2022届百所名校普通高校招生全国统一考试猜题压轴卷文科数学试题及答案

2022年普通高校招生全国统一考试猜题压轴卷（A）

文科数学

本试卷满分150分，考试用时120分钟．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知条件p：直线2x＋y－4＝0与直线平行，条件q：a＝1，则p是q的（    ）

A．充要条件  B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

4．笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即文房四宝．“笔、墨、纸、砚”之名，起源于南北朝时期．历史上，“笔、墨、纸、砚”所指之物屡有变化．在宋朝时，“笔、墨、纸、砚”特指宣笔（安徽宣城）、徽墨（安徽徽州歙县）、宣纸（安徽宣城泾县）、歙砚（安徽徽州歙县）、洮砚（甘肃卓尼县）、端砚（广东肇庆，古称端州）．若从宋朝特指的六种文书工具中任取两种，则这两种恰好都是产自安徽的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（    ）

A．32 B．16 C．8 D．4

6．如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，有下列三个判断：

①直线与BN是异面直线；

②AD⊥平面；

③BN∥平面ADM．

则上述判断中正确的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

7．若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．在矩形ABCD中，AB＝2AD＝12，点E，F分别是AB，CD的中点，沿EF将四边形AEFD折起，使∠AEB＝60°，若折起后点A，B，C，D，E，F都在球O的表面上，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

9．已知抛物线C：的焦点为F，点为抛物线C上的一点，且，点B是抛物线C上异于点A的一点，且A，F，B三点共线，则（    ）

A． B． C． D．

10．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形ABCD，若四边形ABEF的面积为7，则（    ）

A． B．－4 C． D．－2

11．已知函数，若存在，，…，满足，且，则m的最小值为（    ）

A．10 B．8 C．6 D．5

12．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且，则双曲线C的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某快递驿站统计了近期每天代收快件的数量，并制成如下图所示的频率分布直方图．

则该快递驿站每天代收包裹数量的中位数为______．

14．已知不等式组表示的平面区域为，则直线被截得的线段长度的最大值为______．

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，，则角B的大小为______．

16．已知函数为奇函数，且对定义域内的任意x都有．当时，．给出以下4个结论：

①函数的图象关于点成中心对称；

②函数是以2为周期的周期函数；

③当时，；

④函数在上单调递减．

其中所有正确结论的序号为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

在数列中，，数列的前n项和满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

18．（12分）

如图，四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，，E是SD上的点，且．

（1）求证：AC⊥BE；

（2）若点B到平面ACE的距离为，求实数的值．

19．（12分）

某校体育教研组研发了一项新的课外活动项目，为了解该项目受欢迎程度，在某班男生女生中各随机抽取20名学生进行调研，统计得到如下列联表：

（1）根据题目要求，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”；

（2）为了了解喜欢该活动与年级的关系，已知该校高一、高二、高三的学生分别为3600人，2400人，1200人，按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少1人是高一学生的概率．

附：

参考公式：，n＝a＋b＋c＋d．

临界值表：

20．（12分）

已知函数．

（1）当时，证明：；

（2）若函数的图象恒在直线y＝1的下方，求实数a的取值范围．

21．（12分）

已知椭圆C：的离心率为，长轴右端点到左焦点的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是圆O：上的一点，过P作圆O的切线l，且切线l与椭圆C交于A，B两点，证明：OA⊥OB．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

已知曲线C的极坐标方程为，直线：，直线：．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．

（1）求直线，的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；

（2）已知直线与曲线C交于O，A两点，直线与曲线C交于O，B两点，求△AOB的周长．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若直线y＝kx－2与函数的图象有公共点，求实数k的取值范围．

参考答案

1．B  易知，故．

2．D  由题意知复数z＝－1＋2i，则．

3．A  若直线2x＋y－4＝0与直线平行，则，故a＝1或．

当a＝1时，即为2x＋y－1＝0，此时直线2x＋y－4＝0与直线平行；当时，为，即2x＋y－4＝0，此时直线2x＋y－4＝0与直线重合．故p是q的充要条件．故选A．

4．D  由题意可知宋朝“笔、墨、纸、砚”有6种，其中4种产自安徽，从6种当中选2种，共有15种情况，且每种情况发生的概率相同，其中两种全部来自安徽的情况共有6种，所以所求概率为．

5．B  当a＝2时，进入循环，b＝2，a＝3；当a＝3时，再次进入循环，，a＝4；当a＝4时，再次进入循环，，a＝5．所以当a＝5时应跳出循环，故输出b的值为16．

