2022届河南省高三下学期5月普通高校招生统一考试猜题压轴卷（AA）理科数学试题含解析

河南省2022年普通高校招生全国统一考试猜题压轴卷（AA）

文科数学

本试卷满分150分，考试用时120分钟．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则中的元素个数为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

2．设i是虚数单位，，则实数x＝（    ）

A．－2 B．－1 C．1 D．0

3．已知双曲线C：的一个焦点为，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

4．在人口普查时，某市对所属A，B，C，D四个辖区的外来人口进行统计，根据统计，2020年该市外来人口是2015年的1.5倍，且这两年四个辖区的外来人口占该市外来人口的百分比如下图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．与2015年相比，2020年A区外来人口数量有所减少

B．与2015年相比，2020年B区外来人口数量增加了90%

C．2020年C区外来人口数量与2015年相同

D．与2015年相比，2020年D区外来人口数量有所增加

5．“”是“”的（    ）

A．充要条件  B．必要不充分条件

C．充分不必要条件  D．既不充分也不必要条件

6．已知函数，且，则（    ）

A．2 B．3 C．－2 D．－3

7．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知M是抛物线上一点，F为其焦点，，则的最小值为（    ）

A．10 B．9 C．8 D．7

9．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＋b＝8，，，则△ABC的面积为（    ）

A． B． C． D．

11．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合创新，给出下面问题：

现有100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答对第四题，88人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得奖品，则获得奖品的人数至少为（    ）

A．70 B．75 C．80 D．85

12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，，则异面直线PA与MN所成角的大小是（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，且，则实数m＝______．

14．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数与平均数的和为______．

15．已知函数在处取得最大值，且，若函数在上是单调的，则的最大值为______．

16．若函数与函数的图象有公切线，则实数a的取值范围是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

疫情过后，为了更好地刺激经济复苏，某地政府出台支持“地摊经济”的政策．该地政府对所在城市约1200个流动摊贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品类等，各类流动摊贩所占比例如图．

（1）该地政府为了更好地服务百姓，打算随机抽取60个摊贩进行政策问询．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类摊贩各多少家？

（2）为了更好地了解摊贩的收入状况，工作人员还对某果蔬摊贩最近20天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图．

①请根据频率分布直方图估计该果蔬摊贩的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

②若从该果蔬摊贩的日收入不低于150元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天不低于200元的概率．

18．（12分）

已知等差数列的前n项和为，，，且，，成等比数列．

（1）求和；

（2）设，数列的前n项和为，求证：．

19．（12分）

如图，在直三棱柱中，底面ABC是等边三角形，D为BC的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求点A到平面的距离．

20．（12分）

已知椭圆E：的离心率为，，为其左、右焦点，左、右顶点分别为A，B，过且斜率为k的直线l交椭圆E于M，N两点（异于A，B两点），且的周长为8．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若P为椭圆上一点，O为坐标原点，OP⊥MN，求的取值范围．

21．（12分）

已知函数．

（1）当a＝－1时，证明：函数有两个零点；

（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，直线l经过点，且倾斜角为135°，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为．

（1）写出曲线C的直角坐标方程并说明表示什么曲线；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

已知，．

（1）当a＝2时，求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为4，求实数a的值．

参考答案

1．C  ，所以，共3个元素．

2．D  ，所以x＝0．

3．B  ∵双曲线的一个焦点为，∴2m＋1＝9，可得m＝4，故双曲线的离心率．

4．D  设2015年该市外来人口数量为x，则2020年该市外来人口数量为1.5x．因为，所以A项不正确；

因为，所以B项不正确；

因为，所以C项不正确；

因为，所以D项正确．

5．C  当时，，当时，，．

故“”是“”的充分不必要条件．

6．D  设，因为，所以为奇函数，因为，所以，则．

7．A  由题意得是奇函数，其图象关于原点对称，故排除C，D项，

当x＝1时，，故排除B项．

8．B  过M作直线y＝－3的垂线，垂足为N，根据抛物线的定义可知，故的最小值即为的最小值，过点C作直线y＝－3的垂线，与抛物线的交点就是所求点M，此时，故最小值为9．

