2024届四川省雅安市天立高级中学高三上学期测课（零诊）数学（理）试题含解析

这是一份2024届四川省雅安市天立高级中学高三上学期测课（零诊）数学（理）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由复数乘除法法则进行计算，根据共轭复数的概念得出结果.
【详解】由，得，.
故选：B.
2．设集合满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据子集的定义及一元二次不等式恒成立的条件即可求解.
【详解】由题意可知，，即恒成立，
当时，，恒成立；
当时，，解得；
综上所述，实数的取值范围是．
故选：C.
3．已知集合，，，则函数有零点的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先得到共有种情况，再得到符合要求的情况个数，相除得到答案.
【详解】中，均有4种选择，共种情况，
当时，无零点，
当时，有零点，
当时，时，有零点，
若，则满足要求，
若，则满足要求，
故共有6种情况，满足要求，
所以函数有零点的概率为.
故选：C
4．已知数列的前n项和，正项等比数列满足，，则使成立的n的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】先求得，由此求得，由此解不等式求得正确答案.
【详解】依题意，，
当时，；
当时，；
所以.
所以，
设正项等比数列的公比为，，
所以，
所以，
由得，
所以的最大值为.
故选：D
5．集合，集合，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用列举法，结合古典概型的运算公式进行求解即可.
【详解】从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，有以下种情形：
，共11个，
其中偶数有这6个，
故这个两位数是偶数的概率为，
故选：C
6．已知函数，，在定义域内任取一点，使的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解不等式，求出解集，根据与长度有关的几何概型，即可求出结果.
【详解】由得，解得，
所以从定义域内任取一点，使的概率是.
故选：C.
7．在等比数列中，，，则（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】设公比为，依题意即可求出，然后根据等比数列的定义即可求解结论.
【详解】设公比为 ， 由 ，
可得: ，
解得 ，
，
故选：C.
8．设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．的最大值为或
【答案】D
【分析】AB选项，先根据题目条件得到，从而，，AB错误；C选项，由得到C错误；D选项，得到当时，，，当时，，故D正确.
【详解】AB选项，因为，所以，
因为数列是以为公差的等差数列，所以，
故，解得，
又，所以，，AB错误；
C选项，，故C错误；
D选项，由于，，，故当时，，
当时，，故的最大值为或，D正确.
故选：D
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用幂函数与指数函数的单调性判定即可.
【详解】由单调递增，
则可知，即B正确.
故选：B.
10．已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只需要将的图象（ ）

A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】首先根据已知条件求出与以及的值，进而确定的解析式， 再结合三角函数的平移规律进行解答即可.
【详解】由图像知，，，，即，
由图可知，，
，
，又，
，
，
向右平移可得函数.
故选：D.
11．若，为锐角，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用两角和的正切公式进行转化，结合基本不等式求得，从而求得的最小值.
【详解】因为，
所以
，
所以，
即，得，
由于，为锐角，所以，所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
故选：A
12．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.
【详解】，
由于，所以的定义域为，
，
所以是奇函数，
当时，为增函数，为增函数，
所以是增函数，由是奇函数可知，在上单调递增，
由得，
即，则，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A
【点睛】给定一个不等式以及函数解析式的题目，要考虑函数的单调性、奇偶性、定义域等基本性质来进行解题.是否要构造函数，构造什么类型的函数，关键是要根据已知函数的结构，选择合适的构造方法.
二、填空题
13．已知，，则 .
【答案】/0.75
【分析】利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可.
【详解】由同角三角函数的平方关系及已知条件可知：，
当，此时，不合题意；
当，符合题意；
所以.
故答案为：
14．函数在点处的切线斜率为2，则
【答案】0
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出.
【详解】函数，求导得，
依题意，，解得，
所以.
故答案为：0.
15．已知，均为锐角，且，，的值为 .
【答案】
【分析】先根据题目范围可得到的范围以及的值，再根据的范围求出，即可得出的值．
【详解】因为，且，，
所以，，．
故，
由于，所以．
故答案为：.
16．已知分别是函数图象上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题意易知两函数关于对称，由此即可将问题转化为点到直线的距离的最小值的2倍，再由当曲线在点出的切线与平行时，点到直线的距离有最小值，由此即可求出答案.
