2022届百所名校普通高校招生全国统一考试猜题压轴卷理科数学试题及答案

2022年普通高校招生全国统一考试猜题压轴卷（A）

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知，则（    ）

A．2 B．－2 C． D．

4．笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即文房四宝．“笔、墨、纸、砚”之名，起源于南北朝时期．历史上，“笔、墨、纸、砚”所指之物屡有变化．在宋朝时，“笔、墨、纸、砚”特指宣笔（安徽宣城）、徽墨（安徽徽州歙县）、宣纸（安徽宣城泾县）、歙砚（安徽徽州歙县）、洮砚（甘肃卓尼县）、端砚（广东肇庆，古称端州）。若从宋朝特指的六种文书工具中任取两种，则这两种恰好都是产自安徽的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（    ）

A．32 B．16 C．8 D．4

6．若直线与圆交于不同的两点A、B，且，则（    ）

A． B． C． D．

7．在矩形ABCD中，，点E，F分别是AB，CD的中点，沿EF将四边形AEFD折起，使，若折起后点A，B，C，D，E，F都在球O的表面上，则球0的表面积为（    ）

A．64π B．72π C．84π D．96π

8．已知抛物线的焦点为F，点为抛物线C上的一点，且，点B是抛物线C上异于点A的一点，且A，F，B三点共线，则（    ）

A． B． C． D．

9．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形ABCD，若四边形ABEF的面积为7，则（    ）

A． B． C． D．

10．如图，在长方体中，，M，N分别为棱，的中点，有以下判断：

①AM，NB是异面直线；

②平面ADM；

③直线BN与所成角的大小为60°；

④二面角的大小为．

其中所有正确的判断是（    ）

A．①② B．①③ C．①③④ D．②④

11．已知函数，若存在满足，且，则m的最小值为（    ）

A．10 B．8 C．6 D．5

12．已知正方形的四个顶点都在函数图象上，且函数图象上的点都满足，则这样的正方形最多有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中的x的系数是______．

14．设函数在点处的切线经过点，则实数______．

15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且，则双曲线C的离心率为______．

16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若的面积，则ab的最小值为______．

三解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

在数列中，，数列的前n项和满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

18．（12分）

如图，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为的中点．

（1）求证：PC⊥AB；

（2）设直线PC与平面PAB所成的角为，求．

19．（12分）

已知椭圆经过两点和．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在点Q，使得直线QA与直线QB的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（12分）

已知函数．

（1）当时，证明：；

（2）若函数的图象恒在直线的下方，求实数a的取值范围．

21．（12分）

为了贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校决定学习外校经验在本校推广跳绳运动．为掌握学生1分钟的跳绳情况，按照男女比例利用分层抽样抽取了100名学生进行计分测试，得到如图所示的频率分布直方图，计分规则如表1：

表1

（1）规定：学生1分钟跳绳得分10分为满分，在抽取的100名学生中，其中女生有54人，男生跳绳个数大于等于180的有26人，根据已知条件完成表2，并根据这100名学生的测试成绩，判断能否有95%的把握认为学生1分钟跳绳成绩满分与性别有关．

表2

附：

参考公式，．

临界值表：

（2）根据外校往年经验，学生经过一年的训练，每人每分钟跳绳个数都有明显进步．假设经过一年训练后，每人每分钟跳绳个数比开始时个数增加10，全年级恰有2000名学生，所有学生的跳绳个数X近似服从正态分布（用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，各组数据用中点值代替）．

①估计经过一年训练后，1分钟跳绳个数在内的人数；（结果四舍五入到整数）

②若在经过一年训练后，发现①中的数据是正确的，且其中有136人是男同学，现按照男女比例利用分层抽样抽取6名1分钟跳绳个数在内的同学，并在这6名同学中抽取3人，记男同学的人数为，求的分布列．

附：若随机变量X服从正态分布，则，，．

参考数据：标准差．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

已知曲线C的极坐标方程为，直线，直线．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，

（1）求直线，的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；

（2）已知直线与曲线C交于O，A两点，直线与曲线C交于O，B两点，求的周长．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若直线与函数的图象有公共点，求实数k的取值范围．

2022年普通高校招生全国统一考试猜题压轴卷

理科数学参考答案、提示及评分细则

（A）

1．B 易知，故．

2．D 由题意知复数，则．

3．A 由，可得，所以．

4．C 由题意可知宋朝“笔、墨、纸、砚”有6种，其中4种产自安徽，从6种当中选2种，共有15种情况，且每种情况发生的概率相同，其中两种全部来自安徽的情况共有6种，所以所求概率为．

