2023届山西省山西大附属中学高三上学期8月模块诊断数学试题含解析

2023届山西省山西大附属中学高三上学期8月模块诊断数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得集合B，再根据集合的交并补运算求结果即可.

【详解】∵，

∴，

又，

则，

故选B.

2．已知角的终边在直线上，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由结合平方关系得到，即可求结果.

【详解】由题设知：，即，且，

所以，而终边在第二或四象限，

所以.

故选：C

3．已知复数z满足，则z为实数的一个充分条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先设，代入化简后，利用两边相等，即可求得.

【详解】设，则，则，

所以，解得：，

所以z为实数的一个充分条件是.

故选：B

4．已知，，与的夹角为，则（       ）

A．6 B． C． D．

【答案】A

【分析】由数量积公式结合得出答案.

【详解】

故选：A

5．函数在上的图象大致为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.

【详解】首先，所以函数是奇函数，故排除D，，故排除B，

当时，，故排除A，只有C满足条件.

故选：C

6．已知为递增的等差数列，，，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据等差数列的性质列出方程组，从而求出和公差，写出的通项公式即可求出答案.

【详解】因为为等差数列，，所以，

由，得或(舍)，所以，

所以.

令，得.

故选：D.

7．已知双曲线的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（       ）

A．E的焦点到渐近线的距离为2 B．

C．E的实轴长为6 D．E的离心率为

【答案】D

【分析】根据双曲线的几何性质可求出结果.

【详解】依题意可得，得，故B不正确；

,,,

所以E的焦点到渐近线的距离为，故A不正确；

因为，所以E的实轴长为，故C不正确；

E的离心率为，故D正确.

故选：D

8．已知，是两个不重合的平面，，是两条不同的直线，则下列命题不正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【解析】两条平行直线中的一条垂直于个平面，那么另一条也垂直于这个平面可判断A；两个平面与同一条直线垂直，那么这两个平面平行可判断B；根据面面垂直的判定定理可判断C；根据直线存在的位置关系可确定D.

【详解】如果两条平行直线中的一条垂直于个平面，那么另一条也垂直于这个平面，

所以A中命题正确；

如果两个平面与同一条直线垂直，那么这两个平面平行，所以B中命题正确；

由A选项和面面垂直的判定定理可得C中命题也正确；

若，则与可能平行，可能异面，D中命题不正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面的位置关系，线面垂直、面面垂直的判定定理，属于基础题.

9．展开式中的系数为

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中的系数．

【详解】因为，则展开式中含的项为；展开式中含的项为，故的系数为，

故选：C．

10．已知双曲线（）的左､右焦点分别为，，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P若的面积为，则该双曲线的离心率为（       ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】易知渐近线的垂线方程为，求得垂足P的坐标，然后由的面积为求解.

【详解】解：设过右焦点且与渐近线垂直的直线为l，

则直线l的方程为.

由，

得，，

即.

则的面积为，

∴，

∴，

∴.

故选：B

11．已知，则，，的大小为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，构造函数，利用函数的单调性比较大小作答.

【详解】令函数，当时，求导得：，

则函数在上单调递减，又，，，

显然，则有，所以.

故选：C

【点睛】思路点睛：某些数或式大小比较问题，探讨给定数或式的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解.

12．设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，进而研究其单调性和奇偶性，

将变形为，再利用的单调性解不等式即可.

【详解】令，

，有，．

所以为R上的偶函数，又在上有，

所以，即在上单调递增，在上单调递减.

又，所以，

即，，解之得，.

故选B.

【点睛】本题主要考查构造函数并研究其单调性和奇偶性、利用函数的性质解不等式，体现数学运算、逻辑推理等核心素养，属难题.

二、填空题

13．若曲线在点处的切线与直线垂直，则__．

【答案】

【分析】求出函数的导数，求得切点处的切线的斜率，再由两直线垂直的条件可得斜率为3，即可解得m的值

【详解】f(x)=aex+e−x 在的导数为 f′(x)=aex−e−x ，即有 f(x) 在 x=0 处的切线斜率为 k=a−1 ，

由在 x=0 处的切线与直线 x+3y=0 垂直，得 a−1=3 ，

所以

【点睛】本题考查导数的几何意义、两直线垂直的基本条件，正确求导是前提，注意复合函数的求导不要遗忘内层函数的导数

14．2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为，，，，（单位：十万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只.

【答案】1.6

【解析】设，，，，的平均数为，根据方差的计算公式有

.即，再利用，，，，的平均数为4求解.

【详解】依题意，得.

设，，，，的平均数为，

根据方差的计算公式有

.

，

即，

.

故答案为：1.6

【点睛】本题主要考查样本中的数字特征，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于基础题.

15．在中，角的对边分别为，，，且为锐角，则面积的最大值为________.

【答案】

【分析】由，，利用正弦定理求得.，再由余弦定理可得，利用基本不等式可得，从而利用三角形面积公式可得结果.

【详解】因为，又，

所以，又为锐角，可得.

因为，

所以，

当且仅当时等号成立，

即，

即当时，面积的最大值为. 故答案为.

【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

16．三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________.

【答案】

【分析】首先确定球心的位置，进一步确定球的半径，最后确定球的表面积．

【详解】根据题意，过等边三角形的中心作平面的垂线，与过直角三角形斜边的中点作平面的垂线交于点，点即是三棱锥的外接球的球心，

如图所示：

三棱锥中，平面平面，，，，

所以，，

在直角三角形中，，

解得：，

所以，

三棱锥的外接球半径，

则，

故答案为：

【点睛】方法点睛：本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程.（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心.

