浙江台州市椒江区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编3解答题

这是一份浙江台州市椒江区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编3解答题，共25页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江台州市椒江区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编03 解答题
三、解答题
49．（2022·浙江台州·八年级期末）计算：
(1)
(2)．
50．（2022·浙江台州·八年级期末）先化简，再求值：，其中．
51．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，两条公路，相交于点，在内部有两个村庄，．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在内部再启动一个方舱式接种点，要求同时满足：

（1）到两条公路，的距离相等．
（2）到两村庄，的距离相等．请你用直尺和圆规作出接种点的位置（保留作图痕迹）．
52．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，点F，C在线段上，．求证：．

53．（2022·浙江台州·八年级期末）先阅读材料，再解答问题．
我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式来表示，例如，就可以用图1或图2等图形的面积表示．

(1)请写出图3中所表示得代数恒等式．
(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示代数恒等式：．
54．（2022·浙江台州·八年级期末）秋冬季新冠疫情形式严峻，台州某口罩厂接到540万只口罩的紧急生产任务，为了尽快完成任务，该口罩厂实际每天生产的口罩数量比原计划每天多，结果提前3天完成任务，那么实际每天生产口罩多少万只？
55．（2022·浙江台州·八年级期末）2021年世界机器人大会9月份在北京举行，我国机器人产业迎来升级换代、跨越发展的窗口期．某校机器人兴趣小组开发了一种水陆两栖探测型机器人，它可以准确勘测到目标物相对于自身的方位．某日在如图所示场地训练时，机器人从地出发，全程沿着正北方向移动，以一定的陆行速度移动到河岸线上的地后切换到水栖模式下水，在正北方向的地上岸后，移动速度比原来的陆行速度降低了，到地后停下．下表是机器人训练过程中记录的部分信息（目标物固定在河岸线上，）．

机器人所处位置




时间
13：00
13：40
数据丢失
14：40
目标物相对于当前位置的方位角
北偏东
北偏东
正东
南偏东

(1)探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)试求本次训练过程中机器人在水栖模式下过河（段）所用的时间．
56．（2022·浙江台州·八年级期末）如图1，在等边中，点是边上的一点，连接，以为边作等边，连接．

(1)求证：．
(2)如图2，过，，三点分别作于点，于点，于点．求证：．
(3)如图3，，垂足为点，若将点改为线段上的一个动点，连接，以为边作等边，连接．当时，直接写出的最小值．
57．（2021·浙江台州·八年级期末）计算：（1）；      
（2）．
58．（2021·浙江台州·八年级期末）先化简，再求值：，其中．
59．（2021·浙江台州·八年级期末）已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝3，求xy与x2+y2的值．
60．（2021·浙江台州·八年级期末）一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间是以最大航速逆流航行所用时间的1.2倍，则江水的流速为多少？
61．（2021·浙江台州·八年级期末）如图1，在中，和的平分线相交于点O，过点O作，交于点E，交于点F．

（1）若，求的周长．
（2）过点O作于点H，连接，如图2．当时，试探究与的数量关系，并说明理由．
62．（2021·浙江台州·八年级期末）如图1，直线a与直线b相交于点O，点P在∠α内部．规定：先以a为对称轴作点P关于a的对称点P'，再以b为对称轴作点P'关于b的对称点P1，从点P到点P1的变换（两次轴对称）称为“1次T变换”，经过n次T变换的过程为：P（第1次T变换）P1（第2次T变换）P2…（第n次T变换）Pn．若经过n次T变换后，点Pn与点P第一次重合，我们就称n为“α﹣T图1变换的最优值”．例如：如图2，当α＝60°时，点P经过第1次T变换得到点P1，点P1经过第2次T变换得到点P2，点P2经过第3次T变换得到点P3，此时点P3与点P第一次重合，所以n＝3为“60°﹣T变换的最优值”．

