陕西省汉中市某校2022-2023学年高三上学期第一次质量检测数学（文）试题（含答案）

2023届高三第一次质量检测试题（文科数学）

满分：150分         时间：120分钟

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则z的虚部为（       ）

A． B． C． D．

3．已知函数，则（       ）

A．0 B．1 C． D．

4．已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （     ）

A． B． C． D．

5．已知函数是定义在上的偶函数，且上单调递减，设，，，则（       ）

A． B． C． D．

6．已知，则（       ）

A． B． C． D．

7．已知，则随机选取1个，取到的使的概率为（       ）

A． B． C． D．

8．如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，为线段的四等分点，则该圆台的表面积为（       ）

A． B． C． D．

9．若直线与圆交于不同的两点A、B，且，则（       ）

A． B． C． D．

10．在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥外接球的体积等于（       ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的左、右两支分别交于点，若是边长为的等边三角形，则的离心率为（       ）

A． B． C． D．

12．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量满足，，若所成的角为60°，则_________.

14．已知x，y满足约束条件，且的最大值为_________.

15．设函数在点处的切线经过点，则实数_________.

16．过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若点是AC的中点，且，则线段AB的长为___________.

三、解答题：（本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）某小学认真贯彻教育部门“双减”工作的精神，执行相关措施一段时间后，为了解“双减”工作的实际效果，在该校随机抽取了100名小学生，调查他们周末完成作业的时间（以下简称作业时间，单位：h），将统计数据按，，…，分组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)  求直方图中a的值；

(2)  设该校有1200名学生，估计全校学生作业时间不低于2h的人数；

(3)  估计该校学生作业时间的中位数．

18．（12分）已知函数.

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，若锐角A满足，且，求的面积.

19．（12分）如图，直三棱柱中，是的中点，且，四边形为正方形.

（1）求证：平面；

（2）若，，求点到平面的距离.

20．（12分）已知椭圆：的离心率为，且短轴长等于双曲线：的实轴长.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 若A，B为椭圆上关于原点对称的两点，在圆：上存在点P，使得为等边三角形，求直线AB的方程.

21．（12分）已知函数.

(1)讨论函数的单调性

(2)当时，证明不等式成立.（求导公式）

选做题（10分）

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线交于A，两点，若点的坐标为(-1，2)，求.

23．选修4-5：不等式选讲

设函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若的最大值为m，实数a，b满足，求的最小值．

2023届高三第一次质量检测试题（文科数学）参考答案

1．A  2．C   3．D   4．B   5．C    6．A  7．C   8．D  9．A  10．C  11．B  12．A

13．1 ；  14．；  15．；  16．

17．【解析】(1)根据频率分布直方图，，

解得；

(2)样本中作业时间不低于的频率为，

故估计该校1200名学生中，作业时间不低于的人数为；

(3)因为前三组频率之和为，前四组频率之和为，

故中位数在第四组中，设中位数为m，则，解得．

故估计该校学生作业时间的中位数为1.8；

综上，，作业时间不低于的人数为480，估计该校学生作业时间的中位数为1.8.

18．【解析】（1）.

所以最小正周期为.

由（），解得：（），

即的单调递减区间为（）；

（2）由，又因为A为锐角，所以，

由正弦定理可得，又因为，所以，

由余弦定理得，，

所以，所以.

19．【解析】（1）连接，交于点，再连接，

由已知得，四边形为正方形，为的中点，

∵是的中点，∴，又平面，平面，

∴平面；

（2）∵在直三棱柱中，平面平面，且为它们的交线，

又，∴平面，

又∵平面，∴，且，；

同理可得，过作于点，则面，且.

设到平面的距离为，

由等体积法可得：，即，

即，∴.  即点到平面的距离为.

20．【解析】(1) 依题意有，解得，.

∴椭圆的标准方程为

(2)∵点在圆：上，∴

又∵为等边三角形，且为线段的中点，∴，

①当直线的斜率不存在时，，为椭圆的上下顶点，

∴，不符合题意；

②当直线的斜率存在时，设，直线的方程为

联立 解得，

∴，解得,  ∴直线的方程为：

21．【解析】(1)函数的定义域为，，

当时，，在上单调递减，

当时，令，，时，，单调递减，

时，，单调递增，

综上所述，当时，在上单调递减，

当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

(2)  将要证明的不等式变形为，

题目转化为由时，证明，

构造函数，故只需要证明函数在上单调递减即可.

，

令，则，

当时，很显然；故函数在上单调递减，

故，故导函数在上恒成立，

故函数在上单调递减，

∴时，.

22．【解析】 解：（1）直线的参数方程，消去参数，得直线的普通方程为；

由曲线的极坐标方程，得，

所以曲线的直角坐标方程为；

（2）直线的参数方程可写为(为参数)，代入，

得，设A，两点的参数为，则.

所以.

23．【解析】(1)，

由，得或或，

解得，  即不等式的解集为．

(3)  由（1）可得的函数图象如下所示：

所以，即，则，

的几何意义为圆上的点到

点距离的平方，

显然，所以，即的最小值为．