数学4.3 等比数列教案

这是一份数学4.3 等比数列教案，共19页。教案主要包含了等比数列的定义及有关公式，等比数列的有关计算性质等内容，欢迎下载使用。
专题4.3 等比数列一、等比数列的定义及有关公式已知等比数列{an}的首项为a1,公比是q,前n项和为Sn,则等比数列定义式=q (n≥2,q≠0且q为常数) 等比中项=(G是a与b的等比中项)通项公式　　　　　　或　　　　　　　　　 前n项和公式当q=1时,Sn= na1 当q≠1时,Sn=　　　　　= 　　　　　 二、等比数列的有关计算性质已知{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和.(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有aman=　　　　. (2)若公比q≠-1,或q=-1且m为奇数,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差数列,其公比为　　　　. 一、an=a1qn-1　     an=amqn-m(n,m∈N*)　   　        　二、apaq　   　qm帮—重点等比数列的定义及公式帮—难点等比数列的有关性质应用帮—易错忽略公比的讨论1．等比数列的定义及有关公式等比数列通项公式：an=a1qn-1　     an=amqn-m(n,m∈N*)等比数列的前n项和公式：当q=1时,Sn= na1 当q≠1时,Sn=　= 设各项均不相等的等比数列的前项和是，若，，则（    ）A． B． C．27 D．36【答案】A【解析】由已知得，公比，所以，知，所以或（舍去），所以．故选：A【名师点睛】先判断，再根据等比数列求和公式求公比，最后再利用等比数列求和公式求结果，本题考查等比数列求和公式，考查基本分析求解能力．已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ）  A． B．C． D．或【答案】D【解析】设公比为,易知.由得,解得或当时,；当时,,所以或,故选：D.【名师点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解方法.2．等比数列的有关性质若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有aman=apaq=ak2. 数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列. 已知数列为等比数列，，且，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】数列为等比数列，，且，可得，所以，∴，又，则．故选：B【名师点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，计算要注意.等比数列的各项均为正数，且，（）.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）已知，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为，∴，由解得：或（舍去）．∴所求通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 所以------------①①2得     2-----②①-②：，．【解题技巧】本题考查等比数列的基本量的计算，错位相减法求数列的前项和，重点考查计算能力.3．忽略公比的讨论　求数列的前n项和．【错解】由于，   两式相减得=.【错因分析】上述解法只适合的情形．事实上，当时，【正解】当时，当时，由于，   两式相减得=.【名师点睛】本题在求解时，一定注意对于等比数列公比的讨论，有时很容易忽略公比为1的情况.1．数列中，，，若是等比数列，则（    ）A．-1或3 B．-1 C．3 D．2．一个等比数列的第项和第项分别是和，则该数列的第项等于（    ）A． B． C． D．3．等比数列中，首项＝8，公比＝，那么它的前5项和的值等于(　 　)A．15.5 B．20      C．15 D．20.754．在等比数列中，，公比，则(    )A．5 B．7 C．9 D．125．等比数列的前n项和为，已知，则A． B． C． D．6．数列对任意的正整数均有，若，，则的可能值为（    ）A．1023 B．341 C．1024 D．3427．已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则（    ）A． B． C． D．8．等比数列中，若，，则______．9．设，是二次方程的两根，且．设，则数列的前项和_________．10．已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.    11．已知各项均不为0的等差数列，满足，数列为等比数列，且，则（    ）A．16 B．8 C．4 D．212．已知正项等比数列中，若存在两项、，使，则的最小值为（    ）A． B． C． D．13．等比数列的前n项和为，若，，，则（    ）A． B． C． D．14．等比数列中（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则15．已知数列满足，，则的前30项之和为（    ）A． B． C． D．16．在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（    ）A．q＝1 B．数列{Sn+2}是等比数列C．S8＝510 D．数列{lgan}是公差为2的等差数列17. 设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，.则下列结论正确的是（    ）A． B． C．的最大值为 D．的最大值为18. 在数列中，，，.（1）证明为等比数列；（2）求.19. 已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．20. 已知数列，，中，其中为等比数列，公比，且，，，.（1）求q与的通项公式；（2）记，求证：.       21.