（1）请完成下表．
α
60°
45°
30°
α﹣T变换的最优值n
3
　 　
　 　

（2）根据（1）中α﹣T变换的最优值n的变化规律，猜想：当0°≤α≤90°时，则α﹣T变换的最优值n＝　 　．（用含α的代数式表示）
（3）继续猜想，我们也可得到90°＜α＜180°时α﹣T变换的最优值n的变化规律，请根据此规律求n＝5时的α值．
63．（2021·浙江台州·八年级期末）【探究发现】
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是　 　．
【类比应用】
（2）如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长．

64．（2020·浙江台州·八年级期末）计算：
（1）
（2）
65．（2020·浙江台州·八年级期末）先化简，在求值：，其中a=2．
66．（2020·浙江台州·八年级期末）如图，已知AB∥CD，AC平分∠DAB．求证：△ADC是等腰三角形．

67．（2020·浙江台州·八年级期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）点P在x轴上，且点P到点A与点C的距离之和最小，直接写出点P的坐标为　　　　．

68．（2020·浙江台州·八年级期末）某校庆为祝建国70周年举行“爱国读书日”活动，计划用500元购买某种爱国主义读书，现书店打八折，用500元购买的爱国主义读本比原计划多了5本，求该爱国主义读本原价多少元？
69．（2020·浙江台州·八年级期末）如图，已知△ABC．
（1）求作点P，使点P到B、C两点的距离相等，且点P到∠BAC两边的距离也相等(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．
（2）在（1）中，连接PB、PC，若∠BAC=40°，求∠BPC的度数．

70．（2020·浙江台州·八年级期末）【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，
如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．
【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．
【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有　　　　．(将所有正确的序号填在横线上)．
【延伸应用】（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．








【答案】


49．(1)；
(2)1．

【分析】（1）根据负整数指数幂和零指数幂计算即可；
（2）根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则化简即可．
(1)
解：
＝+1
＝；
(2)
解：
＝4a2﹣4a+1﹣4a2+4a
＝1．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式和单项式乘多项式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
50．，
【分析】根据分式的混合运算法则，先化简括号内的，将除法运算转化为乘法运算，再化简成最简分式，代入m值求解即可．
【详解】



；
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的化简，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键.
51．见解析
【分析】作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，其交点即为所求．
【详解】如图，作线段CD的垂直平分线MN，作∠AOB的角平分线OF，OF交MN于点P，则点P即为所求．

【点睛】本题考查作图—作线段垂直平分线，作图—作角平分线，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的性质并知道如何正确的作图．
52．见解析
【分析】根据SSS证明△ABC≌△DEF，得到∠A=∠D，可得结果．
【详解】解：∵AF=CD，
∴AF+FC=CD+CF，
∴AC=DF，
又AB=DE，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A=∠D，
∴AB∥DE．
【点睛】本题考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
53．(1) ．
(2)见解析．

【分析】（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
（2）根据题目的要求和恒等式的意义即可画出图形．
（1）
根据图形可得：
故答案为．
（2）
画图如下：

【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可，充分理解题意是解答本题的关键．
54．36
【分析】设该厂平时每天生产口罩x万只，则实际每天生产口罩（1+20%）x万只，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比平时少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设台州某口罩厂平时每天生产口罩x万只，则实际每天生产口罩（1+20%）x万只，
依题意，得： ．
解得：x＝30．
经检验，x＝30是所列方程的根，且符合题意．
所以（1+20%）x＝36．
答：实际每天生产口罩36万只．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
55．(1)AB＝2CD，证明见解析；
(2)35分钟．

