2023届河南省南阳市第一中学校高三上学期第一次阶段性考试数学（理）试题含解析

这是一份2023届河南省南阳市第一中学校高三上学期第一次阶段性考试数学（理）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省南阳市第一中学校高三上学期第一次阶段性考试数学（理）试题 一、单选题1．下列求导的运算中，正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据复合函数的导数公式逐个判断即可【详解】对A，，故A正确；对B，，故B错误；对C，，故C错误；对D，，故D错误；故选：A2．某项运动，得到下表： 男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110 附表：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828 参考公式：参照附表，得到的正确结论是（       ）A．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”【答案】C【分析】根据给定的数表求出的观测值，再与临界值表比对即可作答.【详解】依题意，，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”.故选：C3．方程（为参数）表示的曲线是（       ）A．双曲线 B．双曲线的左支 C．双曲线的右支 D．圆【答案】C【分析】先将参数方程化为普通方程，再由基本不等式求出的取范围，从而可得答案【详解】由，得且，两式相减得，，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以曲线表示焦点在轴上的双曲线的右支.故选：C4．在极坐标系中，点到直线的距离为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将点的极坐标化为直角坐标，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】点的直角坐标为，直线的极坐标方程可化为，转化为直角坐标方程为，则点到直线的距离为.故选：A.5．在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则a的值等于（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由为等边三角形，结合圆的对称性可得，从而可求出，进而可求出【详解】因为圆和直线相交于两点，且是等边三角形，所以，所以，所以，故选：C6．在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据古典概型概率公式直接计算可得.【详解】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为.故选：D7．已知不等式恒成立，则a的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将问题转化为在上恒成立，利用导数求右侧最值，即可得参数范围.【详解】由题设，可知：，问题转化为在上恒成立，令，则，当时，即递增；当时，即递减；所以，故.故选：B8．已知函数的导函数的图象如图所示，那么（       ）A．函数在上不单调B．函数在的切线的斜率为0C．是函数的极小值点D．是函数的极大值点【答案】D【分析】根据导函数的图象与原函数的关系逐个判断即可【详解】对A，在上，故函数在上单调，故A错误；对B，，故函数在的切线的斜率大于0，故B错误；对C，左右两边都有，故不是函数的极小值点；对D，且在左侧，右侧，故是函数的极大值点，故D正确；故选：D9．函数（a>0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（       ）A．1<a≤4 B．1<a≤8 C．1<a≤12 D．1<a≤24【答案】B【分析】根据复合函数的单调性，先分析外层函数的单调性可得a>1，再求导分析内层函数的单调性即可【详解】函数（a>0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，故外层函数是增函数，由此得a>1，又内层函数在区间在（4，+∞）上单调递增，令则在（4，+∞）上恒成立，即3x2≥2a在（4，+∞）上恒成立故2a≤48，即a≤24，又由真数大于0，故64﹣8a≥0，故a≤8，由上得a的取值范围是1<a≤8，故选：B.10．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（       ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】由二项分布的方差公式可求出或，又因为可得，所以可求出，再由二项分布的期望即可求出答案.【详解】解：由二项分布的方差公式有，解得: 或.而即，解得:所以，从而. 故选:A11．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（       ）A．7 B．5 C． D．3【答案】D【分析】分别求出两个函数在对应区间上的最大值，然后可得答案.【详解】因为，所以，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，，，，所以当时，，因为，所以在区间上单调递减，所以当时，，因为对任意，总存在，使得成立，所以，即，所以实数的最大值为3，故选：D12．已知函数的导函数为，对任意的实数都有，且，若在上有极值点，则实数的取值范围是（　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，结合已知易得，即可写出，进而得到，再由、确定关于的含参数的解析式，根据题设有在上有零点，进而求的范围.【详解】令，则，∴，，故，∴，又，∴，即，则，∵在上有极值点，∴在上有零点，且，，则，即.故选：C【点睛】关键点点睛：构造，结合已知求出的解析式并写出，根据极值点的区间，将问题转化为一元二次函数在区间上零点求参数范围. 二、填空题13．极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线方程（极坐标方程）为__________．【答案】【分析】先将化为直角坐标系下的坐标，再求出直角坐标系下的直线方程，然后再化为极坐标方程即可.【详解】点对应的直角坐标系下的点为，即，则过垂直于轴的直线方程为，所以在极坐标系下过点且与极轴垂直的直线方程为，故答案为：14．直线（为参数）的倾斜角是__________．【答案】【分析】消去参数，把直线的参数方程化为普通方程，求出斜率以及倾斜角.【详解】因为直线（为参数），即，消去参数有：，即直线的普通方程为：，其斜率为，所以直线的倾斜角是.故答案为：.15．在平面直角坐标系中，为原点， ，动点满足，则的最大值是________．【答案】【详解】试题分析：设，表示以为圆心，r=1为半径的圆，而，所以，，，故得最大值为【解析】1．圆的标准方程；2．向量模的运算 16．已知三次函数无极值，且满足，则______.