2023届安徽省示范高中培优联盟高三上学期11月冬季联考数学试题（解析版）

2023届安徽省示范高中培优联盟高三上学期11月冬季联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合A中元素，注意它是由整数构成的集合；集合B是函数的定义域，注意真数要大于0，最后求交集.

【详解】

所以.

故选：B.

2．复数，则共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数乘方、模、除法运算求得，进而求得，从而求得的虚部.

【详解】，，，

，

，其虚部为.

故选：D

3．在古代，斗笠作为挡雨遮阳的器具，用竹篾夹油纸或竹叶棕丝等编织而成，其形状可以看成一个圆锥体，在《诗经》有“何蓑何笠”的句子，说明它很早就为人所用.已知某款斗笠如图所示，它的母线长为，侧面展开图是一个半圆，则该斗笠的底面半径为（    ）

A．4 B． C． D．2

【答案】C

【分析】侧面展开图一个半圆，则此半圆的弧长等于底面圆周长，由此求出底面半径.

【详解】设底面半径为，底面圆周长，

斗笠母线长，侧面展开图一个半圆，则此半圆的弧长，

所以，

故选：C.

4．已知数列的前项和为，数列满足，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，则数列的前50项和为（    ）

A．3017 B．3018 C．3065 D．3066

【答案】D

【分析】利用求得，进而求得，根据的构成求得正确答案.

【详解】设，当时，，

当时，，，

，也符合上式，所以，

，

所以，

又，所以的前50项和为：

.

故选：D

5．已知为锐角，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据求得，根据求得，再根据正切的差角公式求解即可.

【详解】因为为锐角，所以

所以，

因为，所以，

.

故选：C.

6．已知定义域为的偶函数的图象是连续不断的曲线，且在上单调递增，则在区间上的零点个数为（    ）

A．100 B．102 C．200 D．202

【答案】A

【分析】结合函数的奇偶性、单调性、周期性和零点的知识求得正确答案.

【详解】令，得，即，

因为为偶函数，所以，

，，

所以是以4为周期的函数，

因为在上单调递增，则在上递减，

所以在一个周期内有两个零点，

故在区间上的零点个数为.

故选：A

7．将函数图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若函数在区间上恰有8个零点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角函数图象变换的知识求得，由在区间上的零点个数列不等式，从而求得的取值范围.

【详解】将函数图象向左平移个单位长度，

得，

再将其图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数，

由，可得，

即，

显然当时，零点在内，

当时，，即；

当时，，即

综上可得，.

故选：B

8．已知函数的5个零点分别为，则的值为（    ）

A．14 B．24 C．60 D．85

【答案】D

【分析】根据零点定义写出，再由多项式乘法法则确定的系数．

【详解】由题意知

所以

故选：D.

二、多选题

9．下图是中华人民共和国国家统计局发布的2012年至2021年居民人均可支配收入（单位：元）的变化情况，则（    ）

A．2012年至2021年，人均年收入逐年上升

B．这10年居民人均年收入的平均数超过23821

C．这10年居民人均年收入的极差为18608

D．这10年居民人均年收入的分位数为30733

【答案】AB

【分析】根据图象对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】根据图象可知：

2012年至2021年，一年比一年高，即人均年收入逐年上升，A选项正确.

这年居民人均年收入的平均数为：

，

所以B选项正确.

这10年居民人均年收入的极差为，故C项错误；

，

所以这10年居民人均年收入的分位数为2019年和2020年居民人均可支配收入的平均值，

即，所以D选项错误.

故选：AB

10．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且都在轴的上方，（为坐标原点），记的面积分别为，则（    ）

A．直线的斜率为 B．直线的斜率为

C． D．

【答案】BC

【分析】结合抛物线定义求出两点的坐标，利用两点坐标求直线的斜率，判断选项A，B，根据三角形面积公式求，判断C，D.

【详解】设，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义可得，

所以，，

所以，故A项错误；B项正确；

，

所以，C正确，D错误，

故选：BC.