【分析】（1）易求得CD＝CP，AB＝BP，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；
（2）设原来的陆行速度为x，CD段使用的时间为t，则A到B所用的时间为40分，AB的距离为40x，CD的距离为80%x·t，根据（1）中的结论可得方程，从而得出答案．
（1）
解：AB＝2CD，
证明：∵机器人全程沿着正北方向移动，a∥b，
∴AD⊥a，AD⊥b，
∵∠D＝45°，
∴CD＝CP，
∵AD⊥b，∠DBP＝30°，
∴∠PBA＝180°−30°＝150°，BP=2CP，
∵∠A＝15°，在△BAP中，∠A＋∠PBA＋∠BPA＝180°，
∴∠BPA＝15°，
∴∠A＝∠BPA，
∴AB＝BP，
∵在Rt△BCP中，BP＝2CP，且AB＝BP，CD＝CP，
∴AB＝2CD；
（2）
设原来的陆行速度为x，CD段使用的时间为t，
则A到B所用的时间为40分，AB的距离为40x，CD的距离为80%x·t，
由（1）知，AB＝2CD，
∴40x＝2（80%x·t），
解得：t＝25（分），
∵到达D的时间是14：40，
∴C点时间为14：15，
∴BC段所用时间是35分钟．
【点睛】本题主要考查了特殊的直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
56．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）利用面积法证明即可；
（3）连接EC．由△ABD≌△CBE，推出∠BAD＝∠BCE＝30°，推出点E在射线CE上运动（∠BCE＝30°），利用垂线段最短解决问题即可．
（1）
∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，
即∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
∴△ABD≌△CBE（SAS）；
（2）
∵△ABD≌△CBE，
∴，
∵，
∵AF⊥BC，DM⊥BC，EN⊥BC，
∴BC•AF＝BC•DM＋BC•EN，
∴AF＝DM＋EN；
（3）
连接EC，如图所示：

∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD＝∠BCE，
∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC，
∴∠BAF＝∠CAF＝30°，BF＝CF＝BC＝AB＝，
∴∠BCE＝∠BAF＝30°，
∴点E在射线CE上运动（∠BCE＝30°），
∴当EF⊥EC时，EF的值最小，此时EF＝CF＝，
即EF的最小值为．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
57．（1）；（2）
【分析】（1）分别利用零次幂和负整数指数幂计算，再算加法；
（2）根据整式的混合运算法则将括号展开，再合并同类项．
【详解】解：（1）
=
=；
（2）
=
=
【点睛】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
58．，4
【分析】根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m=3代入进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=
将m=3代入，
原式=3+1=4．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
59．，
【分析】分别展开完全平方公式，发现比多，据此求出的值，进而求出的值．
【详解】∵，，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
60．6km/h
【分析】根据题意可得顺水速度为（30+v）km/h，逆水速度为（30-v）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行108km所用时间=以最大航速逆流航行60km所用时间×1.2，根据等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设江水的流速为vkm/h，
根据题意得：，
解得：v=6．
经检验，v=6是原方程的解．
答：江水的流速为6km/h．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，然后列出方程．
61．（1）9；（2）OH=AO
【分析】（1）由EF∥BC可得∠EOB=∠OBC，由OB平分∠ABC可得∠EBO=∠OBC，由此得到∠EOB=∠EBO，可得BE=OE，同理可得CF=OF，由此即可证明△AEF的周长等于AB+AC，然后求出其周长；
（2）过O作OP⊥AB于P，作OG⊥AC于Q，证明AO平分∠BAC，根据∠BAC的度数，推出OP=OA，从而得到OH=OA．
【详解】解：（1）∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC．
∵∠EBO=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE，
同理：CF=OF，
∴△AEF的周长=AE+AF+OE+OF=AE+AF+BE+FC=AB+AC=4+5=9．
（2）过O作OP⊥AB于P，作OQ⊥AC于Q，
∵BO与CO分别为∠ABC与∠ACB的平分线，
∴PO=OH=OQ，
∴AO平分∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAO=30°，
∴OP=OA，
∴OH=OA．

