2023湖北省重点高中智学联盟高一上学期10月联考试题数学含答案

湖北省重点高中智学联盟2022年秋季高一年级10月联考

数学试题

命题学校：黄石二中命题人：卢立林周惠审题人：吕学武

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（）

A．    B．C．    D．

2．命题的否定为（）

A． B．C． D．

3．使“”成立的一个必要不充分条件是（）

A．    B．    C．或    D．或

4．已知，则的最小值为（）

A．4    B．    C．D．

5．已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A．B．C．D．

6．下列不等式中正确的是（）

A．    B．的最小值为2    C．    D．

7．定义集合运算：．若集合，，则（）

A．    B．    C．    D．

8．已知x，y，z为三个非负实数，且满足，若，则u的最大值与最小值之和为（）

A．    B．    C．    D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列命题中正确的有（）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．是的必要不充分条件

C．是的必要不充分条件

D．已知，则是的充要条件

10．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，则满足条件的学生人数可以为（）

A．55    B．59    C．63    D．67

11．已知，关于x一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（）

A．6    B．7    C．8    D．9

12．若实数x，y满足，则（）

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知集合，若，则实数a的值为____________．

14．若正数m，n满足，则的最小值____________．

15．已知命题都成立，命题，若命题p，q都是真命题，求实数a的取值范围_______________．

16．已知，关于x的不等式恰有四个整数解，则a的取值范围是____________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

已知集合，集合．

（1）求集合B；

（2）求．

18．（本题满分12分）

已知集合．

（1）若，求m的取值集合；

（2）若，求实数m的取值范围．

19．（本题满分12分）

设函数．

（1）若不等式的解集为，求实数a，b的值；

（2）若函数图像经过点，且存在，使得成立，求实数a的取值范围．

20．（本题满分12分）

已知函数．

（1）若不等式对任意恒成立，求m的取值范围；

（2）解关于x的不等式．

21．（本题满分12分）

某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x万元满足关系式（k为常数．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2022年生产该批次产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．

（1）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；

（2）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

22．（本题满分12分）

如图，在矩形中，，点P从C点出发，沿方向运动至B点（不与点B重合），连接，过点P作交于Q，以为斜边作直角三角形，且，O为直角顶点．

（1）在点P的运动过程中，求的外心到边的距离最大值；

（2）当点P从C点运动至点O恰好落在上时，求点O的运动路径长度．

参考答案及评分细则

一、选择题

二、填空题

13．0或    14．15．     16．

17．（1）

（2），则或，

则．

18．（1）易得，

∵，∴，∴；

（2）由题意知或，，

∵，∴或，

∴或

19．（1）由题意可知：方程的两根是，1，

所以，解得；

（2）由函数图像经过得，

存在成立，即使成立，

又因为，代入上式可得成立．

①当时，显然存在使得上式成立；

②当时，需使方程有两个不相等的实根，

所以，

即，

解得或，

综上可知a的取值范围是或．

20．（1）原不等式可化为对任意恒成立，令，则，

所以右式，当时，，当时，，所以；

（2）原不等式可化为，即，

①当时，不等式的解集为；当时，；

②当时，∵，所以不等式的解集为或；

③当时，∵，所以不等式的解集为．

综上所述：当时，不等式的解集为；

当时，∵，所以不等式的解集为或．

当时，，所不等式的解集为．

21．（1）由题意知，当时，∴，

∴，

∴每件产品的销售价格为（元），

∴，

（2）∵当时，，∴，

当且仅当，即时，y取得最大值，

故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．·

22．（1）直角三角形的外心是中点，外心到的距离为的一半，∵，

∴，∴与相似，

设，

则，

当且仅当即时等号成立，

此时外心到直线的距离最大值为．

（2）P点在运动过程中，，所以P、O、Q、B四点共圆，则，所以O点在射线上且满足，所以O点运动路径长度为；