2022届四川省内江市第六中学高三下学期考前强化训练二数学（文）试题含解析

2022届四川省内江市第六中学高三下学期考前强化训练二数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则的非空子集的个数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合，利用集合的非空子集个数公式可求得结果.

【详解】，

即集合含有个元素，则的非空子集有（个）.

故选：B.

2．变量之间有如下对应数据：

已知变量与呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是（       ）A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件求出样本点的中心，再将点代入回归方程即可求解.

【详解】由题意可知，，，

则样本点的中心，代入，即，解得.

所以的值是.

故选：D.

3．设复数z满足，且z的实部小于虚部，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设，根据已知条件列方程，从而求得，也即求得.

【详解】设，

则，

所以.

故选：D

4．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为(，，)的形式.已知()描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)变化的规律，若刚栽种时该果树的高为，经过一年，该果树的高为，则该果树的高度超过，至少需要(       )

附：

A．3年 B．4年 C．5年 D．6年

【答案】B

【分析】首先根据已知条件求出，然后求不等式即可.

【详解】由题意可知，

，

故，

由，解得，

故该果树的高度超过，至少需要4年.

故选：B.

5．若直线与抛物线交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且，4，成等差数列，则（       ）

A．2或 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】联立直线与抛物线，根据韦达定理以及等差中项以及抛物线的性质计算可得．

【详解】解：设，，，．由消去，得，

故，解得，且．

由，，且，4，成等差数列，

得，得，

所以，解得或，又，故，

故选：C．

6．在四棱锥中，底面梯形中，，，与交于点，，连接，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题得则，所以异面直线与所成角与直线与所成角相等，结合余弦定理即可求解．

【详解】因为，则又，

所以故

所以异面直线与所成角与直线与所成角相等，

由

故异面直线与所成角的余弦值为．

故选：D

7．已知数列是等差数列，首项，若，，那么当时，的最大值为（       ）

A．10 B．11 C．20 D．21

【答案】C

【分析】根据等差数列下标和性质得到，即可得到，，再根据等差数列前项和公式计算可得；

【详解】解：因为，所以，又且，所以，，所以，所以，，所以，，即时，的最大值为；

故选：C

8．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到关于轴对称的图象，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，通过平移求出平移后的函数的解析式，利用偶函数求出的值．

【详解】函数，

将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，

因为函数是偶函数，

．

当时，．则的最小值为

故选：A

9．某次抽奖活动中，小王通过操作按键，使电脑自动产生内的两个均匀随机数､，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序；若电脑显示“中奖”，则小王获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖；小王获得奖品的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用几何概型-面积型的概率计算公式即可求解.

【详解】解：由题意，小王获得奖品中奖时，，

其中，，，

如图所示，小王获得奖品的概率为梯形面积与正方形面积之比，

故该运动员获得奖品的概率为：.

故选：A.

10．已知首项为的数列，对任意的，都有，则（       ）

A．0 B．-1011 C．1011 D．2022

【答案】D

【分析】利用递推关系得到数列中项之间的规律，发现该数列时隔项相等的数列，故只需要得到前2项的即可.

【详解】∵①，∴②，又∵，∴，由得，即，

又∵，且，∴，∴，

∴.

故选：D.

11．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日～2月20日在北京和张家口联合举行．为了更好地安排志愿者工作，现需要了解每个志愿者掌握的外语情况，已知志愿者小明只会德、法、日、英四门外语中的一门．甲说，小明不会法语，也不会日语：乙说，小明会英语或法语；丙说，小明会德语．已知三人中只有一人说对了，由此可推断小明掌握的外语是（       ）

A．德语 B．法语 C．日语 D．英语

【答案】B

【分析】根据题意，分“甲说对，乙、丙说错”、“乙说对，甲、丙说错”、“丙说对，甲、乙说错”三种情况进行分析，即可得到结果.

【详解】若甲说对，乙、丙说错：甲说对，小明不会法语也不会日语；乙说错，则小明不会英语也不会法语；丙说错，则小明不会德语，由此可知，小明四门外语都不会，不符合题意；

若乙说对，甲、丙说错：乙说对，则小明会英活或法语；甲说错，则小明会法语或日语；丙说错，小明不会德语；则小明会法语；

若丙说对，甲、乙说错：丙说对，则小明会德语；甲说错，到小明会法语或日语；乙说错，则小明不会英语也不会法语；则小明会德语或日语，不符合题意；综上，小明会法语.