9．A  将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的体对角线长为．

∵正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，

∴外接球的体积为．

10．C  依题意，，即，

故，故，

即．因为，所以．

由余弦定理得，即，即，则ab＝12，

则△ABC的面积．

11．B  由题意知，一共回答了500道题，其中回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．

由于答对3道题以上（包括3道题）的人可以获得奖品，即答错3道题及以上的人没有奖品，

故最多会有人没有奖品，故获得奖品的人数至少为75．

12．A  如图，连接AC，并取其中点为O，连接OM，ON．

则，，所以∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角或其补角．

由MN＝BC＝4，，得OM＝2，，MN＝4，

则，所以∠ONM＝30°．

所以异面直线PA与MN所成的角的大小是30°．故选A．

13．2  由已知得，则，得m＝2．

14．183  ∵这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，

∴中位数是，平均数．

∴这组数据的中位数与平均数的和为183．

15．  由题意，函数满足，，可得，，两式相减得，其中，解得，又由，可得，即，解得，故m的最大值为8，此时取得最大值．

16．  设公切线与函数的图象切于点，则切线方程为；

设公切线与函数的图象切于点，

则切线方程为，所以有

∵，∴．又，

令，∴，．

设，则，

∴在上为减函数，则，∴，即，

所以实数a的取值范围是．

17．解：（1）由题意知，小吃类摊贩所占比例为1－25%－15%－10%－5%－5%＝40%，

按照分层抽样的方式抽取，应抽取小吃类摊贩为（家），

玩具类摊贩为（家）．

（2）①该果蔬摊贩的日平均收入为

（元）．

②该果蔬摊贩的日收入不低于150元的天数为9，其中日收入不低于200元的有3天，记日收入不低于200元的3天依次为，，，其余6天依次为，，，，，，

从中随机抽取两天的所有可能情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36种．

其中至少有一天日收入不低于200元的所有可能情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种．

所以这两天的日收入至少有一天不低于200元的概率为．

18．解：（1）设等差数列的公差为，

因为，是与的等比中项，

所以，即，解得d＝2或d＝0（舍去），

所以，．

（2）因为，

所以．

因为单调递增，所以．

综上可得，．

19．（1）证明：连接，交于点E，连接ED．

因为D，E分别是BC，的中点，所以．

又平面，平面，

所以平面．

（2）解：在△ABC中，AB＝2，D为BC的中点，所以．

在直三棱柱中，平面ABC，又平面ABC，所以．

所以，得．

在中，，DB＝1，，所以．

在中，，，，

由余弦定理得，

所以，．

因为平面，所以．

又因为，

三棱锥的高为，

所以三棱锥的体积．

设点A到平面的距离为d，所以，

解得，所以点A到平面的距离为．

20．解：（1）依题意知，即a＝2c，又的周长为8，即a＝2，c＝1，

因此椭圆的方程为．

（2）设直线l的方程为，且，

联立消去y可得，

则，，

所以．

设直线OP的方程为，联立解得或

不妨设，

所以．

故，令，，

则，由，得．

21．（1）证明：当a＝－1时，，，

，在上单调递增，

又，，∴，

又在上单调递增，∴存在唯一的，使得．

∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．

又，，∴，函数在区间上有唯一零点．

又，，，

∴，又函数在区间上单调递减，

∴函数在区间上有唯一零点．

综上所述，函数有两个零点．

（2）解：令，

当a＝0时，，

∴在恒成立，

∴在为增函数，∴，∴不恒成立，

∴a＝0不成立；

当时，∵，∴只需在恒成立，

记，，

∴．

令，得，．

若，则，∴对恒成立，

∴为增函数，∴，不合题意；

若，时，，

∴为增函数，∴，不合题意；

若，当时，，

∴为减函数，∴，符合题意．

综上所述，实数a的取值范围是．

22．解：（1）因为，，即，

即，所以曲线C是以为圆心，2为半径的圆．

（2）直线l的参数方程为（t为参数），

将直线l的参数方程代入曲线C的方程中，可得，

由韦达定理得，，

．

所以的值为2．

23．解：（1）当a＝2时，，

当时，，此时解，得；

当时，，此时解，得；

当时，，此时解，得．

综上，不等式的解集为．

（2），

当且仅当，时等号成立．

由，得或．