安徽省示范高中2022-2023学年高三上学期第二次联考数学试题（含答案）

数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，则（    ）．

A． B． C． D．

2．已知命题，，则是（    ）．

A．， B．，

C．， D．，

3．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）．

A． B． C． D．

4．角A是的内角，则“”是“，且”的（    ）．

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

5．已知是周期为的奇函数，则可以是（    ）．

A． B． C． D．

6．如图是函数的图象的一部分，设函数，，则是（    ）．

A．   B． C．     D．

7．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ）．

A． B．

C． D．

8．在中，是其中线，且，，则（    ）．

A． B．8 C． D．4

9．已知函数图象的一部分如图所示，则以下四个结论中，正确的是（    ）．

①；②；③是的一个零点；④的图象关于直线只对称．

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

10．已知是定义在R上的函数，，且，则（    ）．

A． B． C． D．

11．在中，，，，角A是锐角，O为的外心．若，其中，则点P的轨迹所对应图形的面积是（    ）．

A． B． C． D．

12．已知函数（，且）有唯一极值点，则a的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，则______．

14．若不等式对任意恒成立，则实数m的最小值是______．

15．在中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量与向量夹角的余弦值为，且，则的取值范围是______．

16．已知函数，其中．若存在实数b，使得关于x的方程有两个不同的实数根，则m的整数值是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知关于x的不等式．

（1）若此不等式的解集是，求a的值；

（2）讨论此不等式的解集．

18．（12分）已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数，使得”．此结论往往称为向量的爪子模型．

（1）给出这个结论的证明；

（2）在的边、上分别取点E、F，使，，连结、交于点G．设，．利用上述结论，求出用、表示向量的表达式．

19．（12分）某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块扇形空地修建一个矩形花园，如图所示．已知扇形角，半径米，截出的内接矩形花园的一边平行于扇形弦．设，．

（1）以为自变量，求出y关于的函数关系式，并求函数的定义域；

（2）当为何值时，矩形花园的面积最大，并求其最大面积．

20．（12分）若函数满足，其中，且．

（1）若，求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性；

（2）若，在时恒成立，求a的取值范围．

21．（12分）如图，在梯形中，，．

（1）若，求周长的最大值；

（2）若，，求的值．

22．（12分）已知函数，．

（1）若曲线在点处的切线方程是，求a的值；

（2）若的导函数恰有两个零点，求a的取值范围．

数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

1．【解析】因为，，

所以．故选A．

2．【解析】全称量词改成存在量词，再否定结论故选C．

3．【解析】因为，，，

所以．故选B．

4．【解析】因为，所以根据三角函数线知，

由“”能推出“，且”，

反之由“，且”能推出“”．故选C．

5．【解析】因为和都是偶函数，所以是偶函数，排除A，B；

是奇函数，且，所以C错误；

是奇函数，且，所以D正确．故选D．

6．【解析】首先考虑函数的奇偶性，发现与都是偶函数，立即排除A、B；

和都是奇函数，C、D之一正确；

当x为正数，且非常小时为负数，显然不符合图象特征，C错误．

故选D．

7．【解析】对A，当且仅当等号成立；

对B，当且仅当等号成立；

对C，当且仅当时等号成立；

对D，当且仅当，即时等号成立，这是不可能的，也就是说等号不成立．

故选D．

8．【解析】．故选B．

9．【解析】显然．

将点工入中，得，．

因为，所以．

又因为是图象的第三个零点，所以，．

因此，

当时，，所以不是零点．

当时，，

所以的图象关于直线对称．故选C．

10．【解析】，

，即8是函数的周期，

．故选B．

11．【解析】因为，，，

所以，．

因此，．

由得．

由题意知，点P的轨迹对应图形是边长为的菱形，．

于是这个菱形的面积．故选A．

12．【解析】由得．

令，，．

若，则，曲线与直线在第一象限有唯一交点，

其横坐标为，在附近异号，因此是函数的唯一极值点，满足条件．

若，则，曲线与直线在第一象限没有交点，不满足条件．

因此a的取值范围是．故选C．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．【答案】2

【解析】由得，，，．

14．【答案】

【解析】

，

当且仅当，即时等号成立．

即的最大值是，．

15．【答案】

【解析】∵，，∴．

∴，∴，

解得或（舍）．

∵，∴．由上可知．

∴．

∵，∴．

∴．即．

∵，∴，

∴的取值范围是．

16．【答案】1或2

【解析】当时，，是增函数．

当时，，也是增函数．

画图可知，当“点在点上方”时，存在实数b，

使直线与曲线有两个交点，即存在实数b，

使得关于x的方程有两个不同的实数根．

所以，解得，2．

三、解答题(17题10分，18-22每题12分，共70分)

17．【解析】(1)由题意知，，2是的两根，

所以，解得，或．

（2）就是，

即．

方程的两根是，．

①当，即时，此不等式的解集是．

②当，即时，此不等式是，解集是．

③当，即时，此不等式是．

18．【解析】先证充分性．

若，

则，，

即，，故M，P，N三点共线．

再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数，使得，

即，，

故．综上知，结论成立．

(2)利用A，G，F和B，G，E共线的充要条件，存在实数，使得，

则，解得．故．

19．【解析】（1）如图，过O作，D为垂足．

交于E，，E为垂足．

在直角三角形中，，．

在直角三角形中，．

于是，

其定义域是．

（2）矩形花园的面积

当，时，S取到最大值，且最大值为平方米．

20．【解析】（1）令，则．所以．

于是．

由得，，解得．

因此函数的解析式是

因为，，

是减函数，是减函数，且

所以是R上的奇函数和减函数．

因为，所以在R上是增函数，

因此也是R上的增函数．由，得．

要使在内恒为负数，只需要，

即，整理得，

解得，或．

故a的取值范围是．

21．【解析】（1）在中，

，

因此，当且仅当时取等号．

故周长的最大值是9．

（2）设，则，．

在中，．

在中，．

两式相除得，，，

即，故．

22．【解析】（1）因为，

所以．

因为曲线在点处的切线方程是，所以．

于是，故．

（2）由得，．

令，，．

用导数知识可以得到的图象，如图所示．

设经过点的直线与曲线相切于点，，

则切线l的方程是．

将点代入就是，，．

因此或．

当或时，

直线与曲线分别有两个交点，即函数恰有两个零点．

故a的取值范围是．

法2：由得，．

显然，所以．

令，且，则．

解方程得．

因此函数在和内单增，

在和内单减，

且极大值为，

极小值为，如图所示。

当或时，

直线与曲线分别有两个交点，即函数恰有两个零点．

故a的取值范围是．