2023届四川省射洪中学校高三上学期第一次月考数学（理）试题含答案

2023届四川省射洪中学校高三上学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】利用复数的运算以及几何意义进行求解判断.

【详解】因为，

所以复数在复平面对应的点为，故A，C，D错误.

故选：B.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接求解作答.

【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

所以命题“，”的否定是：，.

故选：C

3．已知数列为等差数列，，则（    ）

A．8 B．12 C．15 D．24

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质求解即可.

【详解】解：因为数列为等差数列，，

所以，解得，

所以，.

故选：B

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系.

【详解】，，，

∴，

故选：D

【点睛】本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题.

5．“”是“”成立的（    ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合对数函数的性质求解作答.

【详解】，满足不等式，而、无意义，

若，则，必有，

所以“”是“”成立的必要而不充分条件.

故选：A

6．2022年遂宁主城区突发“920疫情”，23日凌晨2时，射洪组织五支“最美逆行医疗队”去支援遂宁主城区，将分派到遂宁船山区、遂宁经开区、遂宁高新区进行核酸采样服务，每支医疗队只能去一个区，每区至少有一支医疗队，若恰有两支医疗队者被分派到高新区，则不同的安排方法共有（    ）

A．30种 B．40种 C．50种 D．60种

【答案】D

【分析】先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，再将剩下的3支医疗队分配到船山区与经开区，最后根据分步乘法原理求解即可.

【详解】解：先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，有种不同的选派方案，

再将剩下的3对医疗队分配到船山区与经开区，有种不同的选派方案，

所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有种.

故选：D

7．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答.

【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；

当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.

故选：C

8．如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】令，由边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出，的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．

【详解】解：如图令，由于，故，，

如图，，故，，

故

同理可求得，即，

所以

所以当时，取得最大值为2，

故选：C．

9．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】探讨函数的性质，再借助性质求解不等式作答.

【详解】函数的定义域为R，，则是R上的偶函数，

当时，在上单调递减，而，

于是得，则，解得或，

所以不等式的解集是.

故选：D

10．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】B

【分析】由为偶函数，结合为奇函数，可得以为周期的函数，从而根据已知的解析式可求出.

【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得，

又为偶函数，所以有：，

所以，有，即

所以，故以为周期，

故．

因为当时，，

所以.

故选：B

11．已知，，且，则的最小值为（    ）

A．10 B．9 C． D．

【答案】C

【分析】由已知，可设，，利用换底公式表示出，带入中，得到m，n的等量关系，然后利用“1”的代换借助基本不等式即可求解最值.

【详解】由已知，令，，

所以，，代入得：，

因为，，

所以

.

当且仅当时，即时等号成立.

的最小值为.

故选：C.

12．若存在，使得函数与的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则的最大值为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设曲线与的公共点为，，利用解得或，又，且，则．再由，得到．设，再由导数求最值得答案．

【详解】解：设曲线与的公共点为，，

，，

，则，

解得或，

又，且，则．

，

，．

设， ，

令，得．

当时，；

当时，．

的最大值为．

故选：．

【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，属于中档题．

二、填空题

13．_________________．

【答案】0.5

【分析】利用对数运算及特殊角的三角函数值求解作答.

【详解】.

故答案为：

14．已知动点在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则的最小值________________．

【答案】

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用斜率的意义计算作答.

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中，

目标函数表示平面区域内的点与定点确定的动直线l的斜率，

当直线l经过点A时，直线l的斜率最小，.

故答案为：

15．函数的所有零点之和为__________．

【答案】9

【分析】根据给定条件，构造函数，，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.

【详解】由，令，，

显然与的图象都关于直线对称，

在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，

观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，

这6个点两两关于直线对称，有，则，

所以函数的所有零点之和为9.

故答案为：9

16．设，若关于x的不等式在上恒成立，则的最小值是________________．

【答案】

【分析】令，分析得出，分、两种情况讨论，可得出，进而可得出，令，利用导数求出函数的最小值，即可得解.