故选：B.

12．已知a，b，，且，，，其中e是自然对数的底数，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设，，然后分别利用导数判断两个函数的单调性，利用其单调性可求得答案.

【详解】∵a，b，，，，，

令，，，

当时，，在上单调递减，

令，，，当时，，

所以在上单调递增，即，

∴，即，

∴.

故选：D.

二、填空题

13．若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为_____.

【答案】

【分析】利用平面向量的数量积的定义和运算法则计算出、、的值，利用公式，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.

【详解】因为、是夹角为的两个单位向量，则，

所以，，

，

，

所以，，

，所以，.

故答案为：.

14．函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是_____.

【答案】

【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，得到切线方程，求得横截距和纵截距，进而计算面积.

【详解】,

切线方程为：,即,

横截距为,纵截距为,

∴切线与两坐标轴围成的三角形面积是，

故答案为：.

15．双曲线的焦距为，圆与及的渐近线分别在第一象限交于点、．若、关于直线对称，则的离心率为________．

【答案】

【分析】求得双曲线的一条渐近线方程为，由，求得点的横坐标为，再由，求得点的纵坐标为，根据题意得到，结合，得到，即可求解.

【详解】由题意，双曲线的其中一条渐近线方程为，

设，其中，

联立方程组，可得，

因为，可得，所以，即点的横坐标为，

联立方程组，整理得，

即，可得，解得，即点的纵坐标为，

因为点与点关于直线对称，可得，即，即，

又由，可得，即，解得或，

又因为双曲线的离心率，所以.

故答案为：.

16．分别为菱形的边的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下命题正确的是___________.（写出所有正确命题的序号）

①平面；②异面直线与所成的角为定值；③在二面角逐渐渐变小的过程中，三棱锥的外接球半径先变小后变大；④若存在某个位程，使得直线与直线垂直，则的取值范围是.

【答案】①②④

【解析】①由，可得证；②取AC中点P，可证得平面DPB，可得正；③ 借助极限状态，当平面DCA与平面BCA重合时，三棱锥的外接球即为以三角形ABC的外接圆为圆心，半径为半径的球，二面角不为0时，外接圆的半径一定大于此半径，不正确. ④

过A在平面ABC中作交BC于H，分析H点在BC上的位置，可得证.

【详解】①由分别为菱形的边的中点，故，平面ABD，故平面；

②取AC中点P，连接DP，BP，由于菱形ABCD，所以，可证得平面DPB，故，又，故，异面直线与所成的角为定值.

③ 借助极限状态，当平面DCA与平面BCA重合时，三棱锥的外接球即为以三角形ABC的外接圆为圆心，半径为半径的球，当二面角变大时球心离开平面ABC，但球心在平面ABC的投影仍然为三角形ABC的外接圆的圆心，故二面角不为0时，外接球半径一定大于三角形ABC的外接圆半径，故三棱锥的外接球半径不可能先变小后变大.

④

过A在平面ABC中作交BC于H，若为锐角，H在线段BC上；若为直角，H与B点重合；为钝角，H在线段BC的延长线射线CB上.

若存在某个位程，使得直线与直线垂直，由于，因此平面AHD，

故.

若为直角，H与B点重合，即，由于，不可能成立.

若为钝角，则原平面图中，为锐角，由于立体图中，故立体图中一定比原图中更小，因此为锐角，，故H在线段CB上，与H在线段BC的延长线射线CB上矛盾，因此的取值范围是.

故答案为：①②④

【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题.

三、解答题

17．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中进行解答．

问题：在中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，          ．

（1）求出角A;

（2）若，，求．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】条件选择见解析（1）；（2）.

【分析】选条件，（1）由正弦定理，可得，即可求解角A；（2）结合面积公式和余弦定理可得解；

选条件，（1）由余弦定理，，即可求解角A；（2）结合面积公式和余弦定理可得解；

【详解】选条件

（1）由正弦定理得，，因为，所以

，又，故；

（2）由余弦定理，即

由得出

选条件

（1）由余弦定理知，又

故；

（2）

由余弦定理，

由得出

18．中国棋手柯洁与AlphaGo的人机大战引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查，并根据调查结果绘制了学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40的学生称为“围棋迷”.

