2023河南省名校高三上学期阶段性考试（四）数学（理）含解析

2022～2023年度河南省高三年级阶段性考试(四)

数学(理科)

考生注意:

1.本试卷共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容:集合与逻辑、函数、导数、三角函数、解三角形。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合, 则

A.  B.  C.  D.

2. 的内角的对边分别是, 若, 且的面积为, 则

A. 1     B. 2     C. 3     D. 4

3. 已知点在函数的图象上, 且在第二象限内,若的图象在点处的切线斜率为 1 , 则点的坐标为

A.     B.     C.     D.

4. 已知分别为的内角的对边, 命题: 若, 则为钝角三角形, 命题: 若, 则. 下列命题为真命题的是

A.     B.    C.   D.

5. 由三角形的三边求出该三角形的面积, 在古代很长一段时间都是个困难的问题. 古希腊数学家海伦在他的著作《测地术》中证明了公式,其中, 这个公式叫海伦公式. 现有一个周长为 24 的等腰三角形, 其最长边比最短边大 6 , 则这个三角形的面积为

A.     B.     C. 4     D.

6. 某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别是, 则该三角形

A. 是锐角三角形  B. 是直角三角形  C. 是钝角三角形  D. 不存在

7. 已知函数的值域为, 则实数的取值范围是

A.     B.     C.    D.

8. 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶过程中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/ 小时) 的解析式可以表示为. 若甲、乙两地相距 200 千米, 当从甲地到乙地耗油最少时, 汽车匀速行驶的速度是

A. 70 千米/小时  B. 80 千米/小时  C. 90 千米/小时  D. 100 千米/小时

9. 某干燥塔的底面是半径为 1 的圆面, 圆面有一个内接正方形框架,在圆的劣弧上有一点, 现在从点出发, 安装三根热管, 则三根热管的长度和的最大值为

A. 4     B.     C.      D.

10. 已知函数, 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象, 点是与图象的连续相邻的三个交点, 若 是锐角三角形, 则的取值范围为

A.    B.    C.    D.

11. 已知函数若方程有 5 个不同的实数解, 则实数 的取值范围为

A.    B.     C.    D.

12. 已知函数, 若, 则

A. 为奇函数

B. 在上为增函数

C.

D.

二、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在答题卡中的横线上.

13. 集合且的所有非空真子集的个数为_____.

14. 已知, 则是的条件_____.(在充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入)

15. 在平面直角坐标系中, 将向量绕原点按顺时针方向旋转后得到向量 , 则_____.

16. 当时, 函数和有意义, 则实数的取值范围是_____.

三、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (10 分)

已知集合为全体实数集,或.

(1)若, 求;

(2)若, 求实数的取值范围.

18. (12 分)

的内角的对边分别是, 且.

(1)求的值;

(2) 当时, 求的长.

19. (12 分)

时下, 网校教学越来越受到广大学生的喜爱, 它已经成为学生课外学习的一种趋势, 假设某网校套题的每日销售量(单位:千套)与销售价格(单位:元/套) 满足关系式, 其中 为常数. 已知当销售价格为 5 元/套时, 每日可售出 53 千套.

(1)求的值;

(2) 假设该网校的员工工资、办公损耗等所有开销折合为每套题3元 (只考虑售出的套数), 试确定销售价格,使得该网校每日销售套题所获得的利润最大.

20. (12 分)

函数的部分图象如图所示.

(1) 求函数的解析式, 并求出图象的对称轴方程.

(2) 是否存在实数, 使得函数在上恰有2023 个零点? 若存在, 求出 和对应的的值; 若不存在, 请说明理由.

21. (12 分)

已知是定义在上的偶函数, 且.

(1)求的解析式;

(2) 若不等式恒成立, 求实数的取值范围;

(3) 设, 若存在, 对任意的, 都有, 求实数的取值范围.

22. (12 分)

设函数, 其中.

(1) 当时, 求的极大值;

(2)若不等式在区间上恒成立,证明:.