【详解】解：令，则对任意的恒成立，所以，，

①当时，，函数在上单调递增，函数无最大值，不合乎题意；

②当时，令，可得，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，

即，

，

设，令，则，

令，解得，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，因此，的最小值是，

故答案为：

【点睛】方法点睛：根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，分离参数后构造的新函数能直接求出最值进行求解，

三、解答题

17．已知

(1)求集合A和B；

(2)求A∪B，A∩B，

【答案】(1)；

(2)；

【分析】（1）分别解两个不等式，即可得出答案；

（2）根据交集和并集的运算即可得出答案.

【详解】(1)解：解不等式得，所以，

解不等式得，所以；

(2)解：，.

18．已知定义域为的函数为奇函数．

(1)求的值；

(2)，恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）根据奇函数的性质和定义进行求解即可；

（2）根据函数的单调性和奇偶性及一元二次函数的恒成立进行求解即可.

【详解】(1)因为是定义在上的奇函数，

所以，则（经检验，时为奇函数，满足题意）．

(2)因为是奇函数，所以不等式等价于，

又由（1）知，易知是上的减函数，

所以，即对任意的有恒成立，

从而对应方程的根的判别式，解得．

所以的取值范围为．

19．从以下条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并作答.①；②；③且为锐角.在中，内角，，的对边分别为，，，面积为，若， ______，.

(1)求角；

(2)求的周长.

注：如果选多个条件分别作答，则按第一个解答记分.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）选条件①②③分别利用正弦定理或面积公式求出的三角函数值；

（2）选条件①②③，分别利用正弦定理和余弦定理求出的值，即可求得周长；

【详解】(1)选条件①

∵，∴，

又，

∴，故

选条件②

∵，

由正弦定理得：，

又，

∴，即，

又，故.

选条件③

∵且，

∴，即，

又为锐角，故.

(2)根据（1）的结果可得：

∵且，

∴由正弦定理得：，①

又由余弦定理有：，

即，∴，②

由①②解得：，

故的周长.

20．已知数列是等差数列，是数列的前n项和，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据等差数列的性质知，即可求得，结合条件可求得公差，，进而可求得；

（2）根据条件及求得，根据裂项相消法求和.

【详解】解析：（1）因为，所以，

而，设数列的公差为，

则，，

；

（2），

，

.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是等差数列中基本量的计算问题，另外求数列的前项和的求解时利用裂项相消的方法.

21．已知函数.

（1）当时，若的一条切线垂直于轴，证明：该切线为轴.

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由题知，进而得，故设切点为，则，即：，此时，进而得切线方程.

（2）由题得对于恒成立，令，进而研究函数的单调性得当，为减函数；，为增函数，且，即，进而得，故的取值范围是.

【详解】（1）证明：由题可知，

则，

设切点为，则由得，

则，即，

则有，

所以所求切线为，即为轴.

（2）因为，其中，

则对于恒成立，

令，则，

即，

令，则，其中，

则为的增函数，

又因为，，

所以存在，使得，即，

而，

又由于为的增函数，

故，即，

又，，为减函数；，，为增函数，

所以，

故的取值范围是.

【点睛】本题考查导数的几何意义，独立参数解恒成立问题，考查运算求解能力，化归转化能力，是难题.本题第二问解题的关键将问题转化为对于恒成立，进而构造函数，研究函数最小值，结合“隐零点”问题求解.

22．已知曲线的参数方程为：（为参数），（为参数）.

(1)将参数方程化为普通方程；

(2)若点P是曲线上的动点，求P点到的距离的最小值.

【答案】(1)，

(2)1

【分析】（1）曲线的参数方程消去参数，能求出的普通方程；曲线的参数方程消去参数，能求出的普通方程；

（2）求出圆心到直线的距离为，P点到的距离的最小值为.

【详解】(1)已知曲线的参数方程为：（为参数），化为普通方程为：

曲线的参数方程（为参数），化为普通方程为：.

所以圆直线.

(2)圆的圆心为，

所以圆心到直线的距离为，

圆的半径为1，所以点到的距离的最小值为.

所以P点到的距离的最小值为1.

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)记函数的最小值为，若，，均为正实数，且，求的最小值．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）将写为分段函数的形式，然后根据，分别解不等式即可；

（2）由（1）得到，然后由，利用柯西不等式求解.

【详解】(1)解：，

，

或或，

或或，

或，

不等式的解集为或．

(2)由（1）知，，

，，

由柯西不等式，得，

，

当且仅当，即，，时等号成立．

的最小值为．