【详解】因为反解得，
所以与互为反函数，关于对称，
所以的最小值为点到直线的距离的最小值的2倍，
当曲线在点处的切线与平行时，点到直线的距离有最小值，
，令，解得，所以，则点到直线的距离,
所以的最小值为.
故答案为：
三、解答题
17．函数在点处的切线斜率为．
（1）求实数a的值；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）3；（2）增区间为，减区间为．极小值，无极大值．
【分析】（1）根据导数的几何意义，导数值为切线的斜率求出实数的值；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值.
【详解】解：（1）函数的导数为，
在点处的切线斜率为，
，即，；
（2）由（1）得，，
令，得，令，得，
即的增区间为，减区间为．
在处取得极小值，无极大值．
【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值问题，属于容易题．
18．已知在中，角的对边分别为，向量，.
(1)求角C的大小；
(2)若成等差数列，且，求c.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数量积的运算结合三角函数恒等变换公式可求出角C的大小；
（2）由已知条件结合正弦定理可得，由，得，得，然后利用余弦定理可求得结果.
【详解】（1）因为，
所以，
因为在中，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
（2）由成等差数列，
可得，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，得，
由余弦定理得，
所以，，
所以.
19．某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如下表：
(1)判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；
(2)按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现从这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X，求X的分布列及均值.
【答案】(1)认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下，该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）计算出然后分析即可；
（2）由题意的可能值为1，2，3分别求出概率列出分布列求出均值即可.
【详解】（1）零假设：产品的质量与设备改造无关，
根据小概率值0.01的独立性检验，推断不成立，即认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下，该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关.
（2）依题意，的可能值为1，2，3，
，
，
，
所以的分布列为：
数学期望.
20．已知各项为正的数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）升次作差得，再结合等差数列定义即可求出；
（2），再利用乘公比错位相减法即可.
【详解】（1）因为①，所以②.
②①两得，即
又因，所以；当时，
解得，所以.
（2）由（1）知，则①，
②，
①②得
，
所以.
21．已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上是严格递增函数，求的取值范围；
(3)当时，求整数的所有值，使方程在上有解.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义即可求出结果；
（2）根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，构造函数，转化成求在区间上的最小值即可解决问题；
（3）根据条件，构造函数，通过求导得到，再构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得出的单调增区间为，单调减区间为，从而得到，存在唯一，在区间上单调递减，在区间上单调递增，再利用零点的存在性原理即可求出结果.
【详解】（1）当时，，所以，
故，又，由导数的几何意义知，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）因为，所以，
因为函数在上是严格递增函数，所以在区间恒成立，
又因为恒成立，即在区间上恒成立，
令，
当时，，显然在上恒成立；
当时，则的对称轴，
当，即时，在区间上单调递增，
所以的最小值为，故满足题意，
当，即时，在区间上恒成立，
则，即，解得，
又，所以，
综上所述，的取值范围为.
（3）因为，设，
则，令，
则，
因为，故当时，，
当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为，
又，，，，
所以，存在唯一，使得时，恒成立，时，恒成立，且，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又，，，，
由零点的存在性定理知，的根，，
所以.
【点睛】关键点晴：本题的关键在于问题（3）中，将方程的解转化成函数零点问题，借助函数图像来解决问题，通过构造函数，再利用导数与函数单调性间的关系和零点存在原理即可解决问题.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点.
(1)求曲线的普通方程和直线的一个参数方程；
(2)求的值.
【答案】(1)，（为参数）
(2)
【分析】（1）根据已知条件，消去参数，即可求出曲线的普通方程，再结合参数方程的定义，即可求解；
（2）根据已知条件，结合参数方程的几何意义，即可求解.
【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），
消去参数可得，，即为曲线的普通方程，
直线的倾斜角为，过点，
则直线的一个参数方程为（为参数）；
（2），圆心为，半径为，
∵，
∴点在圆内，
设，在参数方程对应的参数为，，
将直线的参数方程代入圆的方程并化简得，，
则，，，异号，
故.
一等品
二等品
合计
设备改造前
120
80
200
设备改造后
150
50
200
合计
270
130
400
1
2
3