2023届四川省射洪中学校高三上学期第一次月考数学（文）试题含答案

2023届四川省射洪中学校高三上学期第一次月考数学（文）试题

一、单选题

1．设全集，若集合满足．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由补集的概念得后对选项逐一判断

【详解】由题意得，故B正确

故选：B

2．若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（    ）

A． B． C．3 D．－3

【答案】D

【分析】先化简复数为，可求虚部.

【详解】因为，所以；

所以复数的虚部为.

故选：D.

3．已知R，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解出两个不等式，根据范围判断即可.

【详解】由，得，

由，得，即或；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．已知向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得；

【详解】解：因为，，且，

所以，解得；

故选：D

5．函数的图像是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解.

【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，

故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.

故选：A.

6．如图所示算法框图，则输出的z的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接模拟运行程序即得解.

【详解】,；1；；

；；；；

；；；；

；；；；

；；；；

；；；；

；；；.

故选：C

7．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知函数为上为减函数，可知函数为减函数，且，由此可解得实数的取值范围.

【详解】由题意知函数是上的减函数，于是有，解得，

因此，实数的取值范围是．

故选：B.

【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.

8．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据函数定义域的性质进行求解即可.

【详解】因为函数的定义域是，所以有：.

故选：A

9．若，则的大小关系是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.

【详解】，

因为在R上为减函数，所以，

因为在上为增函数，所以，所以，

所以，

故选：D.

10．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图象平移变换与奇偶性，可得函数的对称性，可得答案.

【详解】图象向右平移2个单位，可得的图象，且是奇函数，

的图象关于点成中心对称，，

图象向右平移1个单位，可得的图象，且是偶函数，

的图象关于直线成轴对称，

由对称性，对称轴直线关于成中心对称的直线为，

对称中心关于直线成轴对称的点为，即.

故选：A.

11．已知函数有两个不同极值点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】函数有两个不同极值点有两个不同解有两个不同交点，用导数法，求出相切时对应的，即可根据图形得出范围

【详解】，函数有两个不同极值点有两个不同解有两个不同交点.

如图所示，与切于点，故，又，综上可解得，故当时有两个不同交点，

故选：C

12．已知函数，若对，使得，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先求出函数f(x)的值域，运用导函数求出函数g(x)的单调性和值域，再根据已知条件结合得到不等式组，即可得到答案.

【详解】解：因为，所以的值域为，，

当时，在上单调递减.

当时，由时得到，

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增.得，

又时，，由题意，得，得.

故选：C.

二、填空题

13．已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的前5项积为______．

【答案】

【分析】先根据等比中项的性质求出，便可求出前五项积.

【详解】解：由题意得：

根据等比数列性质得

∴，

∴．

故答案为：

14．计算______．

【答案】

【解析】由二倍角公式和诱导公式可得答案.

【详解】.

故答案为：.

15．若变量满足约束条件，则的最大值为_______.

【答案】3

【分析】作出可行域，数形结合求解

【详解】作出可行域如图所示，数形结合可得，当直线过时，取得最大值3，

故答案为：3

16．函数的图像与函数()的图像所有交点的横坐标之和为_______.

【答案】

【分析】由已知可得函数的图像与函数()的图像均关于点对称，画出函数图像，结合图像可求得结果

【详解】作的图像，则函数关于点对称，

同时点也是函数()的对称点，

由图像可知，两个函数在上共有个交点，两两关于点对称，

设对称的两个点的横坐标分别为、，则+，

∴个交点的横坐标之和为.

故答案为：16

【点睛】此题考查三角函数对称性的应用，考查数形结合思想，属于中档题

三、解答题

17．已知等差数列的前n项和为，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，根据等差数列的定义以及通项公式，可得答案；

（2）由题意，根据裂项相消的求和方法，可得答案.