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的意义，平行线的性质，等腰三角形的判定，判断出AO平分∠BAC是解本题的关键．
62．（1）4，6；（2）n＝（k为使n为正整数的正整数）；（3）144°
【分析】（1）根据变换求出∠POP1＝90°，由此可知当α＝45°时，每一次“T变换”P点顺时针旋转90°，而点Pn与点P第一次重合，旋转度数为360°的整数倍，故“45﹣T变换”的最优值；当α＝30°时，同理可求；
（2）首先求出∠POP1＝2α，由此可知，当0°≤α≤90°时，每一次“T变换”P点顺时针旋转2α到点P1，故“α﹣T变换”的最优值，即可得出答案；
（3）同理可求∠POP1＝∠MOP1﹣∠MOP＝360°﹣2α+γ﹣γ＝360°﹣2α＜180°，故“α﹣T变换”的最优值，n＝5时，k的最小值为1，即可解决问题．
【详解】本题解答过程规定：以OM为起始位置，逆时针为正方向标记角度，∠MON＝α，∠MOP＝γ，
（1）

如图，当α＝45°时，先以α为对称轴作点P关于α的对称点P'，此时点P'相对起点OM的角度为∠MOP'＝γ+2（45°﹣γ）＝90°﹣γ，
再以b为对称轴作点P'关于b的对称点P1，此时点P1相对起点OM的角度为∠MOP1＝360°﹣（90°﹣γ）＝270°+γ，
∴∠POP1＝∠MOP1﹣∠MOP＝270°+γ﹣γ＝270°＞180°，
∴∠POP1此时以OP为起始位置，顺时针为正方形标记角度，则∠POP1＝90°，
由此可知当α＝45°时，每一次“T变换”P点顺时针旋转90°，
而点Pn与点P第一次重合，旋转度数为360°的整数倍，
故“45﹣T变换”的最优值，

同理可求：当α＝30°时，如图，
∠POP1＝60°，故，
故答案为：4，6；
（2）如图：

先以α为对称轴作点P关于α的对称点P'，此时点P'相对起点OM的角度为∠MOP'＝γ+2（α﹣γ）＝2α﹣γ，
再以b为对称轴作点P'关于b的对称点P1，此时点P1相对起点OM的角度为∠MOP1＝360°﹣（2α﹣γ）＝360°﹣2α+γ，
当0°≤α≤90°时，∠POP1＝∠MOP1﹣∠MOP＝360°﹣2α+γ﹣γ＝360°﹣2α＞180°，
故点P变换到点P1为顺时针旋转，度数为∠POP1＝2α，
由此可知，当0°≤α≤90°时，每一次“T变换”P点顺时针旋转2α到点P1，
故“α﹣T变换”的最优值（k为使n为正整数的正整数），
故答案为：n＝（k为使n为正整数的正整数），
（3）当90°＜α＜180°时，如图：

同理可得：当90°＜α＜180°时，
∠POP1＝∠MOP1﹣∠MOP＝360°﹣2α+γ﹣γ＝360°﹣2α＜180°，
由此可知当90°＜α＜180°时每一次“T变换”P点逆时针旋转360°﹣2α到点P1，
故“α﹣T变换”的最优值（k为使n为正整数的正整数），
n＝5时，k的最小值为1，
∴，
解得：α＝144°，
经检验，α＝144°是原分式方程的解．
【点睛】本题考查轴对称变换以及角的计算以及解分式方程，根据题目给出的规定作出变换，找出角的关系是解题的关键，解分式方程时注意检验．
63．（1）AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝AB，理由见解析；（3）或
【分析】（1）证明△BDF≌OADE，可得BF＝AE，从而证明AB＝AF+AE；
（2）取AB中点G，连接DG，利用ASA证明△GDF≌△ADE，得到GF＝AE，可得AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF；
（3）分两种情况：当点E在线段AC上时或当点E在AC延长线上时，取AC的中点H，连接DH，同理证明△ADF≌△HDE，得到AF＝HE，从而求解．
【详解】（1）

如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD＝BD＝CD，
∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝90°，
∵∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝90°，
∴∠BDF＝∠ADE，
∵BD＝AD，∠B＝∠CAD＝45°，
∴△BDF≌△ADE（ASA），
∴BF＝AE，
∴AB＝AF+BF＝AF+AE；
故答案为：AB＝AF+AE；
（2）