5．B 当时，进入循环，，；当时，再次进入循环，，；当时，再次进入循环，，．所以当时应跳出循环，故输出b的值为16．

6．A 设圆心O到直线l的距离为d，由知．又由垂径定理可知，故，即，故．

7．C 易得，都是边长为6的正三角形，设的中心为，的中心为，则球心O为线段的中点，易求得，，所以球O的半径，所以球O的表面积为．

8．A 由，解得．则抛物线，，，设，因为A，F，B三点共线，所以，解得（舍去），故，．

9．C 设正方形ABCD的边长为a，则阴影部分面积，所以，．

10．B 由图易得AM，BN是异面直线，故①正确；平面，显然BN与平面ADM不平行，故②错误；取CD的中点O，连接BO，ON，可知三角形BON为等边三角形，故③正确；由题意知AD⊥平面，故二面角的平面角为，而，故④错误．

11．C ∵对任意，都有，要使m取得最小值，尽可能让取得最值点，考虑，，按下图取值可满足条件，∴m的最小值为6．

12．B 设函数，则函数是R上的奇函数，且在R上单调递增．由已知可得，所以，所以，即，其对称中心为原点O，所以正方形的中心为原点O．设正方形ABCD的对角线AC所在的直线为，由得，所以，同理可得，由，得，即．令，则，所以或，所以这样的正方形最多有2个．

13．280 二项式的展开式的通项是，令，解得．故的展开式中的x的系数是．

14． ，，又，所以函数在点处的切线方程为，把点代入可得．

15． 如图，因为，则取AB中点M，连接，可得，设，因为，则，又因为，则，，则．则．在中，，在中，，所以，解得．因为直线l的斜率为，所以，所以，，所以离心率．

16．48 因为，由余弦定理得，整理得，所以．又因为，所以，因为，所以．由余弦定理可得，所以．因为，所以，解得．当且仅当时，等号成立，所以ab的最小值为48．

17．解：（1）因为，所以．

所以当时，．

两式相减，得，

即．

所以．

相减得，

即．

所以数列是等差数列．

当时，，解得．

所以公差．

所以．

（2），

当n为奇数时，；

当n为偶数时，．

综上所述，

18．（1）证明：由题意知PO⊥平面AOB，所以PO⊥AB．

又点C为的中点，所以OC⊥AB，，所以AB⊥平面POC，

又平面POC，所以PC⊥AB．

（2）解：以O为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，

所以，，．

设平面PAB的法向量为，则取，可得平面PAB的一个法向量为，

所以．

19．解：（1）由题意，知

解得

所以椭圆C的方程为．

（2）若存在满足条件的点．

当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程是，联立，

消去y得．

设，，则，

∵

，

∴要使对任意实数为定值，则只有，此时，．

当直线l与x轴垂直时，若，也有．

故在x轴上存在点，使得直线QA与直线QB的斜率的和为定值0．

20．解：（1）当时，．

欲证，即证，

即证．令，

则．当时，，当时，，

所以函数的最大值为，故，

所以．

（2）函数的定义域为，，

令，，当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数的最大值为．由题意知，，，即实数a的取值范围是．

21．解：（1）在抽取的100人中，满分的总人数为，

男生满分的有26人，所以女生满分的有22人，

男生共有46人，女生共有54人，所以男生跳绳个数不足180的有人，女生跳绳个数不足180的有人，

完成的表2如下表所示：

由公式可得，因为，

所以没有95%的把握认为学生1分钟跳绳成绩满分与性别有关．

（2）①根据频率分布直方图可得训练前的跳绳个数的平均数为，

而，所以经过一年训练后，，故X服从正态分布，

且，，，，

则，

所以，故经过一年训练后，1分钟跳绳个数在内的人数约为272．

②由①知，总人数为272，男同学有136人，故抽取的6人中应该为3男3女．

那么，，，，

则的分布列为

22．解：（1）依题意，直线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为．

由，得．

∵，，，

∴，即，

曲线C的参数方程为（为参数）．

（2）由得，

由得，

又，由余弦定理可得，∴的周长．

23．解：（1）不等式即为，

∴或或

解得或或，综上可得，

∴不等式的解集为．

（2）由（1）得

作出函数的图象，如图所示：

由于直线过定点，

当此直线经过点时，可得；当此直线与直线AD平行时，可得．

结合图象可知，当直线与函数的图象有公共点时，或．

故实数k的范围为．