【答案】【分析】由已知无变号零点可得，即，结合不等关系及基本不等式有，即可求目标式的值.【详解】由题设，则，即，所以，当且仅当时等号成立，又，故，可得，所以.故答案为： 三、解答题17．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，直线与x，y轴的交点分别为A，B．(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)若点是曲线上异于A，B的一点，求的面积的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）直接消去参数得到普通方程，利用互化公式得到曲线的直角坐标方程；（2）设，利用点到直线的距离求出到直线的距离的最大值，再由三角形的面积公式即可求出的面积的最大值.【详解】(1)由（t为参数）消去参数t得，即为直线l的普通方程．由，得，因为，，，所以，即为曲线的直角坐标方程．(2)由（1）知曲线的平面直角坐标方程为，配方得，设，对，令得；令得，所以，，所以，则到直线的距离，当（其中）时，取最大值．故此时的面积最大值为.18．曲线经过伸缩变换后得到曲线；以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程；(2)若A，B分别为曲线上的两点，且，求的值.【答案】(1);(2).【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系，将化为普通方程，求曲线，最后应用公式法求的极坐标方程；（2）设，易得，代入由（1）所得极坐标方程可得的值.【详解】(1)曲线：的普通方程为，经过伸缩变换后得到曲线，由，代入化简，可得极坐标方程为.(2)设，由，可得，∴，即.19．已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若在内取得极小值-1，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求导根据导数的几何意义求解即可；（2）讨论，两种情况，分别分析导函数的零点，结合极小值的性质求解即可【详解】(1)由可得，当时，，，所以曲线在处的切线方程为，即(2)由（1），当时，，当时，，在上单调递减，故在内不存在极值；当时，由得，，，要使在内存在极小值，，解得，此时在上单调递减，在上单调递增，所以取得极小值，即，解得，．20．已知直线 l 的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求直线 l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线 l 与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）直线的参数方程消去参数，即得的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式，即得解；（2）将直线的参数方程代入，利用直线的参数方程的几何意义，可得，结合韦达定理，即得解.【详解】(1)由（t为参数），可得l的普通方程为；由曲线C的极坐标方程及可得，整理得，所以曲线C的直角坐标方程为．(2)易知点M在直线 l 上，将 l 的参数方程代入C的直角坐标方程，得，即，设P，Q对应的参数分别为，则，因为，所以．21．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是，上下浮动不超过．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为，标准差为的正态分布．(1)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．利用该结论解决下面问题．（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算25个面包质量的平均值为．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；(2)假设有甲，乙两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知甲箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；乙箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个．已知从甲箱抽取面包的概率为，从乙箱抽取面包的概率为，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包．求取出黑色面包个数的分布列及数学期望．附：①随机变量服从正态分布，则，；②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．【答案】(1)（i）0.02275；（ii）答案见解析(2)分布列见解析，【分析】（1）（i）由正态分布的对称性及原则进行求解；（ii）结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；（2）设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，进而求出分布列及数学期望.【详解】(1)（i）因为，所以，因为，所以          ，因为，所以；（ii）由第一问知，庞加莱计算25个面包质量的平均值为，，而，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师的理由(2)设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0，1，2， 则；，，故分布列为：012 其中数学期望22．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若有极值点，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值．【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)3【分析】（1）求出函数的导函数，对分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）由（1）可知，即可得到的解析式，参变分离可得在上恒成立．构造函数利用导数求出函数的最大值，即可得解.【详解】(1)解：因为定义域为，所以，当时，恒成立，所以在上单调递减；当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减．(2)解：由（1）可知，若有极值点，则，且，所以，所以，因为关于的不等式恒成立，所以在上恒成立．设，则，设，，所以在上单调递减，，．所以存在，使得，且当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减，所以，其中满足，所以，设的最小值为，则，由得，．当时，，所以，即．所以整数的最小值为3．