11．在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．的最小值为

C．

D．直线与所成角的取值范围是

【答案】CD

【分析】证明平面，由此可得，结合锥体体积公式求三棱锥的体积，判断A；将旋转至平面内，结合平面几何结论判断B；根据正方体与其外接球的关系判断C；根据异面直线夹角的定义判断D.

【详解】对于：因为，平面，平面，所以平面，

又点在线段上运动，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，

所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

由正方体的性质可得平面，

所以，故A错误；

对于B：将旋转至平面内，如图所示，旋转到，

当三点共线时，取得最小值，且最小值为，故B错误；

对于：正方体的外接球是以为直径的球，

线段在该外接球的内部或刚好在外接球上，所以，故C正确；

对于D：因为，异面直线与所成角转化为直线与所成角，

是正三角形，当点与线段的端点重合时，异面直线与所成角取得最小值为，

当点为线段的中点时，所成角取得最大值为，

故异面直线与所成角的取值范围是，D正确.

故选：CD.

12．已知函数，若存在，使得成立，则（    ）

A．

B．的最小值为1

C．当时，的取值范围为

D．当时，的最小值为

【答案】AD

【分析】利用导数分析和的单调性、最值并画出图象，根据图象对选项进行分析，利用构造函数法，结合导数判断出正确选项.

【详解】在上单调递减，

在上，单调递增，的最小值为，

，，在上，单调递减，

在上单调递增，的最小值为，.

画出和的大致图象如下图所示：

由成立，则，故A正确；

当时，的最小值显然不为1，故B错误；

由，可知当或时，

，

令，

当时，，当时，，

所以上单调递减，在上单调递增，

所以，故C错误；

，

令在上单调递减，

在上单调递增，所以，故D正确；

故选：AD

【点睛】求解函数的单调区间、最值或范围等，可利用导数先求得函数的单调区间，然后根据单调区间求得函数的最值或或范围.研究不等式能成立、恒成立问题，可转化为最值问题来求解.

三、填空题

13．已知非零向量满足，且，则与的夹角为__________.

【答案】

【分析】根据题意，对平方，结合，求出向量的夹角的余弦值，即得与的夹角.

【详解】由，平方可得，即，又，

整理可得，所以与的夹角为.

故答案为：.

14．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取1000个零件，并测量其尺寸（单位：）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸服从正态分布，则可估计所抽取的1000个零件中尺寸高于24的个数大约为__________.

（附：若随机变量服从正态分布，则.

【答案】23

【分析】根据正态分布的对称性以及原则求得正确答案.

【详解】由正态分布可知：，

，

尺寸高于22的个数大约为.

故答案为：23

15．已知时，不等式恒成立，则的最大值是__________.

【答案】

【分析】转化不等式，通过构造函数，结合导数研究所构造函数的单调性，由此列不等式来求得的取值范围，进而求得的最大值.

【详解】由题意，可得恒成立，令，

，当时，单调递增，所以，

，当时，单调递增，

当时，单调递减，又，

要使不等式恒成立，必有，即.

故答案为：

【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，关键点在于“划归与转化”，将恒成立的不等式转化后，利用构造函数法，结合导数研究函数的单调性、范围等来对问题进行求解.

16．设双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且直线的倾斜角为的内切圆半径为，则双曲线的离心率为__________.

【答案】

【分析】结合双曲线的定义、圆的切线长定理列方程，化简求得双曲线的离心率.

【详解】如图，设内切圆与分别切于点,

因为在双曲线的右支上，所以，

又，

由切线长定理可知，.

，故点在双曲线上，

所以的内切圆的圆心必在直线上，，

所以，即，解得.

故答案为：

四、解答题

17．在中，角所对的边分别为，满足.

(1)求角；

(2)若，，的面积为，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理、正弦和角公式，以及，即可求出角；

（2）利用三角形面积公式可得，再利用正弦定理可得，即可求出的值.

【详解】（1）解：利用正弦定理得：，

即，

化简得，

由为的内角，得，

可得，

又为的内角，所以.