【详解】(1)由题意得：，所以是公差为2的等差数列，则；

(2)由题知

则

18．向量，，，设函数．

(1)求的表达式并写出其单调递减区间；

(2)若方程在上有两个根、，求的取值范围及的值．

【答案】(1)，单调递减区间为，

(2)，的值为或

【分析】（1）首先根据题意得到，再求其单调减区间即可；

（2）首先画出函数在的图象，再结合图象求解即可.

【详解】(1) ．

令，解得，

所以的单调递减区间为，

(2)函数在的图象如下所示：

因为方程在上有两个根、，

所以.

由图可知，当时，，即

当时，，即

所以或.

19．在△中，内角所对的边分别是，已知，，.

(1)求的值；

(2)求△的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解；

（2）先用同角三角函数关系式求出，再用三角形面积公式求解即可.

【详解】(1)由余弦定理可得

，即，

解得，

(2)∵，且，

∴,

由得，,

∴.

故△的面积为.

20．已知函数.

（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【分析】（I）求得函数的导数，由此求得切线的斜率，再求得切点的坐标，进而求得切线方程.（II）将原不等式分离常数，得到，构造函数，利用导数求得的最大值，由此求得的取值范围.

【详解】（Ⅰ）依题意，，故.，而.

故所求切线方程为，即.

（Ⅱ）由得.

即问题转化为当时，.

令，，则.

由及，得.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以当时，.

所以.即实数的取值范围为.

【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查恒成立问题的求解策略，考查利用导数求函数的最大值的方法，综合性较强，属于中档题.

21．已知函数（且）为定义在上的奇函数.

(1)利用单调性的定义证明函数在上单调递增；

(2)求不等式的解集.

(3)若函数有零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明过程见解析；

(2)

(3)

【分析】（1）根据求出，求出，利用函数定义法判断函数的单调性；

（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式；

（3）参变分离为有根问题，求出的值域，从而求出，求出实数的取值范围.

【详解】(1)由题意得：，解得：，

，

任取，且，

则因为，且，

所以，，

所以，故

所以函数在上单调递增；

(2)，

即，

因为为定义在上的奇函数，

所以，

因为为定义在上单调递增，

所以，

解得：或，

所以解集为：；

(3)有零点，

当时，，没有零点，不合题意，舍去；

当时，即有根，

其中当时，，，，

故，

又因为在R上为奇函数，

所以当时，，

且，

所以在R上的值域为，

故，

解得：，

所以实数的取值范围为.

22．已知极坐标系与直角坐标系的极点与原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，有相同的单位长度.在直角坐标系中，曲线S的参数方程为（为参数），直线l过点.

(1)求曲线S极坐标方程；

(2)若直线l与曲线S交于A､B两点，求的最小值及最小值时直线l的方程.

【答案】(1)

(2)的最小值为4，最小值时直线l的方程为

【分析】（1）将曲线的参数方程消去参数化为普通方程，再根据将直角坐标方程化为极坐标方程；

（2）首先判断点与的位置关系，即可得到当时最小，利用勾股定理及垂径定理求出弦长，再根据两直线垂直求出直线方程.

【详解】(1)解：（1）将曲线的参数方程（为参数）的参数消去，得曲线S的普通方程为，即.

将代入上述方程，得曲线S极坐标方程为.

(2)解：由（1）知在直角坐标系中曲线S是以为圆心，半径为3的圆，且，即点在内.

∴当时最小.

∵，

∴.

∵.

∴直线l方程为，即.

∴的最小值为4，最小值时直线l的方程为.

23．已知.

(1)求的最小值；

(2)求不等式的解集.

【答案】(1)6.

(2)或.

【分析】（1）讨论得出函数的解析式，分段求得函数的值域，从而可求得的最小值；

（2）由（1）得函数的解析式，分别讨论建立不等式组，求解即可.

【详解】(1)解：因为，所以，

当时，；

当时，；

当时，；

当时，.

∴（时，），即得最小值是6.

(2)解：由（1）得不等式等价于下面的不等式组:

①或②或③或④

由①得，由②得，由③得，由④.

∴不等式得解集为或.

所以不等式的解集为或.