AE+AF＝AB．理由是：
如图2，取AB中点G，连接DG，
∵点G是斜边中点，
∴DG＝AG＝BG＝AB，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∴∠GDA＝∠BAD＝60°，即∠GDF+∠FDA＝60°，
又∵∠FAD+∠ADE＝∠FDE＝60°，
∴∠GDF＝∠ADE，
∵DG＝AG，∠BAD＝60°，
∴△ADG为等边三角形，
∴∠AGD＝∠CAD＝60°，GD＝AD，
∴△GDF≌△ADE（ASA），
∴GF＝AE，
∴AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF，
∴AE+AF＝AB；
（3）

当点E在线段AC上时，如图3，取AC的中点H，连接DH，
当AB＝AC＝5，CE＝1，∠EDF＝60°时，
AE＝4，此时F在BA的延长线上，
同（2）可得：△ADF≌△HDE （ASA），
∴AF＝HE，
∵AH＝CH＝AC＝，CE＝1，
∴，

当点E在AC延长线上时，如图4，
同理可得：；
综上：AF的长为或．
【点睛】本题考查三角形综合问题，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键
64．（1）10；（2）x+1．
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质结合零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用乘法公式以及单项式乘以多项式运算法则化简得出答案．
【详解】（1）原式=9+1=10；
（2）原式=x2﹣2x+1+3x﹣x2
=x+1．
【点睛】此题考查单项式乘以多项式，实数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
65．，．
【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将a=2代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
= ，
当a=2时，原式= ．
【点睛】此题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．
66．证明见解析．
【分析】由平行线的性质和角平分线定义求出∠DAC=∠DCA，即可得出结论．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA．
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴△ADC是等腰三角形．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和平行线的性质是解题的关键．
67．（1）答案见解析；（2）(0，0)．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点C关于x轴的对称点C′，连接AC′与x轴的交点即为所求的点P，根据直线AC'的解析式即可得解．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，作点C关于x轴的对称点C'(﹣2，﹣2)，连接AC'，交x轴于P，
由A、C'的坐标可得AC'的解析式为y=x，
当y=0时，x=0，
∴点P的坐标为(0，0)．
故答案为：(0，0)．
【点睛】此题考查轴对称变换作图，最短路线，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
68．25元．
【分析】设爱国主义读本原价x元，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】设爱国主义读本原价x元，
，
解得：x=25，
经检验，x=25是分式方程的解，
答：爱国主义读本原价25元
【点睛】此题考查分式方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
69．（1）答案见解析；（2）∠BPC的度数为140°．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质即可作点P，使点P到B、C两点的距离相等，且点P到∠BAC两边的距离也相等；
（2）在（1）中，连接PB、PC，根据∠BAC=40°，即可求∠BPC的度数．
【详解】（1）如图，

点P即为所求作的点．
（2）如图，

过点P作PM⊥AC，PN⊥AB于点M、N，
∴∠ANP=∠AMP=90°
∵∠BAC=40°，
∴∠NPM=140°．
∵PB=PC，PN=PM，
∴Rt△BPN≌Rt△CPM(HL)，
∴∠NPB=∠MPC，
∴∠BPC=∠NPM=140°，
∴∠BPC的度数为140°．
【点睛】此题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是根据语句准确画图．
70．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．
【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；
（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE；
（2）如图2，

∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，
记AD与CE的交点为G，
∵∠AGE=∠DGO，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，
∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°，②正确，
在OB上取一点F，使OF=OC，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，
∴∠BCF=∠ACO，
∵AB=AC，
∴△BCF≌△ACO（SAS），
∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，
∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，
连接AF，要使OC=OE，则有OC=CE，
∵BD=CE，
∴CF=OF=BD，
∴OF=BF+OD，
∴BF＜CF，
∴∠OBC＞∠BCF，
∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，
∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，
所以，④不一定正确，
即：正确的有①②③，
故答案为①②③；
（3）如图3，

延长DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠BAC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．