（2）解：已知，则，

，即①，

由，可得，

，

利用正弦定理可得，，即②

联立①②可得.

18．某校为了庆祝二十大的胜利召开，决定举办“学党史·铭初心”党史知识竞赛.高三年级为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表年级参加学校比赛.已知甲､乙､丙3位同学通过初赛的概率均为，通过初赛后再通过决赛的概率依次为，假设他们之间通过与否互不影响.

(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；

(2)从甲､乙､丙3位同学中随机抽取一名，求他通过决赛的概率；

(3)设这3人中通过决赛的人数为，求的分布列及期望.

【答案】(1)

(2)

(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据对立事件概率的求法求得正确答案.

（2）根据全概率公式求得正确答案.

（3）结合相互独立事件概率计算公式，求得分布列并求得数学期望.

【详解】（1）3人都没通过初赛的概率为，

所以这三人中至少有1人通过初赛的概率.

（2）设随机抽中甲､乙､丙的事件分别记为，甲､乙､丙通过决赛的事件分别记为，随机抽取一名学生，他通过决赛的事件记为，

则，

，

由全概率公式，得

（3）依题意可能取值为.

所以的分布列为：

.

19．如图，直角梯形中，，点为的中点，沿着翻折至，点为的中点，点在线段上.

(1)证明：平面平面；

(2)若平面平面，平面与平面所成的锐二面角为，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法，由平面与平面所成的锐二面角列方程，从而求得.

【详解】（1）由题意可得，，因为，平面，

所以平面，因为平面，所以，

因为，所以，

因为为的中点，所以，

因为平面，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）平面平面，平面平面，

平面，所以平面，

以分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设，设，

，

设平面的法向量为，

，令，

，

同理可求得平面的法向量为，

设平面与平面所成的锐二面角为，

，解得，

所以的值为.

20．已知数列满足.

(1)求证：数列为等比数列；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）化简已知的递推关系式，结合等比数列的定义证得结论成立.

（2）对分成偶数和奇数两种情况进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得正确答案.

【详解】（1）由题意，，且，

所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）可得，

当为偶数时，

，

当为奇数时，

所以数列的前项和.

21．如图所示，为椭圆的左､右顶点，焦距长为，点在椭圆上，直线的斜率之积为.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知为坐标原点，点，直线交椭圆于点不重合），直线交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析，定值为

【分析】（1）根据焦距、直线的斜率之积求得，从而求得椭圆的方程.

（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通过计算直线的斜率之积来证得结论成立，并求得定值.

【详解】（1）由题意，，设，

，由题意可得，

即，可得

又，所以，解得

所以，椭圆的方程为；

（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，且

联立，得

由，得，

所以，

设，由三点共线可得

所以，直线的斜率之积为定值.

22．已知函数，且恒成立.

(1)求实数的最大值；

(2)证明：.（参考数据：）

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求出导函数，令，再一次求导，然后分类讨论，确定单调性与正负，得参数范围；

（2）由（1）有，因此只要证明，令，分类时不等式成立，时，求出导函数，对导函数再求导函数，目的是确定的单调性与正负，从而确定的最值．得证不等式．

【详解】（1）由条件得，

令，则，

①当，即时，在上，，即单调递增，

所以，即，

在上为增函数，，

时满足条件.

②当时，令，

解得，在上，单调递减，

当时，有，即，则在上为减

函数，，不合题意.

综上，实数的最大值为.

（2）由（1）可知，当时，

令

①当时，由题意知，所以成立；

②当时，因为，所以，即

令

设，则，

所以即在上单调递增，所以

故在上单调递增，所以

综上，.

【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立问题，用导数证明不等式，函数不等式的证明，一般转化为求函数的最值，为此可设出新函数，利用导数求函数的最值，对较为复杂的不等式特别是含有参数的函数，如果能利用不等式性质进行放缩，则可放缩为不含参数的不等式，对较为复杂的函数有时需要对导函数再一次求导即多次求导才能确定单调性与最值．