(1)请根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关；

(2)为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平，从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取5名学生组队参加校际交流赛首轮该校需派2名学生出赛，若从5名学生中随机抽取2人出赛，求2人恰好一男一女的概率.

附表：

（参考公式：，其中）

【答案】(1)列联表答案见解析，没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关

(2)

【分析】（1）由频率分布直方图求得“围棋迷”有25人后即可开始补充完整列联表；计算出的观测值与3.841进行比较即可判断是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关；

（2）依据古典概型去求2人恰好一男一女的概率.

（1）由频率分布直方图可知，，所以在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而2×2列联表如下：

的观测值.因为，所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.

（2）由（1）中列联表可知25名“围棋迷”中有男生15名，女生10名，所以从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取的5名学生中，有男生3名，记为，，；有女生2名，记为，.则从5名学生中随机抽取2人出赛，基本事件有：，，，，，，，，，，共10种；其中2人恰好一男一女的有：，，，，，，共6种.故2人恰好一男一女的概率为.

19．如图，点C是以为直径的圆O上异于A，B的动点，平面，四边形是直角梯形，且.

(1)证明：平面；

(2)当三棱锥的体积最大时，求点E到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点M，连接，即可得到，从而得到平面，再证，即可得到平面，从而得到平面平面，即可得证；

（2）在中，设，根据利用基本不等式求出三棱锥体积最大值，即可求出，再根据利用等体积法求出点到平面的距离；

（1）证明：如图，取的中点M，连接.在中，O是的中点，M是的中点，所以平面平面，故平面，在直角梯形中，，所以，∴四边形是平行四边形，所以，平面平面，所以平面又，平面，故平面平面，又因为平面，所以平面.

（2）解：中，设，则，所以，因为平面，所以，当且仅当，即时，三棱锥的体积最大，最大值为，此时，，设点E到平面的距离为d，由得：，所以.

20．如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆：与的长轴长之比为，离心率相同.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设点为椭圆上一点，过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆均有且只有一个公共点，求证：为定值.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）设椭圆的焦距为，求出即得解；

（2）设，所以直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程得到，代化简即得证.

（1）解：设椭圆的焦距为，由题意，，解得，因此椭圆的标准方程为.

（2）证：设，所以直线的方程为，即，记，则的方程为，代入椭圆的方程，消去，得因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，即将代入上式，整理得，同理可得，，所以为关于的方程的两根，从而.又点在椭圆上，所以，所以为定值.

21．已知函数，

（1）求函数的单调增区间；

（2）若函数有两个极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．

【分析】（1）求导函数，通分，利用二次函数的性质对a进行分类讨论，研究导数的正负，进而得到函数的单调增区间；

（2）先根据（1）的结论，得到a的取值范围及两极值点满足的条件，利用韦达定理的关系将不等式转化为只含有x2和m的不等式，分离参数m,构造函数，利用导数研究单调性和最值，进而根据不等式恒成立的意义求解.

【详解】解：（1），，注意到，

①当时，，在上单调递增；

②当时，令，得，，此时，在及上导数值大于零，

所以在及上递增；

（2）由（1）知，，，，则，

由恒成立，即，

即，

即，

记，，

则，

故在上为增函数，

，

故.

22．已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是: （是参数）.

若直线与曲线相交于、两点，且，试求实数值.

设为曲线上任意一点，求的取值范围.

【答案】或；.

【分析】把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离求出值；

把曲线的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出的取值范围.

【详解】解：曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为：，直线的直角坐标方程为：.

圆心到直线的距离（弦心距）,

圆心到直线的距离为 ：,

或.

曲线的方程可化为，其参数方程为： （为参数）

为曲线上任意一点，

的取值范围是.

【点睛】本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题.

23．已知.

（1）求不等式的解集；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】(1)把分段表示，后解不等式（2）不等式恒成立等价于恒成立，则，，求其最大值即可.

【详解】解：(1)

当时，由得，即解集为，

当时，由得，解集为，

当时，由得，解集为，

综上所述，的解集为

(2)不等式恒成立等价于恒成立，则，

令，

则，即

所以实数的取值范围是

【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.