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】记为等比数列的前项和，若，，则      .22. 【2019年高考天津】设是等差数列，是等比数列.已知.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.23. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．24. 【2020年高考天津】已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．25. 【2020年高考浙江】已知数列{an}，{bn}，{cn}满足．（Ⅰ）若{bn}为等比数列，公比，且，求q的值及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若{bn}为等差数列，公差，证明：．26. 【2020年高考山东】已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．      1．【答案】C【解析】设，则 ，，，则，，解得，所以，解得.故选：C2．【答案】B【解析】由已知得，所以数列的公比，所以，故选：B.3．【答案】A【解析】方法一：方法二:故选：A4．【答案】D【解析】根据已知条件，容易得故可得.故选：D.5．【答案】A【解析】设公比为q,则，故选A. 6．【答案】AB【解析】因为数列对任意的正整数均有，所以数列为等比数列，因为，，所以，所以，当时，所以当时，所以故选：AB7．【答案】ABD【解析】由题意，得，解得（负值舍去），选项A正确；，选项B正确；，所以，选项C错误；，而，选项D正确．故选：ABD8．【答案】2【解析】设等比数列的公比为，则，可得，，解得，因此，.故答案为：.9．【答案】【解析】∵，又，∴，，，故．故答案为：10．【答案】(1)；(2).【解析】（1）因为，，成等差数列，所以，所以，所以，因为数列是等比数列，所以，又，所以，所以数列的通项公式.（2）由（1）知， ，，所以.故.11．【答案】A【解析】各项均不为0的等差数列，故选：12．【答案】A【解析】正项等比数列中，，所以.因为，所以.因为，当且仅当，即时取等号，因为、，所以，，所以的最小值为5.故选：A.13．【答案】D【解析】由于在等比数列中，由可得：，又因为，所以有：是方程的二实根，又，所以，故解得：，从而公比那么，故选：D．14．【答案】B【解析】等比数列中，，当时，可得，及，故B正确；但和不能判断大小（正负不确定），故A错误；当时，则，可得，即，可得，由于不确定，不能确定的大小，故CD错误.故选：B.15．【答案】A【解析】因为，所以，所以是公比为2的等比数列，所以，所以.故选：A16．【答案】BC【解析】由题意，根据等比中项的性质，可得a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0，故a2＞0，a3＞0．根据根与系数的关系，可知a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根．解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4．故必有公比q＞0，∴a10．∵等比数列{an}是递增数列，∴q＞1．∴a2＝4，a3＝8满足题意．∴q＝2，a12．故选项A不正确．an＝a1•qn﹣1＝2n．∵Sn2n+1﹣2．∴Sn+2＝2n+1＝4•2n﹣1．∴数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确．S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确．∵lgan＝lg2n＝n．∴数列{lgan}是公差为1的等差数列．故选项D不正确．故选：BC17. 【答案】ABC【解析】，，，，，A.，故正确；B.，故正确；C.是数列中的最大项，故正确．D. 因为，，的最大值不是，故不正确.故选：ABC．18. 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由得，又，所以是以1为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）得，所以，.所以时，..因此，.当时，也满足上式，故.19. 【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为（），因为，则，，，因为是与的等比中项，所以，即，化简得，解得或（舍）所以.（2）由（1）知，，所以，所以.20. 【答案】（1），（2）证明见解析【解析】（1）因为为等比数列，公比，所以，所以，即，解得或（舍），因为，所以，由得，又，所以，所以，所以.（2），所以.21. 【答案】【解析】∵，设等比数列公比为∴∴∴22. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得，解得，故，.所以，的通项公式为，的通项公式为.(Ⅱ)(i).所以，数列的通项公式为.(ii).23. 【答案】(1) ；(2) .【解析】（1）设的公比为，由题设得 即.所以 解得（舍去），.故的公比为.（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以，.可得 所以.24. 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，，可得，从而的通项公式为．由，又，可得，解得，从而的通项公式为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，故，，从而，所以．（Ⅲ）解：当为奇数时，；当为偶数时，．对任意的正整数，有，和．        ①由①得．        ②由①②得，从而得．因此，．所以，数列的前项和为．25. 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）由得，解得．由得．由得．（Ⅱ）由得，所以， 由，得，因此．26.【答案】见解析【解析】（1）设的公比为．由题设得，．解得（舍去），．由题设得．所以的通项公式为．（2）由题设及（1）知，且当时，．所以．