经基本不等式的应用．

解析 由题意知，由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立．

6．答案 D

命题意图 本题考查分段函数的性质．

解析 根据题意所以.

7．答案 C

命题意图 本题考查函数的图象与性质．

解析 根据曲线的形状，当点在点右边时，可以作两条与曲线相切的直线，即充要条件为，所以“”是“”的一个充分条件．

8．答案 A

命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．

解析 根据题意，，∴．∵，∴，∴函数．令，∴，∵在区间上单调递增，∴a的最大值为．

9．答案 A

命题意图 本题考查三角函数的图象与性质，三角恒等变换．

解析 设，则，得，即，可得（舍去）．又因为，从而，所以P点的纵坐标为，Q点的纵坐标为，所以．

10．答案 C

命题意图 本题考查函数的性质，以及导数的计算。

解析 由的解析式可知，，因为是倒数偶函数，所以，．又方程的两根为和2，

所以的两根为1和，所以，

所以，

求导可得，令，

得，，此方程两根即的两个极值点，所以的所有极值点的乘积为．

11．答案 C

命题意图 本题考查分段函数、函数图像与方程的根的综合问题．

解析 当时，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，最小值为．结合函数的“周期”规律得在上的大致图象如图所示．因为，所以或．当时，对应的x的值有5个；当时，对应的x的值有6个．故在区间上的实根个数为11．

12．答案 B

命题意图 本题考查利用函数与导数比较大小．

解析 设，则，当时，，所以，所以，即．设，则，所以．易知在上单调递减，又，，所以，使得，且在上单调递增，在上单调递减．又，，所以当时，，所以在上单调递增，所以，所以，即．综上可得．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．答案 

命题意图 本题考查函数的定义域及对数函数的性质．

解析 ∵，∴，∴，∴的定义域为．

14．答案 

命题意图 本题考查三角恒等变换的应用．

解析 因为，所以，设，，则，所以，，所以，，所以，，所以，所以．

15．答案 

命题意图 本题考查函数的对称性和单调性．

解析 根据题意，所以，所以的图象关于直线对称，所以，又因为当时，单调递减，所以的解集为．

16．答案 

命题意图 本题考查正、余弦定理及三角恒等变换的应用．

解析 由正弦定理可得，即，∴，

∵，∴，∴且，

∴

．

∵，∴，∴，

∴（当时取得）．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．

解析 （Ⅰ）将的图象向右平移个单位长度，得的图象；

再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得函数图象．故．

（Ⅱ），

当时，，

即当时，取到最大值，

当时，，

即当时，取到最大值，

所以在区间上的所有最大值点为，．

18．命题意图 本题考查三角函数的应用以及指数函数模型．

解析 （Ⅰ）如图所示，过C作，交于E，过B作，交于D．

由条件知，．

在等腰三角形中，可知，

则．又在B点测得A点的仰角为45°，

所以，所以A与C两点的海拔高度差为（m）

（Ⅱ）设A，C两处的海拔高度分别为，，则，

则．故的值约为0.95565．

19．命题意图 本题考查函数的基本性质，导数的应用．

解析 （Ⅰ）根据题意得，∴，

∴，所以，故，

∴，列表可得：

即的单调递减区间为和，单调递增区间为．

又当时，，当时，，当时，，

故的最小值为，最大值为．

（Ⅱ）易知的值域为，令，条件转化为：

存在，使得即成立．

设，则，则当时，

，单调递减，当时，，单调递增，

∴，又，，，

∴，∴，即实数m的取值范围为．

20．命题意图 本题考查正、余弦定理和三角恒等变换的应用．

解析 （Ⅰ）原式左边

，

因为，所以原式右边，

由，得．

（Ⅱ）由题意设，，．

由余弦定理得，

所以，所以．

在中，设，，

则，

整理可得，解得（负值舍去）．

即，所以，所以．

21．命题意图 本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数性质．

解析 （Ⅰ）由已知得，∴．

又，∴l的方程为，

∴l与x轴的焦点为，与y轴的交点为，

∴l与坐标轴围成的三角形的面积为．

（Ⅱ）设．

当时，，单调递增．

又，，

∴在上有唯一实根．当时，

设，则．

，

可得在和上单调递增，在上单调递减．

又，，∴当时，，

∴在上没有实根．综上，在R上有唯一实根，

即曲线与直线仅有一个交点．

22．命题意图 本题考查利用导数研究函数的性质，以及证明不等式．

解析 （Ⅰ）由已知得，令，得．

当时，，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，∴．

令，则，

当时，，当时，，

∴，即有唯一解．

（Ⅱ）可转化为．

∵，，∴，

∴．

令，只需证明即可．

易知当时，，∴，

∴

，

故在上单调递增，当时，，从而原命题得证．