四川省绵阳市三台中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学（理）试题（含答案）

高中2021级第三学期第一学月月考测试

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．

1．直线的倾斜角是（    ）

A．120° B．150° C．60° D．30°

2．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．过点且与直线平行的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

4．圆与圆的公共弦长为（    ）

A．1 B．2 C． D．

5．若P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知两点，，直线过点且与线段AB有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ）

A．  B．

C．  D．

7．已知直线，若此直线在轴，轴的截距的和取得最小时，则直线的方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

8．已知过点的直线与圆交于A，B两点，则当弦AB最短时直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

9．设直线与直线的交点为，则到直线的距离最大值为（    ）

A． B．4 C． D．

10．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

11．已知点为直线上的一点，M，N分别为圆与圆上的点，则的最大值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

12．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上．

13．已知，，三点在同一条直线上，则______．

14．圆上的点到直线距离的最大值是______．

15．经过点且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程是______．

16．过点作直线的垂线，垂足为点，则点到直线的距离的最小值为______．

三、解答题：本大题共6小题，其中第17题10分，其余每小题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知点、．

（1）当时，直线MN的倾斜角为何值？

（2）当m取何值时，直线MN的倾斜角为锐角、直角、钝角?

18．已知的三个顶点分别为，，，求：

（1）AB边上的高所在直线的方程：

（2）的外接圆的方程．

19．已知点，圆．

（1）求过点且与圆相切的直线方程；

（2）若直线与圆相交于，两点，且弦AB的长为，求实数的值．

20．圆过点，，且圆心在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）为圆上的任意一点，定点，求线段PQ中点的轨迹方程．

21．已知圆，直线．

（1）若直线与圆交于不同的两点，，当时，求的值；

（2）若，是直线上的动点，过作圆的两条切线PC，PD，切点为、，探究：直线CD是否过定点．

22．已知线段AB的端点的坐标是，端点A在圆上运动，AB的中点的轨迹为曲线，圆心为的圆经过点．

（1）求曲线的方程，并判断曲线与圆的位置关系；

（2）过轴上一点任作一直线（不与轴重合）与曲线相交于M、S两点，连接BM，BS，恒有，求点坐标．

高中2021级第三学期第一学月月考测试参考答案

数学（理科）

1-12：BADDC CBADC CA

13．5  14．

15．或 16．

12．设，由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：①

AB的中点为，，的中垂线方程为，

即．联立解得

∴的外心为．则，整理得：

②    联立①②得：，或，．

当，时B，C重合，舍去．

∴顶点的坐标是．

16．直线l：，化为，

联立，解得，．

∴直线l经过定点．

线段PM的中点．

∵，

∴点Q在以点G为圆心，以为半径点圆上．

其圆的标准方程为：．

圆心到直线点距离．

∴点Q到直线的距离的最小值为．

17．（1）当时，，，∴，倾斜角为0．

（2）当，即时，倾斜角为直角；

当时，①，

当倾斜角为锐角时，①，解得或，

当倾斜角为针角时，①，解得，

综上所述，当或时，直线MN的倾斜角为锐角；

当时，直线MN的倾斜角为直角；

当时，直线MN的倾斜角为钝角．

18．（1）直线AB的斜率为，AB边上的高所在直线的斜率为，

则AB边上的高所在直线的方程为，即

（2）设的外接圆的方程为

由\{，解之可得

故的外接圆的方程为

19．（1）由圆的方程得到圆心，半径．

当直线斜率不存在时，直线与圆显然相切；

当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即，

由题意得：，解得，

∴方程为，即．

故过点且与圆相切的直线方程为或．

（2）∵弦长AB为，半径为2．圆心到直线的距离，

∴，解得．

20．（1）直线AB的斜率，所以AB的垂直平分线的斜率为1．

AB的中点的横坐标和纵坐标分别为，．

因此，直线的方程为．即．

又圆心在直线上，所以圆心是直线与直线的交点

联立方程组，解得，所以圆心坐标为，

又半径，

则所求圆的方程是．

（2）设线段PQ的中点，，为线段PQ的中点，

则，解得，代入圆中得，

即线段PQ中点的轨迹方程为．

21．解：（1）根据题意，圆的方程为，其半径，

直线与圆交于不同的两点，，若，

则点到的距离，则有，解得：；

（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，

设，以OP为直径的圆的方程为：，

即，

又C、D在圆上，即CD为两个圆的公共弦所在的直线，

则CD的方程为：，即，

令可得：，即直线CD过定点．

22．（1）设点坐标为，，

∵P是线段AB的中点，且，由中点坐标公式得：，即，

又点A在圆上运动，

∴，化简得

所以曲线的方程为：

又圆的圆心为，设圆方程：

又圆经过点，代入圆方程得，

所以圆方程：

两圆的圆心距，

所以曲线与圆的位置关系是外离．

（2）如图所示，若点在圆外，直线与曲线相交的两点M、S在点的同侧，有，

所以点必在圆内．

设点，过点的直线分类讨论斜率存在和不存在两种情况：

当直线的斜率不存在时，由圆的对称性知必有；

当直线的斜率存在时，设直线的方程，联立方程得：

，化简整理得

设，，则，，

由题意知，，则直线MB，SB的倾斜角互补，即

则

将，代入上式可得

所以，化简整理得

即，解得，

所以点坐标为．