第4讲：函数单调性与最值讲义--高三数学一轮复习 (1)

第4讲：函数单调性与最值

一．知识梳理

1.直观刻画(图象)：

2.定性表述：

3.符号定义：

增函数：(1).一般地，设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，则称函数在区间上是增函数.

        (2).若任意的，当时，都有.

        (3).若任意的，当时，都有.

减函数：类似可得.

二．判断函数的单调性.

1.定义法证明函数单调性.

例1.证明：函数在上为增函数.

取值:任取，且设；

作差:求

变形:合并同类项,通分,分解因式,配方等.向有利于判断差值符号的方向变形；

定号:判断的正负符号，，根据函数单调性的定义下结论.

2.图象法(图象变换)判断函数的单调性.

例2.判断下列函数的单调性.

(1).                   (2).      

(3).. (分式函数单调性)       (4).

小结：

3.运算性质法.

(1).在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

(2).若恒为正(恒为负)时，与单调性相反.

(3).当时，函数与函数单调性相同，反之，单调性相异.

例3.判断下列函数的单调性.

(1).判断函数在区间上的单调性.

(2)..判断函数在上的单调性.

(3).判断函数 的单调性.

4.复合函数的单调性

例4.判断下列函数的单调性.求函数的单调区间.

 2.2函数单调性的应用

1.已知单调性求参数范围.

例5.已知函数在区间上不单调，求实数的取值范围.

2.比较自变量的大小.

例6.

(1).已知函数在上是减函数,且,求的取值范围.

(2).已知偶函数在区间上是单调递增的，求满足的取值范围.

小结：若y=f(x)在区间D上是增（减）函数，则对于有：

对于单调函数，函数值的大小与相应的自变量的大小具有等价性.

3.分段函数单调性.

例7.若f(x)=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

练习．已知函数是上的减函数，则a的取值范围是

A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]

小结：分段函数递增（减）的条件：

函数在R上单调递增，则

函数在R上单调递减，则

三．函数的最值.

例8.判断函数在的单调性，并求它在上的最大值与最小值．

练习.已知函数．

（1）判断函数在的单调性，并用定义法证明；

（2）求函数在的最大值．

总练习题.

1．函数的单调递减区间为

A． B． C． D．

2．定义在上的函数，对任意，有，则（    ）

A． B．

C． D．

3．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f(x)>f(2x－3)的解集是（    ）

A．(－∞，3) B．(3，＋∞)

C．(0，3) D．

4．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

5．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.

7．若函数在区间上不是单调函数，求实数的的取值范围.

8．已知函数，求函数在区间上的最值.