三、解答题

17． 在中，是，B，所对应的分边别为，，，且满足.

(1)求角；

(2)若，的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合正弦的二倍角公式变形可得；

（2）由面积公式求得，再由余弦定理求出，从而可得周长．

【详解】(1)因为，

所以由正弦定理得，

因为，

所以，

所以，

因为

所以，

又因为，所以；

(2)因为，所以，

又由余弦定理得， ，

所以，

又由，

所以的周长为：．

18．在数列中，，，，其中.

(1)证明数列是等差数列，并写出证明过程；

(2)设，且，数列的前项和为，求；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据等差数列的定义只需证明为常数，即可得证；

（2）由（1）可得，即，利用错位相减法计算可得.

【详解】(1)解：因为，，，

所以

，

又，所以数列是以为公差，为首项的等差数列；

(2)解：由（1）可得，所以，

所以①，

②，

所以①②得

，

所以.

19．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．

(1)若为棱的中点，求证：平面；

(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.

【分析】（1）取中点，连接，得到，然后利用线面平行的判定定理得到平面；（2）假设在棱上存在点满足题意，建立空间直角坐标系，设，根据平面与平面的夹角的余弦值为，则两平面法向量所成角的余弦值的绝对值等于，求出，即可得出结论.

【详解】(1)

取中点，连接，

分别为的中点，

，

底面四边形是矩形，为棱的中点，

，．

，，

故四边形是平行四边形，

．

又平面，平面，

平面．

(2)假设在棱上存在点满足题意，

在等边中，为的中点，所以，

又平面平面，平面平面，平面，

平面，则是四棱锥的高．

设，则，，

，所以.

以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

故，，．

设，

．

设平面PMB的一个法向量为，

则

取．

易知平面的一个法向量为，，

，

故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.

20．某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项、至多三项是符合题目要求的．在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜．假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为．

(1)写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率；

(2)从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？

【答案】(1)；

(2)只选一个选项.

【分析】(1)根据给定条件写出由两项或三项组成的所有结果，再由古典概率公式计算作答.

(2)分别求出只选一个选项、选两个选项、选三个选项的条件下得分的期望，比较大小作答.

【详解】(1)依题意，对于这道多选题，可能的正确答案AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有种，它们等可能，

记事件A为“小明这道题随便选2个或3个选项能得5分”，而正确答案只有1个，则有，

所以小明这道题能得5分的概率.

(2)如果小明只选一个选项，那么他这道题的得分X的所有可能取值为0和2，

小明选了一项，若有两项符合要求，则与所选项组成两项的结果有，若有三项符合要求，则与所选项组成三项的结果有，

于是有，，

则有X的分布列为：

X的数学期望为，

如果小明只选两个选项，那么他这道题的得分Y的所有可能取值为0，2，5，

的事件是小明所选两项恰好符合要求，只有1个结果，若有三项符合要求，则与所选项组成三项的结果有，

，，，

则有Y的分布列为：

Y的数学期望为，

如果小明只选三个选项，那么他这道题的得分Z的所有可能取值为0和5，且

，，

故Z的分布列为

Z的数学期望为，

因为，所以从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项．

21．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据条件确定a,b的值，从而可得椭圆方程；

（2）讨论直线AB的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程得到根与系数的关系式，用A,B坐标表示，结合根与系数的关系式化简，即可求得直线过定点，当斜率不存在时，亦可说明直线过该定点.

【详解】(1)由题意点是椭圆的一个顶点，知，

因为是等腰直角三角形，所以，即，

所以椭圆的标准方程为：．

(2)若直线的斜率存在，设其方程为，由题意知．

由，得，

由题意知，设，，

所以，，

因为，所以

，

所以，整理得，

故直线的方程为，即，

所以直线过定点．

若直线的斜率不存在，设其方程为，，．

由题意得，解得，

此时直线的方程为，显然过点．

综上，直线过定点．

【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系中直线过定点问题，综合性强，计算量大，解答的关键是将已知条件利用，的坐标来表示，结合根与系数的关系进行化简，要特别注意计算的准确性.

22．已知函数.

(1)若，讨论的单调性；

(2)若方程有两个不同的实数根.

（i）求的取值范围；

（ii）若，求证：. (参考数据：)

【答案】(1)答案见解析；

(2)(i)；(ii)证明见解析.

【分析】（1）利用导数研究的单调性，注意构造中间函数研究的符号.

（2）（i）由题设有，令利用导数研究其最值并确定区间值域，进而求m范围；

（ii）由题设有，令，构造并研究其单调性并得到值域，进而可得，结合（i）结论即可证.

【详解】(1)的定义域为，

当时，.

设，则，由得：，

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

的最大值为，

，即在上恒成立，

在上单调递减.

(2)（i）由得：，即.

设，则，由得：，

当时，函数单调递增，

当时，函数单调递减，

有极大值也是最大值，

当时，，当时，.

要使有两个不同的实数根，则，

即，即实数m的取值范围为.

（ii）证明：，则，即，

故.

设，由得，

设，则，

设，则，

在上单调递增，故，故，

在上单调递增，故，

，结合（i）有.

【点睛】关键点点睛：第二问，由问题转化为与有两个交点；利用比例的性质得，构造中间函数研究右侧值域，进而得到范围.