6．C  由图易得，BN是异面直线，AD⊥平面，①②正确；

BN∥平面，BN与AD不平行，显然BN与平面ADM不平行，故③错误．

7．A  由题知，而，所以，且．

因为关于x的不等式有实数解，所以．

8．C  易得△ABE，△DCF都是边长为6的正三角形，设△ABE的中心为，△DCF的中心为，则球心O为线段的中点，易求得，，所以球O的半径，所以球O的表面积为．

9．A  由，解得．则抛物线C：，，，

设，因为A，F，B三点共线，所以，解得（b＝1舍去），

故，．

10．D  设正方形ABCD的边长为a，则阴影部分面积，所以a＝4，．

11．C  ∵对任意，，都有，要使m取得最小值，尽可能让取得最值点，考虑，，按下图取值可满足条件，∴m的最小值为6．

12．B  如图，因为，则取AB中点M，连接，可得，

设，因为，则，

又因为，则，，

则，则．

在中，，在中，，

所以，解得．因为直线l的斜率为，

所以，所以，，

所以离心率．故选B．

13．260  由题意知每天代收快件数量的中位数为．

14．  由约束条件作出不等式组表示的平面区域如图（阴影部分），作出直线l：2x＋y＝0，将直线l平移经过直线x＋y＝2与直线x＝3的交点时，直线被截得的线段长度最大，此时直线l与直线y＝x的交点，所以．

15．  由，得，则由余弦定理有．又，所以．由正弦定理得，解得，又，，所以．

16．①②③  由题设为奇函数，其图象关于原点中心对称，又对定义域内的任意x都有，所以其图象还关于点对称，据此可判断函数为周期函数，2是函数的周期．又当时，，画出函数图象可知①②正确，④错误．

当时，，所以，又因为函数是以2为周期的奇函数，所以，所以，所以③也正确．

17．解：（1）因为，所以．

所以当时，．

两式相减，得，

即．

所以．

相减得，

即．

所以数列是等差数列．

当n＝1时，，解得．

所以公差．

所以．

（2），

当n为奇数时，；

当n为偶数时，．

综上所述，

18．（1）证明：连接BD，由底面ABCD是正方形，可得AC⊥BD．

∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，又，∴AC⊥平面SBD．

∵平面SBD，∴AC⊥BE．

（2）解：设点B到平面ACE的距离为h．

△ABC的面积，

故三棱锥E－ABC的体积．

，

△AEC的面积，

故三棱锥B－AEC的体积．

由可得，解得，又，

∴，解得．

即实数的值为．

19．解：（1）完成2×2列联表如下：

将a＝15，b＝5，c＝8，d＝12代入，得，故有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”．

（2）从7200人中按照分层抽样的方法随机抽取6人，则高一、高二、高三分别抽取的人数为3，2，1．

记3名高一学生为，，，2名高二学生为，，1名高三学生为，

抽取的全部结果为，，，，，，，，，，，，，，，共15种．

至少1人是高一的有，，，，，，，，，，，，共12种．

所以至少1人是高一学生的概率为．

20．解：（1）当时，．

欲证，即证，

即证．令，

则．当时，，当时，，

所以函数的最大值为，故，

所以．

（2）函数的定义域为，，

令，，当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数的最大值为．由题意知，，，

即实数a的取值范围是．

21．（1）解：由题意知，

解得a＝2，，b＝1

所以椭圆C的方程为．

（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为．

当直线AB的方程为，此时，即OA⊥OB；

当直线AB的方程为，此时，即OA⊥OB．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，，．

因为直线AB与圆O相切，所以，即．

将直线AB的方程代入椭圆方程，得，

则，

所以，，

所以，

，

即OA⊥OB．

综上所述，OA⊥OB．

22．解：（1）依题意，直线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为．

由，得．

∵，，，

∴，即，

∴曲线C的参数方程为（为参数）．

（2）由得，

由得，

又，由余弦定理可得，∴△AOB的周长．

23．解：（1）不等式即为，

∴或或

解得或或，

综上可得，，

∴不等式的解集为．

（2）由（1）得

作出函数的图象，如图所示：

由于直线y＝kx－2过定点，

当此直线经过点时，可得；当此直线与直线AD平行时，可得k＝－2．

结合图象可知，当直线y＝kx－2与函数的图象有公共点时，或．

故实数k的范围为．